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对勾函数

对勾函数
对勾函数

对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。(接下来写作f(x)=ax+b/x)。

当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。

当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像(ab同号)

当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

对勾函数的图像(ab异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到:

当x>0时,错误!未找到引用源。。

当x<0时,错误!未找到引用源。。

即对勾函数的定点坐标:

(三)对勾函数的定义域、值域

由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性

(五)对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到:

(六)对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数,

X

对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质: 1. 定义域:(-∞,0)∪(0,+∞) 2. 值域:(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个 “对勾”的形状,且函数图像关于原点呈中心 对称,即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时,b y ax x =+ ≥2√ab (当 且仅当b x a = 取等号),即 )(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2 由奇函数性质知:当x<0时,)(x f 在x=a b -时,取最大值ab 2- 5. 单调性:增区间为(∞+,a b ),(a b -∞-,),减区间是(0,a b ),(a b -,0) 1、 对勾函数的变形形式 类型一:函数b y ax x =+ )0,0(<时,)(x f 在x=a b -时,取最大 值ab 2- 5.单调性:增区间为(0,a b ),(a b -,0)减区间是(∞+,a b ),(a b -∞-,), 类型二:斜勾函数b y ax x =+)0(b a 作图如下 1.定义域:),0()0,(+∞?-∞ 2.值域:R 3.奇偶性:奇函数 4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值. 5.单调性:增区间为(-∞,0),(0,+∞).

基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)

基本不等式——形式一:a b +≥(a>0,b>0) ____a b +( ) ——形式二: 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三:2 2a b ab +?? ≤ ??? ( ) (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +? 用分析法证明:要证 2 a b + (1) 只要证 a b +≥ (2) 要证(2),只要证____0a b +-≥ (3) 要证(3),只 要证2(__________)0-≥ (4) 显然(4)是成立的. 当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立. 探究3:使用基本不等式的三个条件:一正二定三相等 思考:(1)已知y=x+x 1 ( x>0 ) ,求y 的范围. (2)已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ,求y 的范围.

例题拓展 【例1 】已知0x >,则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 ( ) A .xy y x 2≥+ B .21 ≥+x x C .xy y x 222≥+ D . xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中,错用基本不等式做依据的是( ) 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时,等号成立.

2、基本不等式:对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时,不等式取等号. 注意:使用基本不等式时,应具备三个条件:____ _ ____ _ 【例1 】(1)已知x >0,且y = x + 81 x ,x =_________时,y 取最小值 (2)已知0x >,则x x 4 32+ +的最小值是________。 (3)y x x =++23 122 的最小值是 (4)a+b=2,则3a +3b 的最小值是______________ (5)a+2b=4,则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ,y 为正数, 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=,则2x y +的最小值为________

对勾函数图象性质

对勾函数图象性质 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+b x (接下来 写作f(x)=ax+b/x)。 当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当x>0时,f(x)=ax+b x ≥2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号),此时x= √b a 。 当x<0时,f(x)=ax+b x ≤?2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号),此时x= ?√b a 。 即对勾函数的定点坐标:A:(√b a ,2√ab)、B:(?√b a ,?2√ab) a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab同 对勾函数的图像(ab异号)

对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数,是形如f(x)=ax+b/x的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾,故名。当x>0时,f(x)=ax+b/x有最小值(这里为了研究方便,规定a>0,b>0),也就是当x=sqrt(b/a)的时候(sqrt表示求二次方根)。同时它是奇函数,就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a),那么,增区间:{x|x≤-k}∪{x|x≥k};减区间:{x|-k≤x<0}∪{x|00的基础上的,不过对勾函数是奇函数,所以研究出正半轴图像的性质后,自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题(图像不再规则),就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究,这个能力非常重要,一定要多练,争取做到特别熟练的地步。 对勾函数实际是反比例函数的一个延伸,至于它是不是双曲线还众说不一。 当x>0时,f(x)=ax+b/x有最小值

专题讲解--对勾函数

读万卷书行万里路 学大教育个性化教学学案姓名年级性别 课题对勾函数 教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像 教学重难点 运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。 教学过程(内容可附后)对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 (接下来写作f(x)=ax+b/x )。 当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a , b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y =ax 与双曲线y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示: a>0 b>0a<0 b<0 对勾函数的图像( ab 同号) 当a,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。 )

对勾函数的图像(ab 异号) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定a>0 ,b>0 。之后当a<0,b<0 时,根据对称就很 容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当x>0 时, 错误!未找到引用源。。 当x<0时,错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标: (三)对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

最新对勾函数详细分析(修订版)

对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质: 1.定义域:(-∞,0)∪(0,+∞) 2.值域:(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个 “对勾”的形状,且函数图像关于原点呈中心 对称,即 4.图像在一、三象限, 当时,2√ab(当且仅当取等号),即在x= 时,取最小值 由奇函数性质知:当x<0时,在x=时,取最大值 5.单调性:增区间为(),(),减区间是(0,),(,0) 1、对勾函数的变形形式 类型一:函数的图像与性质 1.定义域: 2.值域:(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时,在x=时,取 最小值;当时,在x=时,取最大值 5.单调性:增区间为(0,),(,0)减区间是(),(), 类型二:斜勾函数 ①作图如下 1.定义域: 2.值域:R 3.奇偶性:奇函数 4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值.

5.单调性:增区间为(-,0),(0,+). ②作图如下: 1.定义域: 2.值域:R 3.奇偶性:奇函数 4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值. 5.单调性:减区间为(-,0),(0,+). 类型三:函数。 此类函数可变形为,可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四:函数 此类函数可变形为,则可由对勾函数左右平移,上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五:函数。此类函数定义域为,且可变形为 a.若,图像如下: 1.定义域: 2. 值域: 3.奇偶性:奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时,在时,取最大值,当x<0时,在x=时,取最小值 5. 单调性:减区间为(),();增区间是

对勾函数绝对经典(教学知识)

对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。(接下来写作f(x)=ax+b/x)。 当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示: a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab同号) 当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。) 对勾函数的图像(ab异号) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到: 当x>0时,错误!未找到引用源。。 当 x<0时,错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标: (三)对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到: (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数, 利用对号函数以上性质,在解某些数学题时很简便,下面举例说明: 1、求函数 3 2 4 2 2 2 + + + + = x x x x y的最小值。 解:令3 2 2+ + =x x t,则2 2 )1 (2≥ + + =x t t t t t y 1 1 2 + = + = 根据对号函数 t t y 1 + =在(1,+∞)上是增函数及t的取值范围,当2 = t时y有最小值 y X O y=ax

对勾函数

对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x )。 当a ≠0,b ≠0时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当a ,b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y =ax 与双曲线y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示: 当a ,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到: 当x>0时,。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号) 对勾函数的图像(ab 异号)

当x<0时,。 即对勾函数的定点坐标: (三)对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到: (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数, X

对勾函数求最值

对勾函数年级:高二科目:数学时间:9/6/2009 16:25:27 新5961438 请问对勾函数的最值如何求。 答:同学,你好,现提供以下资料供你参考: 函数的单调性. 显然此函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),用描点法可作出此函数的图象为: 从图象上可看出,函数在(0,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,在(-∞,-]上单调递增,在[-,0)上单调递减. 我们可用单调性的定义验证它的单调性(证明略). 很容易看出f(x)是一个奇函数,所以它的图象是关于原点对称的,我们只需记住它在(0,]、[,+ ∞)上的单调性就可以了,而且我们用这个函数解题时,通常只用这两个区间上函数的单调性. 特殊地,当k=1时,,它在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 一般地,对于函数,我们也可把它转化为的形式,即为, 此时,f(x)在上单调递减,在上单调递增. 说明:因课本并没有介绍此函数的单调性,所以在利用它时应在答题中将它的单调性证一遍 例:甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. (1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 解:(1) (2)依题意知s,a,b,v都为正数,故,

当且仅当,即v=时上述等号成立. 若≤c,则当时v=时,全程运输成本y最小. 若>c,,此函数在(0,]上单调递减, 则在(0,c]上也单调递减,所以y≥,当v=c时取等号. 综上知,为使全程运输成本y最小,当≤c时行驶速度应为v=,当>c时,行驶速度应为v=c. 同学,你好,你要记住做每件事情要有决心。决心决定一切,要努力地去做,让你每一天都充满光彩。学习更上一层楼!

对勾函数最值的十种求法

关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 Θ0>x ,∴21≥+=x x y ,当且仅当x x 1=,即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候,2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在,则042≥-=?y 必需存在,即2≥y 或2-≤y (舍) 找到使2=y 时,存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候,2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ,只有21,x x (]1,0∈时,()()21x f x f -0>,∴此时()x f 单调递增; 当对于任意的21,x x ,只有21,x x ()+∞∈,1时,()()21x f x f -0<,∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值,()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增,22+=t y 在()0,∞-单调递减;在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减;在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值,()21min ==f y

五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时,0'y ,函数单调递增。 ∴当1=x 取到最小值,()21min ==f y 六、三角代换 令αtan =x ,?? ? ??∈2,0πα,则αcot 1=x α αα2sin 2cot tan 1=+=+=x x y ??? ? ?∈2,0πα()πα,02∈? ∴当4π α=,即22π α=时,()12sin max =α,2min =y ,显然此时1=x 七、向量 b a x x x x y ?=?+?=+=1111, ()1,1,1,=?? ? ??=b x x a b a ?θcos b a ?=θcos 2a 根据图象,a 为起点在原点,终点在x y 1=()0>x 图象上的一个向量,θcos a 的几何意义为a 在b 上 的投影,显然当b a =时,θcos a 取得最小值。 此时,1=x ,222min =?=y 八、图象相减 ?? ? ??--=+=x x x x y 11,即y 表示函数x y =和x y 1-=两者之间的距离 求min y ,即为求两曲线竖直距离的最小值

“双勾函数”的性质及应用

“双勾函数”的性质及应用 问题引入: 求函数2y = 的最小值. 问题分析:将问题采用分离常数法处理得 ,2y = =,此时如 果利用均值不等式, 即2y = , = , = 显然无实数解,所以“=”不成立,因而最小值不是2,遇到这种问题 应如何处理呢?这种形式的函数又具有何特征呢?是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问,我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质. 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1.“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ (k 为常数,0k >)的函数称为“双勾函数”.因为函数()k f x x x =+ (k 为常数,0k >)在第一象限的图像如“√”,而该函数为奇函数,其图像关于原点成中心对称,故此而得名. 2.类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 3.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 (1)“二次函数”的性质 ①当0a >时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随着x 的 二次函数图像 “双勾函数”图像

增大而增大;当2b x a =-时,函数y 有最小值244ac b a - . ②当0a <时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴的右侧,y 随着x 的 增大而减小.当2b x a =-时,函数y 有最大值244ac b a -. (2)“双勾函数”性质的探究 ①当0x > 时,在x =,y 随着x 的增大而减小;在x =,y 随着x 的 增大而增大;当x = y 有最小值. ②当0x < 时,在x =y 随着x 的增大而增大; 在x =y 随着x 的增大而减小.当x =,函数y 有最大值- 综上知,函数()f x 在(,-∞ 和)+∞上单调递增, 在[ 和上单调递减. 下面对“双勾函数”的性质作一证明. 证明:定义法.设12,x x ∈R ,且12x x <,则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==--. 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢? 首先0x ≠,∴ 0x =就是一个分 界点,另外我们用“相等分 界法”,令 120x x x == ,2 010k x - = 可得到x = ()f x 的定义域分为(,-∞,[,,)+∞四个区间,再讨论它的单调性. 设120x x <<则120x x -<,120x x >,120x x k <<, ∴120x x k -<. ∴121212121212 ()() ()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ - -=>,即12()() f x f x >. ∴()f x 在上单调递减. 同理可得,()f x 在)+∞上单调递增;在(,-∞上单调递增;在[上单

专题:基本不等式与对勾函数

基本不等式与对勾函数 一、基本不等式 前提条件是:0,0>>b a 取“=”的条件是:0>=b a ,必须验证. 练习1已知0x ,则1 1 -+x x 的最小值为 练习3:已知关于x 的不等式72 2≥-+a x x 在),(+∞∈a x 上恒成立,求a 的取值范围 练习4函数9 19)(2 2++ +=x x x f 的最小值为

例5函数9 )(2+=x x x f 的最大值为 例6函数1 11)(-+ -=x x x f 的最小值为 例7若正数b a ,满足3++=b a ab ,求:①ab 的取值范围②b a +的取值范围 例8已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求y x 1 1+的最小值 练习5.已知0,0>>b a ,且32=+b a ,则b a 1 21+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ,则使不等式mxy y x ≥+4恒成立,求m 的取值范围 练习7已知不等式(x y +) 1a x y +()≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 例9若10<

练习8.若320<b a ,12 2 2 =+b a ,则21b a +的最大值为

最新对勾函数讲解与例题解析

对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x )。 当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当a ,b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y =ax 与双曲线y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示: 当a ,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号) 对勾函数的图像(ab 异号)

接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当x>0时, 。 当x<0时,。 即对勾函数的定点坐标: (三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到: (六) 对勾函数的奇偶性 :对勾函数在定义域内是奇函数, 二、均值不等式(基本不等式) 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。我们都知道,(a-b)^2≥0,展开就是a^2-2ab+b^2≥0,有a^2+b^2≥2ab ,两边同时加上2ab ,整理得到(a+b)^2≥4ab ,同时开根号,就得到了均值定理的公式:a+b ≥2sqrt(ab )。把ax+b/x 套用这个公式,得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ),这里有个规定:当且仅当ax=b/x 时取到最小值,解出x=sqrt(b/a ),对应的f(x)=2sqrt(ab )。我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样:(a+b)/2≥sqrt(ab ),前式大家都知道,是求平均数的公式。那么后面的式子呢?也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ,∴21≥+ =x x y ,当且仅当x x 1=,即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候,2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax

对勾函数专题讲解

1 专题对勾函数及其应用 1.对勾函数定义 对勾函数是指形如:y =ax +b x (a>0,b>0)的一类函数,因其图象形态极像对勾,因此被称为“对勾函数”。 2.对勾函数y =ax +b x (a >0,b >0)的性质 (1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞). (2)值域:(-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞). (3)奇偶性:在定义域内为奇函数. (4)单调性:(-∞,-b a ),(b a ,+∞)上是增函数;(-b a ,0),(0,b a )上是减函数. 3.y =ax +b x (a >0,b >0)的单调区间的分界点:±b a . 求分界点方法:令ax =b x ?x =±b a . 特殊的,a >0时,y =x +a x 的单调区间的分界点:±a . 4.对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值,解题时要先找出对应的单调区间,然后求解. 5.利用对勾函数求最值,常常用到如下的重要不等式: 若a >0,b >0,则x >0时,ax +b x ≥2ab . 当且仅当ax =b x ,x =b a 时取等号. 例1 已知f (x )=x +5x ,求f (x )在下列区间的最小值. (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[-3,-1]. 变式训练 已知函数f (x )= x 2+5x 2+4,求f (x )的最小值,并求此时x 的值. 例2 求函数f (x )=x 2-2x -1x +2 (0≤x ≤3)的值域.

2 变式训练 求函数f (x )=x 2-4x +12x -1 ,x ∈[]2,5的值域. 强化训练 1.下列函数中最小值是4的是( ) A .y =x +4x B .y =x +2x C .y =4x x - D .y =x 2+1x 2 +1+3,(x ≠0) 2.函数y =x +4x ,x ∈(1,3]的值域为( ) A .[133,5) B .[4,5)C .[133 ,4) D .(4,5) 3.函数y =-x +41-x +3,x ∈[)-1,0的值域为____________. 4.y =2x 2+31+x 2 的最小值是________. 5.已知x >0,则2+x +4x 的最小值是________. 6.函数y =x +3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________. 7.若函数y =x a x y 2+=(a >0)在区间(5,+∞)上单调递增,则a ∈________________. 8.已知函数f (x )=x 2+2x +3x (x ∈[2,+∞)). (1)求f (x )的最小值;(2)若f (x )>21122+ -a a 恒成立,求a 的取值范围. 9.已知函数f (x )=x +a x ,x ∈[1,+∞),a >0. (1) 当a =12 时,求函数f (x )的最小值;(2) 若函数f (x )的最小值为4,求实数a . 10 求函数()f x = 的最大值.(较难)

应用题专题训练--函数(对勾函数)

应用题综合复习----对勾函数 1、甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元。 ①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;②为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?2、某森林出现火灾,火势正以每分钟2 m 100的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2 m 50,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森林损失费为60元. (1)设派x名消防队员前去救火,用t分钟将火扑灭,试建立t与x的函数关系式; (2)问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?

3、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图,运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为150元,草皮每平方米造价为30元 (1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道 面积S 与r 的函数关系S(r ) (2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时, 运动场造价最低?(精确到元) 4、已知某种稀有矿石的价值y (单位:元)与其重量ω(单位:克)的平方成正比,且3克该种矿石的价值为54000元。 ⑴写出y (单位:元)关于ω(单位:克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。(注:价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值 原有价值 ;在切割过 程中的重量损耗忽略不计)

专题对勾函数

基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质: 1. 定义 域: ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域:),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状,且函数图像关于原点呈中心对称, 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时,由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2(当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时,取最小值ab 2 由奇函数性质知: 当x<0时,)(x f 在x=a b - 时,取最大值ab 2- 5. 单调性:增区间为( ∞+,a b ),(a b -∞-,) 减区间是(0, a b ),(a b -,0) 一、 对勾函数的变形形式 类型一:函数b y ax x =+ )0,0(<

此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称,故函数图像为 性质: 类型二:斜勾函数b y ax x =+ )0(b a 作图如下 性质: ②0,0>++=ac x c bx ax x f 此类函数可变形为 b x c ax x f ++ =)(,则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解:11 )(1)(2++=?++= x x x f x x x x f 作图如下: 类型四:函数 )0,0()(≠>++ =k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移, 上下平移得到 例2作函数2 1 )(-+ =x x x f 的草图 解: 221 2)(21)(+-+-=?-+ =x x x f x x x f 作图如下: 例3作函数x x x x f +++= 23 )(的作图: 解:12 1 2211212)(23)(-+++=+++=++++=?+++= x x x x x x x x f x x x x f

对勾函数最值的十种求法

关于求函数y = x ? 1 x . 0最小值的十种解法 x 一、 均值不等式 1 1 x 0, . y=x ?一_2,当且仅当x ,即x=1的时候不等式取到“=”。 x x 当X =1的时候,y min =2 二、 厶法 1 2 y=x — : x -yx1=0 x 若y 的最小值存在,则 厶=y 2 -4亠0必需存在,即y 亠2或y _ -2 (舍) 找到使y =2时,存在相应的x 即可。 通过观察当x =1的时候,y min =2 三、单调性定义 设 0 ::: X 1 ::: x ? 1 1 i f (X 1 )—f (X 2 )=人—X 2 十一—一 =(X 1 —X 2 )1 X 1 X 2 V X 1X 2 丿 当对于任意的X 1,X 2,只有X 1,X 2三〔0,1时,f X 1 - f X 2 2 0, ?此时f x 单调递增; 当对于任意的x 1,x 2,只有X —X 2三[时,f x 1 - f x 2 ::: 0,?此时f x 单调递减。 当X - 1取到最小值,y min = f 1 =2 四、复合函数的单调性 t = Jx ——2在(0,母)单调递增,y =t 2 +2在(—°°,0)单调递减;在 0,畑)单调递增 x 又 x 三〔0,1 二 t ':L ~0 x 1, ? :: = t 0,:: -原函数在 0,1上单调递减;在1, 上单调递增 即当X =1取到最小值,丫皿山二f 1 =2 二 X 1 -X 2 3 X 1X 2 y =x 1 2 x

五、求一阶导 1 ' 1 y = X — : y =1 2 X X 当 10,1时,y' ::: 0,函数单调递减;当 X ,1, 时,y' .0,函数单调递增。 当X =1取到最小值,y min = f 1 =2 六、二角代换 厂兀) 1 a € 0, — 1,则一 =COta I 2丿X 广IT ) a s 0, — in 2a E (0,兀) I 2丿 八、图象相减 1 1 ,即y 表示函数y = x 和y 两者之间的距离 X X 求y min ,即为求两曲线竖直距离的最小值 1 平移直线y = x ,显然当y = x 与y 相切时,两曲线竖直距离最小。 x 令 x = ta n :, 1 =X tan 二 cot: 2 sin : n Ji .当一4,即2二时, si n2 max =1 , y min 二2,显然此时x = 1 七、 向量

对勾函数绝对经典

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x)。 当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示: a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab同号) 当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。) 对勾函数的图像(ab异号) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到: 当x>0时,。 当x<0时, 。 即对勾函数的定点坐标: (三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到: (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数, 利用对号函数以上性质,在解某些数学题时很简便,下面举例说明: 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解:令322++=x x t ,则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= y X O y=ax

函数专题研究报告(基本函数)

函数专题研究(一>------基本函数 一.知识归纳: 1.正反比例函数、一次函数。<略) 2.二次函数: (1>形式:①y=ax2+bx+c。②y=a(x-x1>(x-x2>。③y=a(x+>2+其中a≠0 (2>字母意义:①a表示开口方向和大小。②c表示在y轴上的截距(区别于距离>。 ③b与对称轴在关。 (3>二次函数、二次方程与二次不等式间的关系. (4>重要结论:①求根公式。②韦达定理(根与系数的关系,特别注意使用的前提条件>。 ③|x1-x2|= (5>列表讨论二次不等式解集的情况: (6>根的分布情况:(结合图形推导或借助于韦达定理归零处理>总结根的分布与哪些量有关 ①两根均大于k。②两根均小于k。③两根分别在k的两侧。④两根均在k1公式:①log a a=1。log a1=0 ②log a(MN>=log a M+log a N ③log a=log a M-log a N ④( >中三个括弧间的关系 ⑤log a b=log c b/log c a 推广一:log a b·log b c=log a c。 推广二:log a b·log c d=log a d·log c b ⑥=b ⑦=⑧log a b= ⑨=。a mn=a nm==⑩a-m=

(2>图象和性质:<结合图象把握性质) 第一象限从下至上底数渐大 过定点(0,1> 过定点(1,0> 对于函数值:同正异负(同异指真数与底数的区间> 4.幂函数:<结合图象把握性质) (1>过定点(1,1>。 (2>其它象限的图象结合函数的奇偶性来确定. 5.对勾函数:y=ax+ 当a,b同号时用对勾函数。当a,b 6.一次分式函数:y= (1>y=的对称中心为。 (2>y=中,若a=-d,则原函数和反函数是同一函数。 (3>常用做题方法:分离常数法. 7.二次分式函数:y= 常用做题方法:判别式法对勾函数或二次等熟悉函数 8.反函数: (1>y=f-1(x>和x=f-1(y>均为y=f(x>的反函数。(2>y=f(x>与y=f-1(x>的图象关于y=x 对

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