第一讲函数极限连续(学生用).docx

高等数学

第一讲函数、极限、连续

I ?考试要求

1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.

H.考试内容

—.函数

（-）函数的概念对应关系，定义域

（二）函数的性质

1?有界性3M>0, 均有\f（x）\

/（x） < ,有上界；/（x） > M2有下界

/（兀）有界o /（兀）有上界II有下界

2.单调性Xfx i .f （兀2）），单调增加（减

少）.

3.周期性3r>0,Vx€(-oo,+oo),均有/(x + T) = /(x)侧称/⑴为周期函数

4.奇偶性 VXG (-/,/),均有/(-%) = f(x) ( -/(X )),则于(兀)为偶(奇)函数. 【例1】设F\x) = f(x),则下列结论正确的是(

)?

(A) 若/'(X )为奇函数，则尸(兀)为偶函数. (B) 若/⑴ 为偶函数，则F ⑴为奇函数.

(C) 若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数. (D) 若/(X )为单调函数，则F(x)为单调函数.

(三)函数的类型

1. 基本初等函数 y = C, y - x ,u , y - a x , y = y = sinx , y = cos , y = arcsinx f y = arccos .

2. 复合函数

名合一

y 二 /(w), u =(p{x)「：〉y 二 /(0(x))

一拆多

3?反函数)，=/(兀)，x=

4. 初等函数

5. 隐函数 F(x, y) = 0 (x+y = 0, y = sinxy ). 6?幕指函数 f(xY (x) = ^(x),n/(v),/(x) >0.

隐含的分段函数

①,y=|/(兀)|,② y =[/(兀)],③ y = sgn /(%) ④y = max {/(x),g(x)}=心巴心网,

_

\x = rcos3

9?极坐标方程r = 询,\ .八

[y =厂 sm&

二.极限

(一) 极限定义

7.分段函数:

/；(%),%< x 0

f (x\x>x

y = mm{f(x\g(x)} =

/(兀)+ g(x)-|/(x)-gCr)|

2 &参数方程(数一.二要求)

x =(p(t) y = 0(/)

\imx H = A <=> Vr>(),mN >0,当n>N 时, "T8

若记 /(n) = x n , lim /(n) = lim

HT8

n —>oo

|x|>X

lim /(X ) = A?V￡>0,3X>0,当(兀>X)时，\f(x)-A\

0< x-x 0

lim f(x) = A<=> V￡>0,3^>0,当0

~8 v x —x ()v 0

(二) 极限的性质

1. 唯一性

2. 局部保号性

若 lim /(x) = A>0,贝!j3t/(x 0)(|x|>X),使得在其内有 /(x) > 0 Xf0

(XT8)

3. 局部有界性

若lim /(x) = A 存在，贝iJ3(/(,(x ())(|x|>X),使得在其内/(兀)是有界的，

(XT8)

【例2】设/(兀)在x = 0的某邻域内连续，且/(0) = 0, lim /⑴ =2,则/(兀)在 XT0 1

一 COS X

x = 0 处 _________ .

(4)有最大值. (3)有最小值. (C)有极大值. (D)有极小值. 答案：(C)

(三) 无穷大量无穷小量

1. 定义lim/(兀)=0 无穷小，lim/(x) = oo 无穷大

2. 无穷小的主要运算

(1)任意有限个无穷小的和与积仍是无穷小 (2打有界量与无穷小之积仍是无穷小

(3) lim/(x) = A 存在 o /(x) = A+a(a —> 0) 3. 无穷小的比较

设lima (兀)= O,lim0(兀)=0,且lim "兀=1,贝!| 0(兀)

(i) ZHOjHoo, 0(兀)与 0(兀)同阶 (ii) / = 1, a(x) ~ 0(兀)

X n -A <￡.

兀

TXo .V —?x 0 + XTX°-

(iii) / = O, G(x)是0(x)的高阶无穷小，o(x) = o(0(x)) (iv) / = OO , 0(兀)=o(a(x))

注：（1） lima （兀）= lim0（兀）=0,若lim 竽=1」$0,1壬8, a （兀）是0（兀）的

￡阶 0 （兀）

无穷小.

⑵lim 虫込0

a(x)

4. 等价无穷小的应用（*）

若 a （兀）?a\x ） , 0（兀）~ 0'（兀）WJlima （x ）/（x ） = lima'（Qf （x ）

a （x ） a\x ） lim ----- f （x ） = hm ---- f （兀）,

0⑴八 0⑴八

注：一般只在乘除法中应用.

常用等价无穷小

当 XT 0 时，兀?sin x ?tan 兀?arcsin x ?arctan x ?e x -1 ?ln(l + x),

9

1 -cosx ------- ,

2 ci x — 1 ~ 无 In a (a > 0) > (1 + x)k — 1 ~ kx , ”1 + x — 1 ~ —

等.

k

【例3】当兀TO 时，惭数-4sin-是 X X

（A ）无穷小量.

（B ）无穷大量.

（C ）有界但非无穷小量.

（D ）无界但非无穷大量.

【例 4】lim

--- ~— (5sinx + 6arctan x)

—X 3+2X -100

-- .. + 1

［例 5】lim ------- /

^°l-cosVl-cosx

【解】当20时，济-I 迁

.

r

1 -COSX JT 1 -cosvl -COSX ?

（四）极限存在准则

1. 单调有界数列必有极限

注：单增+上界

单减+下界=>极限存在

2. 如果 ^(%) < /(%) < //(%), xe (7°(%0),且 lim g(x) = lim h(x) = A , =>lim f(x) = A

XT 心 Xfb

X 2 +X

1-COSXT O , lim 启「= x

^°l -COS A /1 - COS%

X 2

lim-—— -- --------- XT

O 1 一 cos x

x 2

=lim-^- = 2.

XT

O X~

z

注：适当的缩放.

【例6】Xj = 10 ,兀”+] = Jx n 4-6 (n = 1,2,L ),求极限limx”

反例：设Xj = 1, x n+[ = 2x n +1 (n = 1,2,L ),求极限lim x n.

] 2 n

【例7】lim(- ------- + -------- +L + -------- )= ________ .

〃T8 rr + /? +1 / + 〃 + 2 rr +n + n

(五)两个重要极限

sinx .

1.lim ----- = 1

XT° X

推广型：lima(Q = 0,则lim Sina(x)=[

0 a{x)

1 1

2.lim(l + —) = lim(l + x)x =e

“Too 兀XTO

推广：广，lima(兀)=0 lim(l + a(x))g)=◎

注:幕指函数的极限有以下几种情况:

z lim v(x) , (1)若lim u(x)

= a>0. lim v(x) = b,则lim w(x)v A = (lim “ (兀))_" = a b.

X—>X0X—>X0X—>X0

(2)对广型未定式limw(x)v(r)的极限，可用公式limw(x)v(t) = exp{limv(x)lnw(x)}

或limw(%)v(v) = exp{lim(w(^) - l)v(x)}进行计算.

【例8] (12309) lim(tanx)a,sx-sinA = _______

n JV—?—

4

(六)极限的运算法则

若lim/(x) = A, limg(兀) = 3,贝ij

lim[/(x)±g(x)] = A + B, lim[/(兀)?g(x)] = A-B f lim史◎ =(B H O),

gW B

lim[/(x)r(r) = A\ ( A>0).

lim(p(x) = a ,(p(x)工a, lim/(w) = A,则lim f[(p(x)] = A.

X—>x o UTd XTXo

注：(1)参加运算的只有有限项，且每项极限均存在.

(2)四则运算的讨论

和差：一存在，一不存在=> 和差一定不存在，两不存在=> 和差不确定

一存在，和存在=> 另一极限一定存在

积商：一存在，一不存在(或两不存)=> 积不确定，

宀、 0 °°

(3)不定式8 — 8,0?8，一,一 0 8

注：在反常积分，无穷级数收敛中的应用

x+1 x+1

欲使此式趋向于零，必须且只须a = \,b = -\.因此答案为（C ）.

（八）洛必达法则

1. 若lim/O ） = limg （x ） = 0（8）,且g'（x ）HO, lim 厶凹存在（或为无穷大）,

黒）&（兀）

则 lim = lim 4^ ? （X ）忙邛⑷

2. 求极限常用的方法

等价代换（变量代换，有理化，三角恒等变形），四则运算，洛必达法则

反例:limxsin — , lim(x+l)sin 丄；lim(-1)"(一1)", limsin 2 —.

XT O 兀 XT O 兀 n —>oo XT O -存在，积存在n 另一极限不确定，反例:

limA-2,limxsin

—

（4）重要结论：1讯°0兀"+吗兀"'+L +6 _ 心8 a G x m + h {x m ^ +L + h m

°()

—.n ― m ? %

【例9】设数列乙与儿满足Iimx H 儿=0,则下列断言正确的是

(4) 若占发散, "T8

则儿必发散.

(B) 若耳无界, 则儿必有界. 兀严（-1）〃，儿=0

(C) (D)

若兀有界， 若丄为无穷小，则儿必为无穷小.

则儿必为无穷小. 【例 10】lim"

_COS ；V

XT ()

2

JT

■ Z …? (" 一 COS x)V 1 + x 2

[例 11] hm- ---- ------- -------- =

go 对(1 + g')cosx

Y 2

【例12】若极限lim(-— 一ax-b) = Q i

x+1 JVT8 （A ） a = \,h = \.

（C ） a = \.b = —\. 【解】通分

-- ---- ax-b- (B) a = —1,/? = 1. (D) a = _l" = _l

(1 — ci)x^ — (a + b)x_ b

三连续

1 ?定义若lim /(x) = /(x0),则称y = /(x)在= 点连续

XT.*)

注：连续就是极限等于该点的函数值.因此，通过计算极限，可以判定连续.反过来, 如果已知连续，求极限时，只需计算函数值.

2.单侧连续

左连续lim /(x) = /(兀。)与右连续lim /(x) = /(x0).

x—XTxf

lim /(x) = /(x0) o lim f(x) = lim /(x) == /(x0)

XT 心XT.q XTX。

注：用于分段函数分段点的讨论

3.区间连续如果函数y = f(x)在区间⑺上)中的每一点处都连续，则称y = /(JV)在区间⑺上)中连续，记作f(x)wC(a,b),连续函数的图象是一条连绵的曲线.

/(兀疋C?

注：/(X)G C la h] ? < lim /U) = /(?),类似定义f(x)e C(ah]f/(X)G C|a /7).

lim f(x) = f(b)

.XTb

■ i ■ 5 ?、e A(sinx + cosx) 兀>0__ 八、亠小…

【例13]设/(x) = \在点x = 0连续，则。= ___________ ?

2X + Q x < 0

4 ?间断点及其分类

4?1定义：若y = /(兀)在点兀o不连续，则称点兀o是函数的间断点.

4.2分类：兀。是函数的间断点，lim /(x), lim f\x)都存在，称为第一类间断点.否则X-?A0XTX,称为第二类间断点.

几何分类(四种名称)

极限lim /(兀)存在，但是lim /(x) H /(x0),称为可去间断点.

XT 兀°XTX。

lim /(无)工lim f(x),称为跳跃间断点.

XT.Y R xT.q；

lim f(x) = oo ( lim/(无)=8 , lim f(x) = ?o )称为无穷间断点.

XT*。XT?(6 XT?G °

震荡间断点y = sin—.

注：求间断点的方法：函数没有定义的点，分段函数的分段点

5.初等函数的连续性

基本初等函数住泄义域内连续.

初等函数在定义区问的内部连续.所谓定义区间，是指包含在定义域内的区间.

反例：y = arcsin(x2 +1) 6 ?闭区间上连续函数性质

6. 1最值定理闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值. 推论：/(%)e q 讪，则

/(兀)在［⑦勿有界.

注：7(x)6 C {al .且lim /(x)存在，则/(x)在⑺"］有界.

/(X )G C (~且lim /(兀)存在，则代r)在(-8,甸有界.

.V —>—<*>

类似可讨论区 I'可［Q"), ［d,+oo), (-oo,+oo).

6?2零点定理:设函数y = /(x)在区间［G,S 上连续，且f(a)f(b)<0,则存在 使得 /(^) = 0.

注：用于证明方程根的存在性

推论1:设函数y = /(x)在区间山,川上连续，且/(a)H/(b),则对于介于/(a)与 之间的任意实数C,存在gw(ci,b),使得= C ? 注：提示了辅助函数的构造方法

推论2：闭区间上连续的函数取到介于最大值与最小值之间的任意一个值. 注：(1)闭区间上连续函数的值域是一个闭区间.

(2) y = /(X )G C [ab], 6Z0,z = 1,2,L / ,且工人=1,

/=1

则存在口讪,使得M )= A/(^)+ V (^2)+L +&/(￡)? 【例14】函数/(x) =

rr|SinCV

-2)

?在

下列哪个区间内有界.

x(x —1)(兀—2)J

(A) (-1,0).

(B) (0」)? (C) (1,2).

【解】当0,1,2时，/(兀)连续，而lim f(x) = XT —广

lim /(兀)=泌,lim f(x) = - , lim f\x)=-,所以，函数 /(兀)在(-1,0)内有界, XT0+ 4 XT1 XT2 故选(A)?

III ?题型与例题

1?求函数极限

「_ 2-2COSX

【例1】(12315)求极限lim ——-——?

so %4

【解】当XT O 时，兀2—2 + 2COSXT 0, Z-2+2COSV -1-X 2-2 + 2COS %

由函数的连续性及洛必达法则，得

x" “2-2cosx ^2-2cos.r / 一2+2cos x i \ e -e .. e (e -1) lim ------- ----- = lim -------------- ---------- XT () X YT () X

sin 3

18

(D) (23)?

方法：四则运算，等价无穷小代换，洛必达法则,

泰勒公式

“m严。I m亡二上―亦宀2 + 2g

A->0 XT() 兀4 X?T()X4

“ 2x-2sinx “ 2-2cosx =lim -------- : ---- = lim -------- —— 兀 TO

4x XTO

12x^

= lim —=—

Z )\2x 2

12

【例2】(11115) 求极限lim

x->0

幕指函数求极限有以下几种情况:

z ?、

lim v(x) ,

(1)若 lim u(x) = a>0, lim v(x) = b,则 lim w(x)v(A) = (lim w(x))t_>t °

= a h .

KTX()

X —>X 0

X —>X Q

(2)对幕指型未定式limw(x)v(v)的极限，可用公式limw(x)v(v)

= exp{limv(x)Inw(x)}

(3) 对广型未定式limw(x)v(v)的极限,limw(x)v(v) = exp{lim(w(x) - l)v(x)}进行计算.

,2 + e x sinx x

【例3】求极限lim( --- + ------- ).

I X I 1+°Y

【解】因为

丄

_3

2 + e x sinx 、 「 2e x +e x sinx x , )=lim( + ——)=1 20 —— X

丄 丄

z 2 + e x sinx 、 v z

2 + e x

sinx x ’ , hm (——r + —-) = lim (——r ---------- ) = 2-1 = 1 XT (厂 一 X XT (厂 一 X

1 + b \ + e x

所以原式二1?

2. 已知极限求参数

小结：1?*已知=

g （x ）

⑴若g （X ）TO,则 /'（兀）TO; ⑵若/（兀）TO,且4工0,则g （兀）T O ?

2 ?已知 lim/^ =

g （Q

? (D

ln(l+x)-x

【解】 -X 5( i 1 + 0* H ------- 1兀1 lim

lim

XT O

lim ------- - — _￡

x->o2x(l+x) _ q 2

—匕

（1）若 /（兀）Too,则g（兀）Too；

⑵若g（X）T 8 ,且A H 0 ,则/（X）T 8 ?

]+ JC I

【例 4】(12215)已知函数 f(x) = ---------- =

sin x x

?T ()

(I)

求d 的值；

(II) 若当XTO 时，f(X )7与*'是同阶无穷小，求常数￡的值.

.?

/ 丫、 v — 、 v （1 + 兀）兀一sin 兀

（l + x ）x-sinx

【解】 （I ）a = hm f （x ） = hm- ----- - -------- = lim- ----- 二 -----

XTO

D xsinx XTO

x

l + 2x-cosx 「 2 + sinx . 二 lim -------------- = lim ---------- 二 1 ? XT （） 2x XT （） 2

(II)当XTO 时，/(x) —a 与/是同阶无穷小,

「 f （x ） -1 - x + x 2 -sinx-xsinx

咽勺厂=

烛 ------ 产 -----

=恤竺土沁±畔，可知"1. Z 伙+ 2)伙+ 1)卅T

3. 求数列的极限

方法：1 ?转换成函数极限2 ?存在准则3 ?定积分定义

兀 2

【例 5】求 limtan z,(- + -)

nT8 4 n

【解1】洛必达法则.

令 儿 二 tan"(―+ —),则In 儿=n\n tan(— + —),

4 n 4 n

In tan(— + 2x) 少

用洛必达法则lim -------- -------- = 4.于是，limtan7- + -)

XT

O % Z

?T8 4 fl

【例6】(12221)(本题满分10分)

(I )证明方程x^ + Z-'+L +x = l (n> 1整数)，在区间(丄,2)内有且仅有一个实根.

2

(II)记(I )中的实根为暫，证明lim 兀存在，并求此极限.

川T8

【解】(I )令/(x) = x rt +x w -,+L +X-1,则 /(X )€ C,

于是，W/4) = -^<0.又/(l) = n-l>0,

J J

f\x) = nx ,l ~x + (n - l)x w ~2 +L +1 >0(—

因此，方程兀” + 严+L +x = 1区间(丄,2)内有且仅有一个实根.

2

(II)因为X ；： + 兀；「+L + ￡ = 1, *：： + x ；；+i +L + ￡+】=1，￡ v ￡，兀+i v

=lim XT （） 1 + 2兀一 cos x-sinx-x cos x （k + 2）?+, ■ ? 2 + sinx -2 cos x + xsin x =lim ------------------------ : ----- “TO 伙+ 2）伙+ 1）家

1，

贝IJ <1+C1 +L +聲+I<1，从而，￡+1<兀“由单调有界数列有极限可知lim 兀存 打T8 在,

记为 limx = d ，而—

—8 2 ~ 2" ~ "T8 2" HT8 ~

lim* = 0,由< + <* +L +益=1 =>叫—兀 =1取极限得旦 =1,得a =-? 1_￡

— Q 2

三.连续性与间断点

方法：间断点的讨论1?无定义点2?分段点

sin ———,x<0

x" — 1

cos(— x)

2

【解】在(-oo,0)±/(x)在兀二-1没有定义，lim /(x)不存在且震荡; JVT-1

在区I'可(0,+oo)上，函数/(兀)在兀二2咒一 1(/? = 1,2,L)没有定义，且

4

lim f(x) = oo,〃 = 2,3,L , lim/(x)= ---------

XT 2”-1

A —>1

兀

在兀=0处，f(0-0)= lim sin — = sin(-l),

YT (F

q — 1

综上所述，函数/(X )在(—,0), (0,+oo)上均为初等函数，所以，/(兀)在

(_oo,+oo)上除x = 0f 兀= 2/? — 1(刃二0,1,2,L)外处处连续，x = -l 是震荡间断点(第 二类)，x = 0是跳跃间断点(第一类)，兀=1是可去间断点(第一类)，x = 2〃 — 15 = 2,3,L )

是无穷间断点(第二类).

【例8】设函数/(兀)在区间［0,2a ］上连续,且/(2a) = /(0),则存在［0,a ］,使 得 /?

+ $) = /??

证零点定理证明函数的介值等式.

令F(x) = f(a^-x)-fM i 则在区间［0,a ］±连续.计算可得

F(0) = /(^)-/(0), F ⑷= f(2a)-f(a) =/(0)-/(6Z )= -F(0)

如果F(0) = 0,则即为所求.如果F(0)H0,根据零点定理，存在矢［0,d ］,使得 F? = 0,即

f (Q + ? = f??

【例7】讨论函数f\x) = \ x 2-l

,%>0

的连续性，并判断间断点的类型. /(0 + 0) = lim XT

O+

cos(^x)

=—1*(0 —0)

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

第二章极限习题及答案：函数的连续性

函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；

（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

函数极限与连续习题(含答案)

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经 过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：(1)若 f (x ) 在 x 0 点连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点必有极限 2)若 f (x )在x → x 0点有极限，则 f (x )在x 0点必连续 3)若 f (x )在x → x 0点无极限，则 f (x )在x = x 0点一定不连续 (4)若 f (x ) 在 x = x 0 点不连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点一定无极限。 其中正确的命题个数是( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若 lim f ( x ) = a ，则下列说法正确的是( C ) x →x 0 A 、 f (x )在x =x 0处有意义 B 、 f (x 0)=a C 、 f (x )在x = x 0处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于x 0 3、下列命题错误的是( D ) A 、函数在点x 0 处连续的充要条件是在点x 0 左、右连续 B 、函数 f (x )在点x 0处连续，则lim f (x )= f (lim x ) 0 x →x 0 x → x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x )有lim f (x ) = f (x 0) x → x 0 0 4、已知f (x )= 1 ，则lim f (x +x )- f (x )的值是( C ) x x →0 x 11 A 、 B 、 x C 、 - D 、 - x x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是( B ) x 2 + ax + b 6、lim x +ax +b =5，则a 、b 的值分别为( A ) x →1 1 - x A 、- 7和6 B 、7和- 6 C 、- 7和- 6 D 、7和6 7、已知f (3) = 2, f (3) = -2,则lim 2x - 3 f (x )的值是( C ) x →3 x - 3 8、l x i →m a 3 x x --3a a =( D ) A 、lim x = 1 B 、lim x -1 = 1 C 、lim x -1=1 x →0 x x →1 2(x -1) x →-1 x - 1 lim x x → 0 x =0 A 、-4 B 、0 C 、8 D 、不存在 D 、

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

函数极限与连续习题加答案(供参考)

第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1．2x y = 与x y =相同； （ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是 ； 3.1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）

A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ；

高等数学1.3-函数的极限

第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

最全大学高等数学函数、极限和连续(新)

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x

函数及极限习题及答案

第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f == ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ；

第一讲 函数极限连续1003

第一讲 函数、极限与连续 一、考试要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极 限存 在与左、右极限之间的关系。 6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。 8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限。 9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数 （1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=??()[()]x y f x ?=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。 （5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。 特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则?x dt t f 0)(为奇函数； 若)(x f 为奇函数，则?x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。 特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0 )(0 =? T dt t f ，则?x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??

2015函数、极限与连续习题加答案

2015函数、极限与连续习题加答案

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 2 第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1 ． 2 x y =与 x y =相同； 2. ) 1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. ) 0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 3 （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则) 1(2 +x f 的定义域 是 ； 3. 1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11)(x x +=?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.) 2(sin log 2 +=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1 )(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ， ___________)1 (=a f ， _ __________)]([=x f ?。

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 4 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ） A 、 x 3 sin B 、1 3 +x C 、 x x +3 D 、 x x -3 2.设5 4)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.) sin()(2 x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域

函数极限连续单元测试与答案

函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于（ ） （A ） ) 41ln(π + （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2 x e （B ）x e 2 （C ）2 x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2 x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π

第一讲函数极限连续(学生用).docx

高等数学 第一讲函数、极限、连续 I ?考试要求 1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. H.考试内容 —.函数 （-）函数的概念对应关系，定义域 （二）函数的性质 1?有界性3M>0, 均有\f（x）\ M2有下界 /（兀）有界o /（兀）有上界II有下界 2.单调性Xfx i .f （兀2）），单调增加（减

少）.

3.周期性3r>0,Vx€(-oo,+oo),均有/(x + T) = /(x)侧称/⑴为周期函数 4.奇偶性 VXG (-/,/),均有/(-%) = f(x) ( -/(X )),则于(兀)为偶(奇)函数. 【例1】设F\x) = f(x),则下列结论正确的是( )? (A) 若/'(X )为奇函数，则尸(兀)为偶函数. (B) 若/⑴ 为偶函数，则F ⑴为奇函数. (C) 若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数. (D) 若/(X )为单调函数，则F(x)为单调函数. (三)函数的类型 1. 基本初等函数 y = C, y - x ,u , y - a x , y = y = sinx , y = cos , y = arcsinx f y = arccos . 2. 复合函数 名合一 y 二 /(w), u =(p{x)「：〉y 二 /(0(x)) 一拆多 3?反函数)，=/(兀)，x= 4. 初等函数 5. 隐函数 F(x, y) = 0 (x+y = 0, y = sinxy ). 6?幕指函数 f(xY (x) = ^(x),n/(v),/(x) >0. 隐含的分段函数 ①,y=|/(兀)|,② y =[/(兀)],③ y = sgn /(%) ④y = max {/(x),g(x)}=心巴心网, _ \x = rcos3 9?极坐标方程r = 询,\ .八 [y =厂 sm& 二.极限 (一) 极限定义 7.分段函数: /；(%),%< x 0 f (x\x>x y = mm{f(x\g(x)} = /(兀)+ g(x)-|/(x)-gCr)| 2 &参数方程(数一.二要求) x =(p(t) y = 0(/)

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；