含绝对值的不等式
含绝对值的不等式
[学习要求]
（1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。
（2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。
[重点难点]
1．实数绝对值的定义:
|a|=
这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则
|x| |x|>a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| |f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x) 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 例题选讲: 第一阶梯 例1：实数绝对值的涵义是什么？ 探路：实数绝对值的定义是分类给出的。 解：正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 即： 评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。例2：型如：|x| 探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。 解：当a>0时， |x| |x|>a x2>a2x>a或x<－a；其几何意义为 评注： 解：型如|x| 例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|” 探路：利用“代换法” 证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。 （1）|a·b|=|a|·|b|；（2），（b≠0）； （3）|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；（4）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b| 例4：不等式||<1的解集是（） （A）{x|5 （C）{x|7 探路： 根据不等式的性质|f(x)| 解： <1－1<－3<12<<44 评注：本题考查含绝对值不等式的解法。 例5：解不等式|3x+2|+|x-2|>4 探路： 含多个绝对值符号的不等式，利用零点、分区间、讨论法。 解：由3x+2=0，得x=；由x-2=0，得x=2，∴ 原式或或 或或 x<－1或0 x<－1或x>0 故原不等式的解集为{x|<－1或x>0} 评注： ①解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般采用零点、分区间、讨论法；即先求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把序轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式去解。 ②分类讨论思想、解关于x的不等式，若对x讨论，所求不等式的解集是各种情况所得解集的并集。 第二阶梯 例1：解下列不等式 （1）|-2|≤3；（2）|x2-3x|>4 探路：当a>0时，有|f(x)| ≤a－a≤f(x)≤a；|f(x)|>a f(x)>a或f(x)<－a 解： （1）原不等式－3≤－2≤3－1≤≤5，∵≥0， ∴0≤≤50≤3x-2≤252≤3x≤27≤x≤9 ∴原不等式的解集为{x|≤x≤9}； （2）原不等式x2-3x>4或x2-3x <-4x2-3x-4>0或x2-3x+4<0 解x2-3x-4>0，得x<-1或x>4；解x2-3x+4<0，得x∈ ∴原不等式的解集是{x|x<-1或x>4}。 评注： 依据a>0，x∈R时，有|x| （a>0）；|f(x)|>a f(x)>a 可知，去掉绝对值符号的主要方法，为 |f(x)| 或f(x)<－a，（a>0） 例2.解下列不等式 （i）|x2－9|≤x+3； 探路：根据实数绝对值的意义，即|a|=去掉绝对值符号，再行解之。 解：原不等式（I）或（II） 不等式组（I）x=－3或3≤x≤4； 不等式组（II）2≤x＜3； ∴原不等式的解集是{x|x=－3或2≤x≤4}。 探路（2）：根据不等式的性质|f(x)|≤g(x)－g(x)≤f(x)≤g(x)去掉绝对值符号，再行解之。 解：原不等式－(x+3)≤x2－9≤x+3≤ x=－3或2≤x≤4。 ∴原不等式的解集为{x|x=－3或2≤x≤4}。 评注： 解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号，然后再解；去绝对值符号的常用手段有三种，即根据实数绝对值的意义，去绝对值符号；根据不等式性质：去绝对值符号，在这里不必考虑g(x)的符号问题；也可以根据|a|2=a2，（a∈R），将不等式两边平方，此时要注意不等式两边平方的条件。 （ii）>2x； 探路： |f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)（请同学们直接使用，证明略） 解：原不等式>2x或 <－2x； 由>2x，得x<或x>； 由<－2x，得 ∴原不等式的解集为{x|x<或x>} 评注：熟练应用“|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x) 例3：解下列各不等式 (i) 探路： 利用，将原不等式化为关于|x|的含绝对值二次不等式，先求出|x|的取值范围，再求x的取值范围。 解：∵x2=|x|2 ∴原不等式的解集为 评注：对上面介绍的五种去掉绝对值符号的方法，不要盲目套用，要分析题目的结果特征，选择解题的最佳途径是我们要培养的基础功。 (ii) 探路：∵不等式两边均为非负数，∴可以利用“平方法” 解：∵不等式两边都是非负数，∴不等式两边分别平方，得 ，整理得 又∵此不等式两边都是非负数，∴两边分别平方，得 整理，得 ∴原不等式的解集为； 评注：在利用“平方法”去绝对值符号时，必须注意不等式两边都非负的条件。 探路：可以利用零点、分段、讨论法（即零点区间法） 解4：求零点：令x+3=0，得x=-3；令x-3=0，得x=3 。分段：两个零点将R分为三段； （i）当x≥3时，原不等式化为|x+3-x+3|>3，∵此不等式恒成立；∴x≥3 （ii）当x≤-3时，原不等式化为|-x-3+x-3|>3，∵此不等式恒成立，∴x≤-3 （iii）当-3 求(i)、(ii)、(iii)的并集，得原不等式的解集为 第三阶梯 例1：设集合，若A B，求实数a的取值范围。 探路：分别解绝对值不等式，分式不等式，化简集合A，B，再将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求a的取值范围。注意此时应包括端点。 解：|x-a|<2-2 ∴A={x|a-2 ∵A B,于是0≤a≤1。 评注： 本题考查的方向是求满足条件实数a的取值范围；考查的知识点为：绝对值不等式，分式不等式的解法以及集合的知识；考查数形结合的数学思想，必须指出的是集合的包含关系，可直观 地解释为数轴上区间的覆盖关系，从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求得a 的取值范围。 例2：求证： 探路： 用综合法不易得手时，可从结论分析入手，逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充要条件。 成立，∴原不等式成立。 评注： 本题考查用分析法证明不等式，是对课本P27。例4，证明方法的挖潜，∵每一个不等式都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件），或用双向箭头“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件）连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连结。通过练习，落实数学思想和方法。 例3：已知| a | < 1, | b |< 1，试比较| a+b | + | a-b | 与2的大小。 探路： ∵要比较大小的对象含有绝对值符号，∴可联想算术平方根，对其进行变形，再利用不等式的性质进行放缩处理。 评注： 对于含有绝对值符号的比较大小问题，可视为绝对值不等式的证明，要结合绝对值不等式的性质，利用放缩等方法解决问题。 探路：本题也可以按a+b与a-b的符号分类讨论，解答问题。 解： (i) 当a+b与a-b同号时，有 (ii)当a+b与a-b异号时，有 (iii)当a+b与a-b至少一者为零时，结论显然 综上所述：|a+b|+|a-b|<2 仅供参考，不必深究。 例4：设a>0，且a≠1，解关于x的不等式 探路：利用“同底法”。 解： ∴原不等式 (i)当0 不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为； (ii)当a>1时 不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为 评注： 本题是含字母系数a的对数不等式，参数a的作用有两个：一是由0 第四阶梯 例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............① 解:①-4 -5 例2．解不等式|x2-3|>2x...........① 解:①x2-3<-2x或x2-3>2x x2+2x-3<0或x2-2x-3>0 -3 即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。 例3．解不等式| |≤1...........① 解:① (2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0 (x+4)(3x+2)≤0, -4≤x≤- 。 (3) x≠1。 ∴原不等式的解集为[-4，- ]。 例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........① 分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。 解:将不等式①化为三个不等式组 （I）-2 （II）-1≤x≤2； （III）2 ∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。 例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。 解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴原不等式无解。 说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。 例6．已知:|a|<1, |b|<1。求证:| |<1.........① 证法1：欲证①，只需证<1, 只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0, 只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............② ∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立， ∴原不等式成立。 证法2：欲证①，只需证-1< <1, 只需证（ +1）（ -1）<0, 只需证 · <0, 只需证 <0, 只需证 <0............③ ∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a 2<1, b 2<1，即a 2 -1<0, b 2 -1<0, 又(1+ab)2 >0, ∴③式成立， ∴ 原不等式成立。 例7．求证: ≤ ≤ + 。 证法1: ∵ ≤ |a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|) |a+b|≤|a|+|b|。 ∵ 上式显然成立，∴ ≤ 成立。 又 = + ≤ + 。 ∴ 原命题成立。 证法2：这里只证明 ≤ 分析:观察两式结构均为 的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明 函数y= 在[0，+∞）上单调递增即可。 证明:设0≤x 1≤x 2, 则 - = ， ∵ 0≤x 1≤x 2, ∴ x 2-x 1≥0, 1+x 1>0, 1+x 2>0, ∴ ≥0。 ∴- ≥0, 即≥, 设x1=|a+b|, x2=|a|+|b| ∵ |a+b|≤|a|+|b|, ∴≤。 参考练习: 1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。 2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。 3．解不等式 | -3|>1。 4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。 5．求y= 的值域。 6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|< , |f(2)|< , |f(3)|< ,不可能同时成立。 7．已知|x|< , |y|< , |z|< , (ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。 参考答案: 1. [-6, -2]∪[-1, 3]； 2. (-∞, -1)； 3. [ , 2)∪(6, +∞)； 4. 提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]， （2，3）解即可。解集（0，）∪[ ，3]。 5．提示:可用反解法解出sinx= ，则解不等式| |≤1得y∈[-4, - ]。 6．提示:用反证法 略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|< , 及|9+3a+b|< 同时成立。 由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z, ∴ 1+a+b=0.........① 同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③ 由①，②解得a=-3, b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不 能同时小于。 7．证明略。 测试 选择题 1．求不等式(1+|x|)(|2x+1|-4)>0的解集是( ) A.x> B. x>或x<- C. x<- D. x<-1 2．不等式|x-2|+|x+2|<10的解是( ) A.x>5 B.x<2 C. -5 D.x>7 3．解关于x的不等式x2-2ax≤-a2+1 ( ) A.a-1≤x≤a+1 B.a+1≤x≤a-1 C.a≤x≤a+1 D.a-1≤x≤a 4．解不等式( ) A.x>2 B.x=-2或 C. D.x=-2 5．解不等式：( ) A. B. C. D. 答案与解析 答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、A 解析： 1.分析：首先观察不等式，不难发现(1+|x|)是非负的，所以(|2x+1|-4)必须大于0。解(|2x+1|-4)>0就可以了。 2.分析：首先寻找零点，就是|x-2|=0和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2≤x ≤2和2 注：也可取特殊值代入验证：0满足不等式，所以解集中应该有0，排除A、D；再代入-5验证。 3.分析：原不等式等价于 x2-2ax+a2≤1。 即 (x-a)2≤1，-1≤x-a≤1。 ∴原不等式的解集为a-1≤x≤a+1。 4.分析：原不等式 5.分析：原不等式 绝对值不等式内容归纳 1、含有绝对值的不等式的性质 (1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|, ∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|), |a+b|≤|a|+|b|........① 含绝对值的不等式 [学习要求] （1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。 （2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| 评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。 例2：型如：|x| 高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题 1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,. （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥； （2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立 2．已知函数()32f x x =-. （1）若不等式213f x t ? ?+≥- ???的解集为11,,33????-∞-?+∞ ??????? ，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++?对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围． 4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟 ． （1）求a 的值； （2）若()()3 f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8； （2）已知关于x 的不等式f （x ）2 2 a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2 ()|24|f x x a x a =-+-. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥； （2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 7．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值； （Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中x的系数相同时。 运用三角不等式：a?b≤a±b≤a+b 例1：求函数f x=x?3+x?4的最值 解：x?3+x?4≥x?3?x?4=1，函数f x的最小值为1。 例2：求函数f x=2x?1?2x?3的最值 解：2x?1?2x?3≤2x?1?2x?3=2，即得到?2≤2x?1?2x?3≤2，函数f x的最小值为?2，最大值为2。 2、当绝对值中x的系数不相同时。 ①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。 例：求函数f x=2x?2+x+2的最值 解：当 x≤?2 ?x+2?(2x?2)即 x≤?2 ?3x， 当 ?2 则有f x= ?3x, x≤?2 ?x+4, ?2 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 求绝对值不等式中参数的取值范围 求绝对值不等式中参数的值 例1 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}15x x <<，求实数,a b 的值。 变式 已知关于x 的不等式2x a b +<的解集为1322x x ??-<,分别求出以下情况中m 的取值范围 (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ； (3)若不等式解集为?。 规律总结：问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )a 恒成立?f (x )min >a . 变式1 把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3| 含绝对值的不等式 教学目标 1.认知目标 （1）掌握|x| 教学过程设计 教师活动学生活动设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 口答 a (a>0） |a|= 0 (a=0) -a (a<0) 绝对值的概念是解|x|>a与 |x| 含绝对值不等式解法要点归纳 解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键． 一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法 去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有： 1．定义法去掉绝对值符号 根据实数绝对的意义，即| x | = (0) (0) x x x x ≥ ? ? -< ? ，有： | x |＜c? (0) (0) c x c c c φ -<<> ? ? ≤ ? ；| x |＞c? (0) 0(0) (0) x c x c c x c x R c <->> ? ? ≠= ? ?∈< ? 或 ； 2．利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b?a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号． 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点． 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 \ 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． ' 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| · B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 ： B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ? 123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 、 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 含绝对值不等式的解法 (3) 学习目标：1. 掌握绝对值不等式的几种解法;并解决绝对值不等式的求解问题 2. 理解含绝对值不等式的三种解法思想：去掉绝对值符号，等 价转化，数形结合。 一课前准备，复习： 根据公式：|x| x<－4. ii ）当 时，原不等式可化为x+3+3-x>8，6>8矛盾，此时不等式无解。 iii ）当x ≥3时，原不等式可化为 ，即x>4.此时不等式的解为x>4. 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法二：利用绝对值的几何意义，借助 求解。 解 如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为 ，因此区间[－3,3]上的数 不等式的解．设在A 点左侧存在一点A1，使得A1到A ，B 的距离之和为8，即|A1A|＋|A1B|＝8，设点A1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ . 同理，设点B 的右侧存在一点B1，使|B1B|＋|B1A|＝8，设点B1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ . 从数轴上可以看到，A1与B1之间的点到A 、B 的距离之和都 ，而点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都 8. 所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键. 解 原不等式可转化为 >0， 构造函数y ＝ ，即y ＝??? －2x －8 x ≤－3 ，－2 －3 含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a ＜-6，化简26a -得() +6 2.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|＜3}，B ={x ||x -1|≥1}，则A ∩B 等于() A.{x |-1＜x ＜5} B.{x |x ≤０或x ≥2} C.{x |-1＜x ≤0} D.{x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是（） 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2｜x ｜-3＞0 3.已知全集U =R ,A ={x ｜x 2-2x -8＞0},B ={x ｜｜x +3｜＜2},求： (1)A ∪B ,C u （A ∪B ）(2)C u A ,C u B ,（C u A ）∩（C u B ） 4.解不等式3≤|x －2|＜97.解不等式|3x －4|＞1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式|x +1|+|x －2|<4. 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 绝对值不等式|||||| a b a b +≤+，|||||| a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式2|55|1 x x -+<． ［题根4］解不等式2|55|1 x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜含绝对值的不等式
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