人教版高中数学必修5第二章数列
§2.1 数列的概念与简单表示法
教学目的：
1.通过本节学习,让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,把数列融于函数之中;
2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;
3.理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象;
4.理解通项公式与递推公式的异同;
5.通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过日常生活重的大量实例,鼓励学生动手试验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度;
6.通过本节章头图的学习,体会数学来源于生活,理解大自然的丰富多彩,感受“大自然是懂数学的”,从而提高学生学习数学的兴趣. 教学重点：
1.理解数列及其有关概念;
2.了解数列的通项公式和递推公式的意义,并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项;
3.了解数列和函数之间的关系. 教学难点：
1.根据数列的前几项,归纳出数列的通项公式;
2.理解递推公式和通项公式的关系;
3.数列的递推公式及其应用的处理技巧. 教学过程： 一、引入新课： 创设情景
引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列……都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律?真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是
13,8,5,3,你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?这种规
律就是我们将要学习的数列. 引例
1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数63
4
3
2
2,,2,2,2,2,1 2.某班学生的学号由小到大排成一列数45,,4,3,2,1
3.1984年至2008年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数
51,32,28,16,16,5,15
像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点? 共同特点: (1)每一项都是一个数; (2)这些数在排列上按一定顺序来. 二、讲解新课： 1.数列的概念
按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.
注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序
不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.
2.数列的记法
数列的一般形式可以写成: ,,,,21n a a a ,可简记为}{n a .其中n a 是数列的第n 项. 3.数列的通项公式
如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式)(n f a n =来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如 ,0,1,0,1,0,1,0,1,
它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|2
1
cos |π+=n a n .
(2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项. 4.数列的本质
从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集*
N (或它的子集},,3,2,1{n )的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列. 5.数列的分类
(1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 一个数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 一个数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;
各项相等的数列叫做常数列; 一个数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小
于它的前一项的数列叫做摆动数列.
6.递推公式
已知数列的第一项(或前几项),且任一项n a 与它前一项1-n a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.
三、讲解范例：
例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:
(1)4
1
,31,21,1--
; (2)0,2,0,2. (3)7,5,3,1 (4)5
1
5,414,313,2122222---- 解: (1)n a n n 1)1(+-= (2)|2
1
cos |2π+=n a n
(3)12-=n a n (4)1
1
)1(2+-+=n n a n
类型题: 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.
(1) ,0,1,0,1 (2) 35
6,245,154,83,32---
(3) ,7777,777,77,7 (4) ,31,25,19,13,7,1---
(5) ,9,9,7,7,5,5,3,3,1 (6) ,15,7,3,1
(7) ,42,30,20,12,6,2--- (8) ,9999.0,999.0,99.0,9.0
(9) ,316,3,34,
31 (10) ,9910
,638,356,154,32 答案: (1)2)1(11+-+=n n a (2)1)1(1)1(2
-++?-=n n a n
n (3))110(9
7-=n
n a (4))56()1(--=n a n n
(5)2
)1(1n n n a -++= (6)12-=n
n a
(7))1()1(1
+-=+n n a n n (8)n n a 10
11-=
(9)32n a n = (10))
12)(12(2+-=n n n
a n
点评: 这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,
然后在通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题: ①用n
)1(-和1
)
1(+-n 来调整符号;②各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再
找规律;③借助一些特殊的数列:}2
)1({},2)1(1{
},{},12{},{},1{12+-+-+n n a n n n n n
④有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.
例2 根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项.
(1)1
+=
n n a n (2)n a n
n ?-=)1( (3)2=n a 解: 略
例3 在数列}{n a 中,21,3101==a a ,通项公式是项数的一次函数.
(1)求数列}{n a 的通项公式,并求2008a ; (2)若n n a b 2=,求数列}{n b 的通项公式.解: 略
例4 已知数列}{n a 的通项公式为3922
++-=n n a n .
(1)试问2是否是数列}{n a 中的项?(2)求数列}{n a 的最大项; (3)若0≥n a ,求n .解: 略 例5 已知数列 ,5
13,25,37,
2,1 (1)写出这个数列的一个通项公式n a ; (2)根据n a 判断数列}{n a 的增减性和有界性.
解: (1)n n a n 23-=
(2)因为01
2
2)23()123(1>+-=--+-=-+n n n n a a n n 所以数列}{n a 是递增数列 又因为32
30<-= 例6 已知数列}{n a 的首项11=a ,且)1(1 11 >+=-n a a n n ,写出这个数列的前5项.解: 略 例7 (1)已知数列}{n a 的首项21=a ,且)1(41≥-=+n a a n n ,试写出这个数列的前4项,并归 纳出通项公式. (2)在数列}{n a 中,01=a ,)12(1-+=+n a a n n (* N n ∈),试写 出这个数列的前4项,并归纳出通项公式.解: 略 例8 设数列}{n a 是以1为首项的正数列,且)(0)1(8 1221N n a a na a n n n n n ∈=+-+++,求数列 }{n a 的通项公式.解: 略 类型题1: 已知数列}{n a 满足21=a ,n n a a 21=+,写出前5项,并猜想n a . 类型题2: 已知数列}{n a 满足21=a ,2 21+=+n n n a a a ,写出前5项,并猜想n a . 类型题3: 已知数列}{n a 满足31=a ,231 -=+n n a a ,写出前5项,并猜想n a . 例9 已知数列}{n a 的递推公式是n n n a a a 2312-=++,且3,121==a a .求: (1)5a ; (2)127是这个数列中的第几项? 例10 若记数列}{n a 的前n 项和为n S ,试证明???=>-=-11 11n S n S S a n n n .证明: 略 变式题1: 已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求n a .变式题2: 已知数列}{n a 的前n 项和为12++=n n S n ,求n a .变式题3: 已知数列}{n a 的前n 项和为12-=n n S ,求n a . 例11 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的 个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(P30 例2) 解: 略 例12 如图 是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形 演化而成,其中18732211=====A A A A A A OA , 记87321,,,,,OA OA OA OA OA 的长度所在的数列为}{n l (81,* ≤≤∈n N n ) (1)写出数列的前4项;(2)写出数列}{n l 的一个递推关系式;(3)求}{n l 的通项公式;(4)如果把图中的三角形继续做下去,那么20089,OA OA 的长度分别为多少?解: 略 课题: §2.2等差数列 ●教学目标 知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 ●教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本P41页的4个例子：①0，5，10，15，20，25，…②48，53，58，63③18，15.5，13，10.5，8，5.5④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。 ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若 n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。 思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是 d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通 项n a 。 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- [范例讲解] 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-?-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项 例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。 解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2）） ])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数 ∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 。 注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，… ②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q. ③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)，称其为第3通 项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 Ⅲ.课堂练习 课本P45练习1、2、3、4 Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2， n ∈N + ）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后， 还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用. Ⅴ.课后作业 课本P45习题2.2[A 组]的第1题 ●板书设计 课题: §2.2等差数列 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标 知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。 情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 ●教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- Ⅱ.讲授新课 问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即：2 b a A += 反之，若2 b a A += ，则A-a =b -A 由此可可得：,,2 b a b a A ?+=成等差数列 [补充例题] 例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列 ∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a － 3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32 [范例讲解] 课本P44的例2 解略 课本P45练习5 已知数列{n a }是等差数列（1）7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？（2） 112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？（3）2(0) n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？ 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 探究：等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习 1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d 2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a Ⅳ.课时小结 节课学习了以下内容： 1．,,,2 a b A a A b += ?成等差数列 2．在等差数列中， m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) Ⅴ.课后作业 课本P46第4、5题 ●板书设计 第五课时 2.3.1 等差数列的前n 项和（一） 教学要求：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点：灵活运用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程： 一、复习准备： 1. 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质. 2. 提问：小明喜欢摆积木，幼儿园的老师给他布置了这样一个任务，要求他将一堆形状规则的正方形积木摆放“整齐”，最下面一层摆13个，往上一层摆11个，再往上一层摆9个，、、、依次往上，当摆到第6层时，问需要几个这样的正方形积木？如果已知小明将老师给的积木全部摆完时，最上层的积木恰有3个，你能说出老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗？ 二、讲授新课： 1. 教学等差数列前n 项和公式： ① 等差数列前n 项和的定义：一般地，我们称123n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =++++. ② 等差数列前n 项和公式：2)(1n n a a n S += 或2 )1(1d n n na S n -+=.（实际解题时根据题目给出的已知条件选择合适的方法来解决） 2. 例题讲解： 例1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求28S . （学生练→学生板书→教师点评及规范） 练习：⑴在等差数列{}n a 中，已知399200a a +=，求101S . ⑵在等差数列{}n a 中，已知 15129620a a a a +++=，求20S . 例2、已知数列{}n a 的前n 项和为2 1 2 n S n n =+ ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系： 由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =???≥-=-) 2() 1(11n S S n S n n . 例3、在等差数列{}n a 中，已知1020310,1220S S ==，求30S . 结论：等差数列中1020103020,,S S S S S --，成等差数列. （推广：等差数列中232,,m m m m m S S S S S --成等差数列.） 3. 小结：等差数列前n 项和的定义、公式，性质及其应用. 三、巩固练习： 1. 练习：教材P52页 第1题 2. 作业：教材 P52－P53页 A 组 第2、3题 第六课时 2.3.2 等差数列的前n 项和（二） 教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式. 教学难点：灵活应用求和公式解决问题. 教学过程： 一、复习准备： 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212 343 n S n n =++，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 二、讲授新课： 1. 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2 n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数， 且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ （是，1a p q r =++，2d p =）. 由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+ =可化成式子：n )2 d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式. 2. 教学等差数列前n 项和的最值问题： ① 例题讲解： 例1、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值. 结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥ 0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2 d a (n 2d S 12n -+= 利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取. 它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额? 112?? ?????? 存期＋存期（存期＋）利率. 若某人每月初存入100元，月利率5.1%。，到第12个月底的本利和是多少？若每月初存入一笔金额，月利率5.1%。，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么第月初应存入多少金额？ 3. 小结：等差数列前n 项和公式、性质及其应用. 三、巩固练习： 1. 练习：设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且312a =，12130,0S S ><，（1）求公差d 的取值范围；（2）1212,, ,S S S 中哪一个最大，并说明理由. 2. 作业：教材P53页 A 组第4题 B 组第1题 第一课时 5.2.4等比数列（一） 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点： 遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 教学过程： 一. 复习准备 1. 等差数列的通项公式。 2. 等差数列的前n 项和公式。 3. 等差数列的性质。 二.讲授新课 引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”2细胞分裂模型3计算机病毒的传播 由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点 进而让学生通过用递推公式描述等比数列。 11,n n a a a a q +== 让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式 21321431123(1)n a a d a a d a d a a d a d a a n d =+=+=+=+=+=+- 212 32134311 1n n a a q a a q a q a a q a q a a q -====== 注意：1公比q 是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。 2当首项等于0时，数列都是0。当公比为0时，数列也都是0。 所以首项和公比都不可以是0。 3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q 大于1，公比q 小于1时数列是怎么样的？ 4以及等比数列和指数函数的关系 5是后一项比前一项。 列：1，2，（略） 小结：等比数列的通项公式 三.巩固练习：1.教材P59练习1，2，3，题2.作业：P60习题1，4。 第二课时 5.2.4等比数列（二） 教学重点：等比数列的性质 教学难点：等比数列的通项公式的应用 二. 复习准备： 提问：等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 等差数列的性质 二 .讲授新课 ： 1. 讨论：如果是等差列的三项123,,a a a 满足2132a a a =+ 那么如果是等比数列123,,a a a 又会有什么性质呢？ 由学生给出如果是等比数列123,,a a a 满足2213a a a = 2练习： 如果等比数列123,,a a a 1a =4，3a =16，2a =？(学生口答) 如果等比数列123,,a a a 1a =4，2a =16，3a =？(学生口答) 3等比中项：如果等比数列123,,a a a .那么2213a a a = ，2a =则2a 叫做等比数列的等比中项（教师给出） 4思考：2537a a a =是否成立呢？2519a a a =成立吗？ 211(1)n n n a a a n -+=> 成立吗？ 又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列，5192a a a =+ 5思考：如果,n n a b 是两个等比数列，那么,n n a b 是等比数列吗？ 如果是为什么？n n a b 是等比数列吗？引导学生证明。 6思考：在等比数列里，如果n p q m n p q a a a +=+=m ，a 成立吗？ 如果是为什么？由学生给出证明过程。 三. 巩固练习： 列3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项 解（略） 列4：略： 练习：1在等比数列{}n a ，已知19105,100,a a a ==那么18?a = 2 P61 A 组8 四.小结：等比数列的性质 五：作业 P61 A 组6，7。 课题: §2.5等比数列的前n 项和 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的 问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。 1、 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1) 1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321 由???=+++=-1 1321n n n n q a a a a a a S 得?????++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 公式的推导方法二： 有等比数列的定义， q a a a a a a n n ====-1 23 12 根据等比的性质，有 q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-1 12132 即 q a S a S n n n =--1 ?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： =n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+ ?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） [解决问题] 有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。 由11,2,64a q n ===可得 1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12 ?--=64 21-。 6421-这个数很大，超过了191.8410?。国王不能实现他的诺言。 [例题讲解] 课本P65-66的例1、例2 例3解略 Ⅲ.课堂练习 课本P66的练习1、2、3 Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式：当q=1时，1na S n = 当1≠q 时，q q a a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1 Ⅴ.课后作业 课本P69习题A 组的第1、2题 ●板书设计 课题: §2.5等比数列的前n 项和 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1) 1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② Ⅱ.讲授新课 1、等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是Sn ，S2n ，S3n ， 求证：)S S (S S S n 3n 2n 2 n 22n +=+ 2、设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和； （1）a=0时，S n =0（2）a ≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= )1n (n 2 1 - 若a ≠1，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1 -na n ），Sn=]na a )1n (1[)a 1(a 1 n n 2 +++-- Ⅲ.课堂练习 Ⅳ.课时小结 Ⅴ.课后作业 ●板书设计 高中数学必修五综合测 试题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高中数学必修五综合测试题 1、已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1-a n +1=0，(n ∈N)，则此数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2+1 B ．n+1 C ．1-n D ．3-n 2、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为( ) A ．b-a=c-b B ．b 2=ac C ．a=b=c D ．a=b=c ≠0 3、若b<0 C ．a +c 高一数学必修5第二章数列测试卷 2010-3-26 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，) 1．如图,这是一个正六边形的序列,则第(n)个图形的边数为（）. A. 5n-1 B. 6n C. 5n+1 D.4n+2 2．在等比数列{}n a中T n表示前n项的积，若T5 =1，则（） A．1 3 = a B．1 1 = a C．1 4 = a D．1 5 = a 3. 如果 128 ,,, a a a为各项都大于零的等差数列，公差0 d≠，则 ( ) A、 5 4 8 1 a a a a>B、 5 4 8 1 a a a a=C、 1845 a a a a +>+D、5 4 8 1 a a a a< 4．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（） A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 5．数列{a n}中, 1 a=1 ,对于所有的n≥2,n∈N*都有2 123n a a a a n ????=,则 35 a a +等于( ) A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 6．设} {n a) (N n∈是等差数列，n S是其前n项的和，且6 5 S S<，8 7 6 S S S> =，则下列结论错误的是（） A．0 < d B．5 9 S S> C．0 7 = a D．6S与7S是n S的最大值 7．等差数列} { n a共有1 2+ n项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）. A. 28 B. 29 C. 30 D.31 8、在等比数列{}n a中,12 a=,前n项和为 n S,若数列{}1 n a+也是等比数列,则 n S等于 A.1 22 n+- B.3n C.2n D.31 n- 9、设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若 S3 S6＝ 1 3，则 S6 S12＝( ) （A） 3 10（B） 1 3（C） 1 8（D） 1 9 第2章 数 列(A) (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________． 2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________． 4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________． 5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______． 6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________. 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 9 10．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒． 11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10 ＝________. 12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________． 13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56 是数列中的第________项． 14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1 <0.给出下列结论：①0 绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在 11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长； 高中数学必修5 第二章数列测试题 一、选择题(每题5分,共50分) 1、{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A 、667 B 、668 C 、669 D 、670 2、在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A 、33 B 、72 C 、84 D 、189 3、如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) A 、a 1a 8＞a 4a 5 B 、a 1a 8＜a 4a 5 C 、a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D 、a 1a 8＝a 4a 5 4、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则｜m －n ｜等于( ) A 、1 B 、43 C 、2 1 D 、83 5、等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A 、81 B 、120 C 、168 D 、192 6、若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) A 、4 005 B 、4 006 C 、4 007 D 、4 008 7、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A 、－4 B 、－6 C 、－8 D 、－10 8、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5，则59S S ＝( )． A 、1 B 、－1 C 、2 D 、2 1 9、已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A 、21 B 、－21 C 、－21或2 1 D 、41 10、在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 二、填空题(每题6分,12题15分,16题10分,共49分) 11、设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0) ＋…＋f (5)＋f (6)的值为 . 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 数列知识点总结 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 1+n a -n a =d n n a a 1 +=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d n a =1-n a q n a =m a m n q - 中项 A=2b a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k ∈N + ;n>k>0） ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0） 。任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中 项一定有两个 前n 项和 n S =2 n （1a +n a ） n S =n 1a + 2 ) 1(n -n d n S = q q a n --11() 1 n S =q q a a n --11 性质 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为 a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d= n m a n m --a (m ≠n) (7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 （1）若m n p q +=+，则 m n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍 为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法 1、通项公式法：等差数列、等比数列 2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即 例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2 n n S =,求通项n a . 例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。 （1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型 ???≥-===-) 2() 1(111n s s n a s a n n n 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、基础过关 1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ( ) A ．异面 B ．平行 C ．相交 D ．以上都有可能 2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有 ( ) A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BA C ＋∠B ′A ′C ′＝180° C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180° D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′ 3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 4．“a 、b 为异面直线”是指： ①a ∩b ＝?，且aD \∥b ；②a ?面α，b ?面β，且a ∩b ＝?；③a ?面α，b ?面β，且α∩β＝?；④a ?面α，b ?面α；⑤不存在面α，使a ?面α，b ?面α成立． 上述结论中，正确的是 ( ) A ．①④⑤ B ．①③④ C ．②④ D ．①⑤ 5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________． 7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12 AD ， BE 綊12 F A ， G 、 H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求： (1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 人教版高一数学必修5第二章数列总结 1、数列的基本概念 (1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列． (2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． (3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法． 2、主要公式 (1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝??? ?? S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋1 2n (n －1)d . A ＝a ＋b 2(等差中项)． （3）等比数列 a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n － m . S n ＝???? ? na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n 1－q q ≠1 . G ＝±ab (等比中项)． 3．主要性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q . (2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)． 专题一 数列的通项公式的求法 1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，715，9 31，…； 2．定义法 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式． 3．前n 项和法 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ； 高中数学必修五综合练习3 文 班 考号 姓 名 A 卷 一．选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分). 1．如果R b a ∈,，并且b a >，那么下列不等式中不一定能成立的是（ ） A.b a -<- B.21->-b a C.a b b a ->- D.ab a >2 2．等比数列{}n a 中，5145=a a ，则111098a a a a =（ ） A.10 B.25 C.50 D.75 3．在ABC ?中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A ．30? B ．45? C ．60? D ．120? 4．已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，若2008=n a ，则n =（ ） A.667 B.668 C.669 D.670 5．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若,100,302==n n S S 则=n S 3（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 6．在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,a=2，则b 等于（ ） A.6 B.2 C.3 D. 62 7．若将20，50，100都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公比是（ ） A. 21 B. 23 C. 34 D. 3 5 8．关于x 的不等式x x x 352 >--的解集是（ ） A.}1x 5{-≤≥或x x B.}1x 5{-<>或x x C.}5x 1{<<-x D.}5x 1{≤≤-x 9．在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060，塔基的俯角为0 45，那么这座塔吊的高是( ) A.)3 3 1(10+ B.)31(10+ C.)26(5+ D.)26(2+ 10．已知+ ∈R b a ,且 11 1=+b a ，则 b a +的最小值为（ ） A.2 B.8 C. 4 D. 1 高一数学知识框架第一章集合与函数概念 第二章基本初等函数（I） 必修二立体几何 第一章空间几何体知识结构如下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面 （3）画侧棱（4）成图 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识结构如下 第三章 直线与方程 从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量） 直线的倾斜角概念：当直线l 与x 轴相交时, 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 .特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0° 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等， 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的 大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递 性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 直线与平面有三种位置关系： 1）直线在平面内：有无数个公共点 2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 3）直线在平面平行： 没有公共点 平面平行：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面互相垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 斜率公式： 点到线距离： 平行线距离： 数学5（必修）第二章：数列(A 卷) 一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 2．等差数列9}{,7,3,}{51第则数列中n n a a a a ==项等于（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为（ ） A ．81 B ．243 C ．27 D ．192 4．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 2 1 5．已知一等差数列的前三项依次为34,22,++x x x ，那么21是此数列的第（ ）项 A ． 2 B ．4 C ．6 D ．8 6．在公比为整数的等比数列{}n a 中，若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为（ ） A ． 56 B ．512 C ．524 D ．5 48 7. 如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，,10,141==s a ，则S 5为 ( ) A ．14 B ．15 C ．21 D ．28 9. 数列{}n a 的通项公式n n a n -+= 1，则该数列的前9项之和等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 3 =24 ，则a 1a 2a 3a 4a 5等于( ) A.210 B.220 C.215 D.216 二、填空题 11．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________ 12．在等差数列{a n }中，a 2=-5，a 6=a 4+6,则a 1等于______________ 13．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则15a =___________. 14．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232 =--x x 的两根，则47a a ?=___________. 高中数学必修2知识点总结 立体几何初步 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积')(21 21h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表 l R r S π)(+=圆台侧面积()2 2R Rl rl r S +++=π圆台表 柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13 V Sh =锥''1()3 V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱h r V 23 1π=圆锥 ''2211 ()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=2 4R π 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内. （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 新课标数学必修5第2章数列单元测试题一 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷在各题后直接作答．共150分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分） 1．等差数列9}{,7,3,}{51第则数列中n n a a a a ==项等于（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为（ ） A ．81 B ．243 C ．27 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 2 1 4．已知一等差数列的前三项依次为34,22,++x x x ，那么21是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为（ ） A ．56 B ．512 C ．524 D ．5 48 6. 数列{}n a 的通项公式n n a n -+=1，则该数列的前9项之和等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 3 =24，则a 1a 2a 3a 4a 5等于( ) A.210 B.220 C.215 D.216 8．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若642102S S S ，则，==等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 10．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－90 高中数学必修5 命题人：魏有柱 时间：100分钟 一、选择题 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（） （A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() （A ）第12项 （B ）第13项 （C ）第14项 （D ）第15项 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A ． B ． C ． D ． 4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5．△ABC 中，cos cos A a B b =，则△ABC 一定是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 6．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于() A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 7.在△ABC 中，∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8．若110a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 () A ．2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11．不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( ) 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或 )]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A 组 一、选择题 1．设 α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则 α⊥β．那么( )． A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题 2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 4．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行 ④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列命题中正确的个数是( )． ①若直线l 上有无数个点不在平面 α 内，则l ∥α ②若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 (第2题) 第二章过关测试卷 （100分，45分钟） 一、选择题（每题6分，共48分） 1.等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，…，ca n(c为常数，且c≠0)是（） A.公差为d的等差数列 B.公差为cd的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 2.已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a+1，a+4，则a n等于( ) A.4·2 3 n ?? ???B.4· 3 2 n ?? ? ?? C.4· 1 2 3 n- ?? ? ?? D.4· 1 3 2 n- ?? ? ?? 3.等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（） A.2 B.4 C.6 D.8 4.〈济南外国语学校考试〉已知等比数列{a n}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的公比等于（） A.1 B.-1 C.-2 D.2 5.〈江西吉安高三模拟〉若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S13=26 3 π ,则tan a7的值为 （） 33 -3 D. 3 3 - 6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n}满足2a3－2 7 a+2a11=0,数列{b n}为等比数列，且b7=a7,则b6b8等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 7.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m－1=－2,S m=0, S m+1=3,则m等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.各项都是实数的等比数列{a n}的前n项和记为S n,若S10=10,S30=70,则S40等于（） A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 二、填空题（每题5分，共15分） 9.等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4= . 课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B高中数学必修五综合测试题
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苏教版必修5高中数学第2章数列单元综合测试A
1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号) 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式； (2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 16．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n <1. 18．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n 2 n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和． 19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12 S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；
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