―――――-―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律:正常( ) 不正常( ) 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠,∠D=75°,AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF (16分) (1)画出与△ABC 面积相等的三角形(要求与图中的任意一条边重合)(4分) (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗?为什么? 那么如果∠BAF=80°呢?(任选一个你画的三角形证明)(6分) (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同(6分) 2.已知直线y=x+3交x 于A ,y 于B ,直线y=-x+2,交x 于C ,y 于D,P 为AB 的中点,过点P,(4,0)两点画直线,交直线y=-x+2于Q (14分) (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标(3分) (2)求直线P,(4,0)的函数表达式(2分) (3)求∠BPQ 的度数(5分) (4)若直线AB 上有点K ,连结KQ ,当△PKQ 为等腰三角形时,求QK 的长以及△PKQ 的面积(4分) 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°(11分) (1)求a,b 的值(1分) (2)设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ,交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ,求ΔABP 的面积和周长(4分) (3)如果直线l 平行于直线y=ax+b ,并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称,求ΔCAP 的
专题10 最优化 例1. 4 提示:原式=1 12 - 62 -+)(x . 例2. B 提示:由-1≤y ≤1有0≤≤1,则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上,对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论:①0≤a +?)(,∴f (a )=2a ,即2a =2132-2+a ,则?? ? ??=--=413 172b a 综上,(a ,b )=(1,3)或(17-2-, 4 13 ) 例4. (1) 121≤≤x ,y 2 = 21+216143-2+-)( x .当=4 3时,y 2 取得最大值1,a =1; 当21= x 或=1时,y 2取得最小值21,b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图,AB =8,设AC =,则BC =8- ,AD =2,CD =42+x ,BE =4,CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ,C ,E 三点共线时,原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ,有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时,=3 8. (3)如图, 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+)()(
奥数培训之趣味数学 生活中的数学: 1、诗仙李白豪放豁达,有斗酒诗百篇的美名,为唐代“饮中八仙”之一, 民间流传李白买酒歌谣,是一道有趣的数学问题:李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一抖,三遇店和花,喝完壶中酒。试问:酒壶中原有多少酒? 解:设酒壶中原有酒x 斗,“三遇店和花”意思是李白三遇店,同时也三见花。 第一次见店又见花后,酒有:12-x ; 第二次见店又见花后,酒有:1-122)( -x ; 第三次见店又见花后,喝完壶中酒,所以 依题意,得 ()[]0111222=---x 解方程,得 87= x 答:酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童,甲对乙说:“把你的羊给我一只,我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说:“最好还是把你的羊给我一只,我们的羊数就一样了”,求两个牧童各有多少只羊。 解:设甲有x 只羊,乙有y 只羊。依题意,得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组,得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只,乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快,已知60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完.那么,若在120天里将草吃完,则需要( )头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析:设草一天增加量是a ,每头牛每天吃的草的量是b ,原有草的量是c ,根据60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完,列方程组,用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。
解:设草一天增加量是a ,每头牛每天吃的草的量是b ,原有草的量是c 。 根据题意,得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得, 则若在120天里将草吃完,则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A .一样多. B .多了. C .少了. D .多少都可能. 解:设杯中原有水量为a ,依题意可得, 第二天杯中水量为a ×(1-10%)=0.9a ; 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C . 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水,乙杯中盛有m 毫升蓝墨水,从甲杯倒出a 毫升到乙杯里(0<a <m ),搅匀后,又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里,则这时( )。 A .甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少. B .甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多. C .甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同. D .甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定. 解:从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后: 乙杯中含红墨水的比例是a m a +, 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +, 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后: 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有: 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于: (1) 具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ,y ,z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ,那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x , y 的值. 【例2】 若实数a ,b , c 满足222 9a b c ++= ,则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:运用乘法公式 ,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内,两条不同直线有两种位置关系:相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交,就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础,把握对顶角有公共顶点,而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上,这是识图的关键. 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据. 1.平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等,或同旁内角互补,两直线平行; (2)平行于同一直线的两条直线平行; (3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行. 2.平行线的性质 (1)过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行; (2)两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补; (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形: 例题与求解 【例1】 (1) 如图①,AB ∥DE ,∠ABC =0 80,∠CDE =0 140,则∠BCD =__________. (安徽省中考试题) (2) 如图②,已知直线AB ∥CD ,∠C =0 115,∠A =0 25,则∠E =___________. (浙江省杭州市中考试题)
图② A 解题思路:作平行线,运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图,平行直线AB ,CD 与相交直线EF ,GH 相交,图中的同旁内角共有( ). A .4对 B .8对 C .12对 D .16对 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图进行分解入手. C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC //ED ,CE 是∠ACB 的平分线,求证:∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛试题) 解题思路:综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质,由于图形复杂,因此,证明前注意分解图形. 【例4】 如图,已知AB ∥CD ,∠EAF = 41∠EAB ,∠FCF =41∠ECD .求证:∠AFC =4 3 ∠AEC . (湖北省武汉市竞赛试题) D E C A B 图1
培优辅导 反证法和构造法 一、选择题: 1.若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立,则有( ) A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数 C 、a,b,c 中至少有两个偶数 D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2.已知△ABC 的周长为18,c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a 3.A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛,已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场,则还未与B 队比赛的球队是( ) A 、C 队 B 、D 队 C 、E 队 D 、F 队 4.设等式在实数范围内成立,其中a 、x 、y 是两两不同的 实数,则 的值是( ) A 、3 B 、 31 C 、2 D 、3 5 5.关于x 的一元二次方程2a x 2 -2x-3a-2=0的一根大于1,另一根小于1,则a 的取值范围 是 ( ) A 、a >0或a <-4. B 、a <-4. C 、a >0. D 、-4<a <0. 二、填空题 6.用反证法证明:“三角形中最多有一个角是直角或钝角。”时,第一步应反设: ________________________________________________. 7.不查表可求得=?5.22cot _________. 8.321-+-++x x x 的最小值是______________. 9.若28,142 2=++=++x xy y y xy x ,则=+y x _________. 10.已知))((4)2a c b a c b --=-(且0≠a ,则a c b +=______________. 三、解答题
超级资源:(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案(15套) 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法. 它的理论依据就是乘法分配律. 多项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂. (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式. 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 (2)a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号. 解:-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过程中常用的因式
变换. 解:a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析:算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果. 解:原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值. 分析:不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果. 解:()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6. 4. 在代数证明题中的应用 例:证明:对于任意自然数n ,3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数. 分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可. 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n ,103?n 和52?n 都是10的倍数. ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨:
配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具;配方法的实质在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”,“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式: 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++; 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ,则y x +的最大值为 (镇江市中考题) 思路点拨 把y 用x 的式子表示,通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、,满足722 =+b a ,122 -=-c b , 1762 -=-a c ,则c b a ++的值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (河北省竞赛题) 思路点拨 由条件等式的特点,从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数,且a a 2004 2 +是一个正整数的平方,求a 的最大值。 (北京市竞赛题) 思路点拨 设2 2 2004m a a =+(m 为正整数),解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数,且01,422 =-+=-c ab b a ,求c b a ++的值 (浙江省竞赛题)
专题16 不等式(组) 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系,又包含大量的不等关系,方程(组)是研究相等关系的重要手段,不等式(组)是探求不等关系的基本工具,方程与不等式既有相似点,又有不同之处,主要体现在: 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似,但解题时要注意两者之间的重要区别;等式两边都乘(或除)以同一个数时,只要考虑这个数是否为零,而不等式两边都乘以(或除以)同一个数时,不但要考虑这个数是否为零,而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是:解方程组时,我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工,但在解不等组时,我们只能对某个不等式进行变形,分别求出每个不等式的解集,然后再求公共部分.通俗地说,解方程组时,可以“统一思想”,而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解,则t 的取值范围是( ) A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题) 解题思路:把x 的解集用含t 的式子表示,根据题意,结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . (黑龙江省哈尔滨市竞赛试题) 解题思路:从已知条件出发,解关于x 的不等式,求出m ,n 的值或m ,n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解,求正整数m 的值. (天津市竞赛试题) 解题思路:解关于x ,y 的方程组,建立关于m 的不等式组,求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ,b ,c 满足3a +2b +c =5和2a +b -3c =1,若m =3a +b -7c ,求m 的最大 值和最小值. (江苏省竞赛试题) 解题思路:本例综合了方程组、不等式(组)的知识,解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,在约束条件下,求m 的最大值与最小值.
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有: 1. 边与边的关系是:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边,反过来要使三条线 段能组成一个三角形,必须任意两条线段的和都大于第三条线段,即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下: a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?< 推广到任意多边形:任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是:三角形三个内角和等于180 ;任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形:四边形内角和=2×180 , 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n -2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中,等边对等角,等角对等边; 大边对大角,大角对大边。 ② 在直角三角形中, △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a :b :c=1:3:2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a :b :c=1:1:2 例题 例1.要使三条线段3a -1,4a+1,12-a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解:根据三角形任意两边和大于第三边,得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 初中九年级数学培优训练(奥数) 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1 a b ÷ - (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题) (3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.初中九年级数学培优训练专题
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化