2012年上海高考数学试卷及答案(理科)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）

一、填空题（56分）：

1．计算：=+-i

i 13 （i 为虚数单位）。

2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

3．函数1sin cos 2)(-=

x x x f 的值域是 。

4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

5．在6)2(x x -

的二项展开式中，常数项等于 。

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、

21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。[来源学科网ZXXK]

7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6π

α=，

若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。

12．在平行四边形ABCD 中，3π=

∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足

||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ?的取值范围是 。

13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,2

1(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。

14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 。[来源:https://www.wendangku.net/doc/6c16521830.html,]

二、选择题（20分）：

15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）

A ．3,2==c b

B ．3,2=-=c b

C ．1,2-=-=c b

D ．1,2-==c b

16．在ABC ?中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ?的形状是（ ）[来源:https://www.wendangku.net/doc/6c16521830.html,]

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值2

22221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为 2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）

A ．21ξξD D >

B ．21ξξD D =

C ．21ξξ

D D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关

18．设25sin 1πn n a n =

，n n a a a S +++= 21，在1021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100

三、解答题（74分）：

19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥

PA [来源学+科+网]

底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：

（1）三角形PCD 的面积；

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(+=x x f ．

（1）若1)()21(0<--

（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数。

[来源:https://www.wendangku.net/doc/6c16521830.html,]

21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北

方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿

直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．

（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．

（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12

2=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；

（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值。

23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，

2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=?a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．

（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；

（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；

（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式。