人教A版高中数学必修三基础知识篇3.3《几何概型》训练(含解析)新人教A版必修3

第3章 3.3 几何概型 同步测试试卷（数学人教A 版必修3）

一、选择题（本题包括5小题，每小题5分，共25

分）

1. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S

4

的概率是( )

A.14

B.12

C.34

D.23

2. 在半径为1的圆周上有一定点A ，以A 为端点连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取(即在单位长度的弧上等可能选取)，则弦长超过3的概率为( ) A.14 B.23 C.13 D.33

3．向如图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是( )

A.18

B.29

C.79

D.716

4．已知实数x 、y ，可以在0

随机取数，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)

2

＋(y －1)2

<1的概率是( )

A.π4

B.4π

C.π2

D.π3

5.在1万 km 2的海域中有40 km 2

的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）

A.251

1 B.2491

C.

2501 D.252

1

二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20

分）

6. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该

圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的

概率

为

________．

7. 广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概

率约为9

10

，那么该台每小时约有________分钟

广告．

8. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为

2

1

的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.

A B

C

D

9. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________.

三、计算题（本题共3小题，共55分） 10．（18分）一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求此海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．

11．（18分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，过

直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM

建议用时 实际用时

满分 实际得分

45分钟

100分

12．（19分）在转盘游戏中，假设有三种颜色红、

绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为1

3

，则每个绿色扇形的圆心

角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)?

第3章 3.3 几何概型同步测试试卷（数学人教A版必修3）

答题纸

得分：

一、选择题

题号 1 2 3 4 5

答案

二、填空题

6． 7． 8. 9.

二、计算题

10.

11.

12.

第3章 3.3 几何概型 同步测试试卷（数学人教A 版必修3）答案

一、选择题

1.C 解析：如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的

面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝3

4

.

2.C 解析：如图，另一端落在圆周上任一点，可用圆周长来度量．圆内接正三角形ABC 的边长为

3.若任一端点落在劣弧上，则弦长超过3，而落在劣弧之外，则弦长不超过 3.劣弧之长为圆周的1

3.事件A

＝“弦长超过3”意味着另一端点落在劣弧上，A 可用弧长来度量，故P (A )＝＝1

3

.故选C.

3.B 解析：符合面积型几何概型问题，故选B.

4.A 解析： 0

＋(y －1)2

<1表示圆内部点，此圆内

切于正方形，由几何概型概率计算公式知，概率值等于面积比，即π2×2＝π

4

.

5.C 解析：. 二、填空题

6. 解析：圆周上使的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧的长度为2，B 点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为2

3

.

7.

解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为9

10，则看到广告的概率

约为110，故60×1

10＝6.

8.

π

21

解析：=. 9. 解析：P =. 三、解答题

10．解：如图，四边形ABCD 是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中的阴影部分表示事件A ：海豚嘴尖离岸边不超过2 m ．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．

∵ S 长方形ABCD ＝30×20＝600(m 2

)，S 长方形A ′B ′C ′D ′＝(30－4)×(20－4)＝416(m 2

)，

∴ S 阴影部分＝S 长方形ABCD －S 长方形A ′B ′C ′D ′＝600－416＝184(m 2

)，

根据几何概型的概率公式，得P (A )＝184600＝23

75

≈0.31.

11．解：这是几何概型问题且射线CM 在∠ACB 内部．

在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°

2

＝67.5°.

设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM

则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，

∴ P (A )＝67.590＝3

4

.

12．解：由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．

因为赢的概率为1

5

，

所以红色所占角度为周角的1

5

，

即α1＝360°

5

＝72°.

同理，蓝色占周角的1

3

，

即α2＝360°

3

＝120°，

所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°. 将α3分成四等份，

得α3÷4＝168°÷4＝42°.

即每个绿色扇形的圆心角为42°.