(整理)函数的和差积商的导数教案

函数的和差积商的导数教案

教学目的

1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；

2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．

教学重点和难点

本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．

教学过程

一、复习提问

1．求导数的三个步骤是什么？

(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)

(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；

2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．

(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)

解：设y=f(x)＝x＋x2，

则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)

＝Δx(1＋2x＋Δx)，

二、引入新课

让学生观察复习提问2的结果：

y′=1＋2x．

从这个结果可以得到以下两点启示：

1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；

2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？

结论是肯定的．

三、讲解新课

1．和(差)的导数．

法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即

其中u和v都是x的可导函数．

证明：(可让学生自己完成．)

设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，

则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]

=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]

=Δu±Δv，

即y'=(u±v)'=u'±v'．

追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？

说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即

例1求函数y＝x3＋sinx的导数．

解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．

设问(继续引入新课)：既然有

(u±v)'＝u'±v'，

那么是否也有

呢？

就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：

①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即

y=x·x2．

按(1)求导有：

y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．

显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．

那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．

2．积的导数．

法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即

其中u和v都是x的可导函数．

证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，

则

Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)

＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，

因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而

即y'=(uv)'=u'v＋uv'．

若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：

(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．

就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即

例2求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．

＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3

＝18x2－8x＋9．

3．商的导数．

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即

因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是

当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而

即

解：

例4求证当n是负整数时，公式

(x n)'=nx n-1

仍然成立．

证明：设n=－m(m为正整数)

说明：

当n＝0时，(x n)'＝nx n-1也成立，所以对于一切整数n，公式(x n)'＝nx n-1成立．

四、小结

1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：

(1)(u±v)'=u'±v'；

(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；

其中u和v是x的可导函数．

2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．

3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况

那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)

五、布置作业

1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；

2．求下列函数的导数：

(1)y＝5x5－3x3＋x－25；

(2)y=ax4－bx2＋c；

(3)y＝sinx－x＋1；

(4)y=x2＋2cosx；

(5)y=(3x2＋1)(2－x)；

(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；

(7)y＝sinx(1－x2)；

(8)y=(1＋2x)(1－cosx) ；

与差积商与复合函数导数

〖考纲要求〗复合函数地求导法则地运用. 〖复习建议〗和差积商地导数,复合函数地求导法则地推导与运用. 〖双基回顾〗 1.常见函数地导数公式： 0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a ==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= 2.和差积商地导数 法则1 两个函数地和(或差)地导数,等于这两个函数地导数地和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数地积地导数,等于常数与函数地积地导数．()''Cu Cu = 法则3两个函数地积地导数,等于第一个函数地导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数地导数,即 '')'(uv v u uv += 法则4 两个函数地商地导数,等于分子地导数与分母地积,减去分母地导数与分子地积,再除以分母地平方,即 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数地求导法则 复合函数对自变量地导数,等于已知函数对中间变量地导数,乘以中间变量对自变量地导数 ,即'''x x y y μμ=?或'(())'()'()x f x f x ?μ?=特别地,ax b μ=+时,''x y y a μ=? 〖课前预习〗 1.求下列函数导数. （1）5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3l o g = （5）、y=sin(2π+x) （6）、y=cos(2π－x) 2.曲线212y x =在点1(1,)2 处切线地倾斜角为 3.曲线3y x =在点(1,1)处地切线与x 轴、直线2x =所围成地三角形面积为__________． 4.求过曲线y=cosx 上点P( ) 地切线地直线方程. 5.若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象地切线,求b 以及切点坐标. 6.若直线y=3x+1是曲线y=ax 3地切线,试求a 地值. 7.直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象地切线吗？,若能,求出切点坐标,若不能,简述理由. （1）1()f x x = （2）1()f x x =- （3）()sin f x x = （4）()x f x e = 8.求下列函数地导数 （1）y =x 3+sin x 地导数. （ 2）求2(23)(32)y x x =+-地导数．(两种方法)

函数的和、差、积、商的导数(2)

课 题： 3．3函数的和、差、积、商的导数(2) 教学目的： 1.理解商的导数法则，并能进行运用. 2.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点：商的导数法则. 教学难点：两个函数的商的求导法则的推导． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个 新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导

5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率x x y ?=?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 7. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=8.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()u x v x u x v x u x v x '= +, [()]'(Cu x Cu x '= 二、讲解新课： 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 证明：令) ()()(x v x u x f y ==， -?+?+=?])()([x x v x x u y ) ()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ?+?+-?+= ) ()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ?+-?+--?+=， ∴ ) ()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ?+?-?+-?-?+=??

《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，

和、差、积、商的导数

直接利用导数的运算法则求导 求下列函数的导数: 联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变 形，步步为营，使解决问题水到渠成. 解：1 . yy(x 4 -3X 2 -5X +6)， = (x 4) '—3(x 2)' —5x' + (6)，=4x 3 —6x —5. 广 x ?n X 、 (xsin x)' cosx — xsin x (cosx)‘ ,cosx 厂 cos 2 ^ 2 2cos x / =[(x +1)(x + 2)]'(x+3) +(x+1)(x + 2)(x+3)' = [(x + 1)'(x +2)+(x + 1)(x +2)](x + 3) +(x + 1)(x + 2) =(x +2+x + 1)(x +3)+(x + 1)(x +2) = (2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) = 3x 2 +12x+11. 2 cos x 3.解法 解法二：y X 3 +6x 2 +11x +6 , 1. y =X 4 -3x 1 2 -5x+6 ； .y = X ta n x 3. y =(x+1)(x+2)(x+3); X —1 y = x +1 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律, 紧扣求导运算法则, 2. y ，= (x tan x)'= _ (sin X +cosx) cosx +xsin 2 x _ sin x -cosx + xcos 2 x "(xsin 2 x) 2 COS x 2 cos x

y' = 3x2+12x+11.

解法二：心一三 4.解法一：厂= (X -1、 (x-1)'(x+1) -(x-1)(x + 1)' l x +1 丿 2 (X+1) _(x+1)—(X-1) 2 (X +1)2 -(X +1)2 卜引=（亠一⑵EVE I x +1 丿 X +1 2 (x+1) 2? (x+1) 说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则, 特别是商的求导法同.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因 素.从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函 数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的 积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手. 化简函数解析式在求解 求下列函数的导数. 1. 、审+4^ 皿； 2. y=sin 4 2+cos 4 Z ; 4 4 3. 1+v x 丄 1 -T X / ? X “ c 2 X\ y= ----- + ------ ; 4. y =—sin-(1-2cos —)? 1 -T x 1 +V x 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题 求解过程繁琐冗长，且易出错.可先对函数解析式进行合理的恒等变

苏教版数学高二-苏教数学选修2-2 函数的和、差、积、商的导数

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数 一、基础过关 1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3； ③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x . 2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________. 3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 4．设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2 . 二、能力提升 8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________． 10．若函数f (x )＝13 x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式． 12．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 三、探究与拓展 13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方 程．

函数的最值与导数 精品教案

§1.3.3 函数的最大值与最小值 【课标要求】 1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念. 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数 )(x f 必有最大值和最小值的充分条件. 3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 【重点难点】利用导数求函数的最大值和最小值；函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 【课前预习】 1.极大值，极小值的概念： 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时称在该点处函数取得 ．（极大值） 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），这时称在该点处函数取得 ．（极小值） 总结：连续可导函数()y f x =在0x x =处取得极大（小）值的必要条件是0x x =左右两侧的单调性的不同． 2.求函数极值的步骤： （１）求函数()y f x =定义域； （２）求函数()y f x =的导函数()'y f x =； （３）求出()'0f x =的根； （４）列表判断．（检验()'f x 在方程()'0f x =两侧的根的符号，若根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数()y f x =在这个根处取得极大值；若根的左侧

附近为负，右侧附近为正，则函数()y f x =在这个根处取得极小值．） （５）写出结论． 3. 请画出32()35f x x x =-+，[2,3]x ∈-的草图. 总结：我们知道，极值反映的是连续可导函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但是，在解决实际问题时我们更关心的是 是函数在某个区间上的最大值、最小值. 【新授内容】 情景： 问题1：由函数32()35f x x x =-+图像可得，()f x 在[2,3]-上的最大值为 ；最小值为 .（最大值为5，最小值为15-） 问题２：观察下面的函数图像，说出函数在[],a d 上的最值． 函数()y f x =在[],a b 上的最值可能是区间端点处的函数值，也可能是函数在这个

函数的和差积商的导数教案

函数的和差积商的导数教案 教学目的 1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则； 2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数． 教学重点和难点 本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法． 教学过程 一、复习提问 1．求导数的三个步骤是什么？ (先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．) (1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)； 2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数． (要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．) 解：设y=f(x)＝x＋x2， 则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2) ＝Δx(1＋2x＋Δx)， 二、引入新课 让学生观察复习提问2的结果： y′=1＋2x． 从这个结果可以得到以下两点启示： 1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得； 2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？ 结论是肯定的． 三、讲解新课 1．和(差)的导数． 法则1 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即 其中u和v都是x的可导函数． 证明：(可让学生自己完成．) 设y=f(x)＝u(x)＋v(x)， 则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)] =[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)] =Δu±Δv， 即y'=(u±v)'=u'±v'．

函数的极值与导数公开课说课稿

1.3.2函数的极值与导数习题课说课稿 高二数学组康海萍 [教材分析]： 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。 [学情分析]： 学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。 [教学目标]： 知识与技能： ?掌握函数极值的定义，会从几何图形直观求解函数极值，增强学生的数形结合意识； ?利用导数求函数极值的一般方法求解较复杂函数的极值； ?探究含有参数的极值问题。 过程与方法： ?培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观： ?体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性； ?培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神； [教学重点和教学难点]： 教学重点：利用求导数的方法求解函数极值的问题。 教学难点：含有参数的极值问题。 [教法学法分析]： 教法分析和教学用具： 本节课我将采用定义检测—夯实基础—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。 学法分析 通过图像研究函数的极值定义，提高了学生的导数概念的认识。通过用较复杂求极值问题巩固求极值的方法，通过分类讨论解决含有参数的极值问题。

教学过程教学内容设计意图 一、定义检测：例1下列函数在x=0有极值点的是（） x y A 1 = 、x y B= 、 x sinx y= 、 C x D? ? ? ? ? = 2 1 y 、 培养学生深入挖掘教材能力， 加深对概念的理解，培养学生 养成数形结合的解题意识 函数极值点必须有定义，区间 端点不能为极值点，单调函数 一定没有极值，可导函数导数 为0同时导数异号才是有极值 的充要条件 二、夯实基础：例2、求函数 x x y ln 1 =的极值 解：函数的定义域为) ,1( )1,0(+∞ ? ()2 ln ) ln 1( ) ( x x x x f + - = ' 令0 ) (= 'x f解得x= e 1 列表 （0， e 1 ） e 1 （ e 1 ，1） ) ,1(+∞ + 0 - - 单调递增极大 值 单调递减单调递减 当x= e 1 时，函数有极大值e e f- = ) 1 ( 此题易错点是忽略或求错函 数定义域，在求导过程中求错 导数式，这些都需要扎实的基 本功 通过易错点纠正培养学生严 谨的思维习惯，同时规范解题 步骤 三、合作探究： 对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力。 分组讨论—小组汇报—教师点拨。含有参数的极值问题 题型一:已知函数在某点处取得极值 例3、已知函数2) ( ) (c x x x f- =在x=2处有极大 值，则求常数c的值 解：由已知2 24 3 ) (c cx x x f+ - = ' 因为函数x c cx x x f2 2 32 ) (+ - =在x=2处有极大 值，所以0 )2(= 'f，解得c=2或6 当x=6时，36 24 3 ) (2+ - = 'x x x f ) ( ), 6,2(< ' ∈x f x，0 ) ( ), ,6(< ' +∞ ∈x f x 所以x=6是函数的极小值，应舍去 同理可检验x=2合题意 在该题处学生极有可能在利 用导数为0求得c的值之后止 步，实际上我们需要检验。因 为导数为0是极值的必要条件

《函数的最大(小)值与导数》教案

《函数的最大(小)值与导数》教案 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念： 极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不

高三数学习题和、差、积、商的导数

直接利用导数的运算法则求导 例 求下列函数的导数： 1．65324+--=x x x y ； 2．x x y tan ?= 3．)3)(2)(1(+++=x x x y ； 4．.1 1+-=x x y 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成． 解：1．)653(2 4'+--='x x x y .564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x 2．x x x x x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('?-?'='?? ? ???='?=' x x x x x x x x x x x x x 22222cos )sin (cos cos sin cos sin cos )cos (sin ?+?=+?+= .cos 222sin cos sin cos 2sin 212222x x x x x x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y )2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x )2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x )2)(1()3)(32(+++++=x x x x .111232++=x x 解法二：61162 3+++=x x x y ， ∴ .111232++='x x y 4．解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'+--+'-='?? ? ??+-='x x x x x x x y .) 1(2)1()1()1(22+=+--+=x x x x

和差积商的导数

直接利用导数的运算法则求导 例求下列函数的导数: 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公 式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成. 解: 1. y (x 4 3x 2 5x 6) (x 4) 3(x 2) 5x (6) 4x 3 6x 5. (xsin x) cosx xsin x (cosx) 2 cos x (sin x cosx) cosx xsin 2 x 2 cos x ■ 2 / . 2 \ sin x cosx x cos x (xsin x) (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) (x 1)2 (x 1) (x 1) 2 2 2 (x 1) (x 1) 2 cos x 4 C 2 L c 1. y x 3x 5x 6 ； 2. y x tanx 3. y (x 1)(x 2)(x 3)； x 1 4 . y 厂1 [(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)](x 3) (x 1)( x 2) (x 2 x 1)(x 3) (x 1)(x 2) (2x 3)(x 3) (x 1)( x 2) 3x 2 12x 11. 解法二: y x 3 6x 2 ! 11x 6, 3.解法 [(x 1)(x 2)](x 3) (x 1)(x 2)(x 3) y 3x 2 12x 11. 2. y (x tanx) x sin x cosx 1 sin2x 2 ?2 xcos x xsin x sin2x 2x 2 cos x 2 cos 2 x 4.解法 y

函数的最大(小)值与导数说课稿.

1 《函数的最大（小）值与导数》说课稿 一、说教材 （一）地位与重要性 函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f (x 是闭区间[a ，b ]上的连续函数，那么f (x 在闭区间[a ，b ]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一. （二）教学目标 知识与能力目标：了解函数在某点取得极值, 会利用导数求函数的极大值和极小值. 以及闭区间上函数的最大(小值. ，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。情感目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积 极性，树立学好数学的信心。 过程目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、

抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。 (三教学重难点 重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值． 难点：。本节课突破难点的关键是：理解方程f ′(x =0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法 二、说教法与学法 【教法】 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 【学法】 对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳 2 出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。

苏教版高中数学选修2-2《1.2.2 函数的和、差、积、商的导数》教案

教学目标： 1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数； 3．能够综合运用各种法则求函数的导数． 教学重点： 函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）常见函数的导数公式：（默写） （2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝． （3）由定义求导数的基本步骤（三步法）． 2．探究活动． 例1 求2y x x ＝＋的导数． 思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？ 二、建构数学 函数的和差积商的导数求导法则： 三、数学运用 例2 求下列函数的导数： （1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数： （1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝； [()()]()()()() f x g x f x g x f x g x '''＝＋2()()()()()[]()() f x f x g x f x g x g x g x '''－＝()0g x ≠

练习 课本P22练习1～5题． 点评 正确运用函数的四则运算的求导法则． 四、拓展探究 问题1 求下列函数的导数： （1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44 x x y ＝＋； （3） y （4）sin ln y x x x ??＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简． 问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4 f ＝ ． 五、回顾小结 函数的和差积商的导数求导法则． 六、课外作业 1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题． 2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．

1.3.3函数的最大(小)值与导数教案

§1.3.3 函数的最大（小）值与导数 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》人教A版，第一章。第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。

三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。 四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法 和步骤。 （3）复习巩固求函数最值的其他方法，例如单调性，基本不等式等。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系

湖北省巴东一中数学选修2-2教案 1.2函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t' 连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

《函数的最大(小)值与导数》说课稿

《函数的最大（小）值与导数》说课稿 说教材 （-）地位与重要性 函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f（x）是闭区间［“ b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［/ b］上有最大值和最小值”,以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义.函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范用的探求及解析儿何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题Lb可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一. （二）教学目标 知识与能力U标：了解函数在某点取得极值，会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上函数的最大（小）值.,培养学生数形结合、化归的数学思想和 运用基础理论研究解决具体问题的能力。情感LI标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。 过程LI标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。 （三）教学重难点 重点：会求闭氏间上连续函数可导的函数的最值. 难点：本节课突破难点的关键是：理解方程f‘（X）二0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点.所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法 二、说教法与学法 【教法】 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输.为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法】 对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用. 在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略, 并归纳岀自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习” o 三、说教学过程 本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入一一合作学习，探索新知一一 指导应用，鼓励创新一一归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织.

高考数学一轮复习 函数的最值与导数教案

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数的最值与导 数教案 学习内容w 学习指导即时感悟 【学习目标】 1.理解函数的最大值和最小值的概念； 2.掌握用导数求函数的最值的方法和步骤。 【学习重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。 【学习难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。 学习方向 【回顾引入】 回顾：求极值的步骤： 创设情景：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小． 【自主﹒合作﹒探究】 问题1：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？(见教材P30面图1.3－14与1.3－15) 在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a) ； 在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 f(x 1) f(x 3) f(x 5) ,极小值是 f(x 2) f(x 4) 最大值是 f(x 3) 最小值是 f(x 4) . 思考2：⑴ 极值与最值有何关系？ ⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？ 极值点或端点处 ⑶ 怎样求最大值与最小值？ 回顾知识 引入新知 得到知识 图1 图2

①求出极值②极值与端点函数值作比较 新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的 与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 例1.试试： 上图的极大值点为 x 2,x 4,x 6 ，极小值点为x 1,x 3,x 5； 最大值为 f(a) ，最小值为 f(x 5) 例2.求函数 3 1()443 f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值. ∵f(x)=443 13 +-x x ,∴4)(2-='x x f . ∵[]3,0∈x ,∴由0)(='x f 得x=2， 又由0)(>'x f 得x>2，由0)(<'x f 得0

35708_《导数的概念与和、差、积、商的导数》学案1

题目导数的概念与和、差、积、商的导数 高考要求 1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 3理解导函数的概念熟记基本导数公式； 4掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 5了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数 6理解可导函数的单调性与其导数的关系； 7了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)； 8会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳 1导数的定义：设函数 )(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2导数的几何意义：是曲线 )(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=- 3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ,称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4可导:如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间 ),(b a 内可导 5可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 6求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??) ()( （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim