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八年级数学竞赛题：图形与坐标

在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系．于是，坐标平面上的点与有序数对（x ，y ）之间便有了一一对应关系，通过点的坐标把数与形有机结合起来．点是构成图形的基本元素，是联系图形与坐标的纽带，图形与坐标的应用有下列几个方面．

1．求图形中点的坐标；

2．探讨图形经过变换（如平移、翻折、旋转）后，对应点的坐标变化规律；

3．研究坐标系中的图形问题．

例1一次函数b ax y l +=:1的图象关于直线x y -=轴对称的图象l 2的函数解析式是_______________．

例2 如图，在直角坐标系中，将长方形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处．已知

)1,3(),0,3(B A ，则点A 1的坐标是（）．

)23,23.(

A )3,23

.(B )23,23.(C )2

3,21.(D

例3如图，直线13

=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，如果在第二象限内有一点P （a ，12

），且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求a 的值：

例4 如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x =1交x 轴于点B ，P 为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO ，交直线x =1于点C ，过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x =1于点N ．

（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ；

（2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形的点P 的坐标．；如果不可能，请说明理由．

例5 如图①，直线33:1+=x y l 与x 轴交于B 点，与直线l 2交于y 轴上一点A ，且l 2与x 轴的交点为C （1，0）．

（1）求证：∠ABC =∠ACB ．

（2）如图②，过x 轴上一点D （-3，0）作DE ⊥AC 于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标． ’

（3）如图③，将△ABC 沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于一点P （P 不同于A 、C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于M 点，且CP =BQ ，在△ABC 平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围．

1．如图，等边△ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），点A 关于x 轴对称点A ′的坐标为______________．

2．将图中线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转90°后，得到线段AB ′，则点B ′的坐标是_______________．

3．如图，在直角坐标系中，已知点A （4，0），B （4，4），∠OAB =90°，有直角三角形与Rt △ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标：_____________． 4．如图，直线83

=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，则直线AM 的解析式为_____________．

5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3），点C 在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 有_______________个．

6．如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为（2，-l ），则△ABC 的面积为______________平方单位． 7．如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）．

)0,0.(A )22

,22.(

-B )2

1,21.(--C )22,22.(--

8．在平面直角坐标系内，直线34

x y 与两坐标轴交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，若在该坐标平面内有以点P （不与点A 、B 、O 重合）为顶点的直角三角形与R t △ABO 全等，且这个以点P 为顶点的直角三角形与R t △ABO 有一条公共边，则所有符合条件的P 点个数为（）．

A ．9个

B 7个

C ．5个

D ．3个 9．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）将△ABC 向右平移2个单位长度得到△A 1B 1C 1，作出平移后的△A 1B 1C 1，并写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标；

（2）若将△ABC 绕点（-1，0）顺时针旋转180°后得到△A 2B 2C 2，作出旋转后的△A 2B 2C 2，并写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标；

（3）观察△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，说明理由．

10．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM ∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系中，ABCDEFGH是正八边形，点A的坐标为（2，0），

点B的坐标为（0，2），则点E的坐标为_____________．

12．如图，点A、B的坐标分别为（ 1，1）、（3，2），P为x轴上一点，且P到A、B的距离之和最小，则点P的坐标为____________．

13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1．动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）．

14．如图，直线12

:+=

x y AB 分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ；直线CD ：y =x +b 分别与x 轴、y 轴交于点C 、点D ．直线AB 与CD 相交于点P ．已知S △ABD =4，则点P 的坐标是（）．

A ．（3，

52） B ．（8，5） C ．（4，3） D ．（12，5

） 15．如图，已知点P （2m -1，6m -5）在第一象限角平分线OC 上，一直角顶点P 在OC 上，角两边与x 轴、y 轴分别交于A 点、B 点．（1）求点P 的坐标；

（2）当∠APB 绕着P 点旋转时，OA +OB 的长是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求其值．

16．已知直线13

=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°．且点P （1，a ）为坐标系中的一个动点．（1）求△ABC 的面积S △ABC ；，

（2）证明不论a 取任何实数，△BOP 的面积是一个常数；（3）要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．

17．如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x =t ，使它与直线y =x 和直线

+-=x y 分别交于点D 、E （E 在D 的上方）

，且△PDE 为等腰直角三角形．若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

应用探究乐园

18．如图①，已知等腰R t△ABC的直角顶点C在x轴上，点B在y轴上．

（1）若点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（-2，-2），求点B的坐标；

（2）在（1）的条件下，AB交x轴于F点，边AC交y轴于E点，连EF．

①求证：CE=AE；②求证：∠CEB=∠AEF．

（3）如图②，直角边BC在坐标轴上运动，使点A在第四象限，过A点作AD⊥y轴于D，

求CO AD

的值．