2016人教版中考数学压轴题专题十四动态问题之面积最值的存在性-2.doc

2016中考数学压轴题动态问题

专题十一面积最值的存在性

【考情分析】

中考压轴题中面积最值的存在性问题，一般的解题策略：

（1）根据题目中的位置关系和等量关系，写出面积关于自变量的函数关系，这里需要强调的是一定要正确的写出自变量的取值范围;

(2)根据函数的性质，求出面积的最值.

1.如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数y ＝－ 3

4

x ＋3的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数y ＝

1 8

x 2

＋bx ＋c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的表达式；

（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ ⊥AC ？

②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？最小值是多少？

解答：（1）由y ＝－

3

4

x ＋3 令x ＝0，得y ＝3，∴点A （0，3） 令y ＝0，得x ＝4，∴点C （4，0）

∵△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形 ∴B 点坐标为（－4，0） 又∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴D 点坐标为（8，3）

将B （－4，0），D （8，3）代入二次函数y ＝ 1 8 x 2＋bx ＋c ，可得b ＝－ 1

4

，c ＝－3 ∴该二次函数的表达式为y ＝

1 8 x 2－ 1

4

x －3 （2）①设点P 运动了t 秒时有PQ ⊥AC 此时AP ＝t ，CQ ＝t ，AQ ＝5－t ∵PQ ⊥AC ，∴△APQ ∽△CAO ∴

AP AC ＝ AQ OC ，∴t 5 ＝

5－t 4

解得t ＝

25

9

即当点P 运动到距离A 点

25

9

个单位处，有PQ ⊥AC ②∵S 四边形PDCQ ＋ S △APQ ＝S △ACD ＝

1

2

×8×3＝12 ∴当△APQ 的面积最大时，四边形PDCQ 的面积最小 当点P 运动t 秒时，AP ＝t ，CQ ＝t ，AQ ＝5－t 设△APQ 底边AP 上的高为h ，作QH ⊥AD 于H

由△AQH ∽△CAO 可得：h

3 ＝ 5－t 5 ，∴h ＝

3

5 ( 5－t ) ∴S △APQ ＝ 1 2 ×t ×3 5 ( 5－t )＝－ 3 10 ( t － 5 2 )2＋ 15

8

∴当t ＝

5 2 时，S △APQ 达到最大值

15

8

此时S 四边形PDCQ ＝12－

15 8 ＝

81

8

故当点P 运动到距离A 点

5 2 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为

15

8

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．

https://www.wendangku.net/doc/6d16631148.html,

2.如图，直线y ＝－

1

2

x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y ＝x 交于点C ．在线段．．．OA ．．上．

，动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、

Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为

边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外）． （1

）求点P 运动的速度是多少？

（2）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 为正方形？

（3）当t 为多少秒时，矩形PEFQ

的面积S 最大？并求出最大值． ＝－ 1

2

x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ，得出A ，B 点的坐标，再利 OA OB ＝ 8 4

＝2，据此可以求得点P 的运动速度； （2）当PQ =PE 时，以及当PQ =PE 时，矩形PEFQ 为正方形，分别求出即可； （3）根据（2）中所求得出s 与t 的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可． 解答：（1）在y ＝－

1

2

x ＋4中，当y ＝0时，x ＝8 当x ＝0时，y ＝4，∴A （8，0），B （0，4） ∵EP ∥BO ，∴△APE ∽△AOB ∴

PA PE ＝ OA OB ＝ 8

4

＝2，∴PA ＝2PE ∵四边形PEFQ 为矩形，∴PE ＝FQ ＝OQ ∴PA ＝2OQ

∴点P 运动的速度是每秒2个单位长度

（2）如图1，当PQ ＝FQ 时，矩形PEFQ 为正方形 ∵FQ ＝OQ ＝t ，PA ＝2t ，∴PQ ＝8－3t ∴8－3t ＝t ，∴t ＝2

如图2，当PQ ＝PE 时，矩形PEFQ 为正方形 ∵OQ ＝t ，PA ＝2t ，∴OP ＝8－2t ∴PQ ＝t －( 8－2t )＝3t －8

∴3t －8＝t ，∴t ＝4

∴当t 为2秒和4秒时，矩形PEFQ 为正方形 （3）如图3，当P 在Q 右侧时 ∵FQ ＝OQ ＝t ，PQ ＝8－3t

∴S ＝PQ ·FQ ＝( 8－3t )t ＝－3t 2

＋8t ＝－3( t － 4 3 )2

＋

16

3

∴当t ＝

4 3 秒时，S 有最大值

16

3

如图2，当P 在Q 左侧时 ∵FQ ＝OQ ＝t ，PQ ＝3t －8

∴S ＝PQ ·FQ ＝( 3t －8 )t ＝3t 2

－8t 抛物线的对称轴为t ＝

4

3

∵当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动 ∴0≤t ≤4 ∵抛物线开口向上 ∴当

4

3

≤t ≤4时，S 随t 的增大而增大 ∴当t ＝4秒时，S 有最大值3×4 2

－8×4＝16

综上所述，当t 为4秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大，最大值为16

点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P ，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．

3．已知二次函数y ＝－ 3 3

mx 2

＋3mx －2的图象与x 轴交于点A （2 3，0）、点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 坐标；

（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ ∥AC 交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形PQA ′C ′，设点P 的运动时间为t ．

②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S 的最大值．

分析：（1）将A（23，0）代入抛物线解析式可求m的值，得到抛物线解析式，令y=0求x的值，得到B对坐标；

（2）①可根据解析式可得出点C点的在坐标，和函数的对称轴；在Rt△AOC讨论，可得AQ=A′Q，同时，过点A′作A′H⊥x轴，此时可根据两个等量式即可得出QH的长，从而可得出t的值，

②此时要分情况讨论，分当0＜t≤1时和当1＜t＜2时的情况，利用三角函数的知识和四边形求面积的知识即可得出．www-2-1-cnjy-com

解答：（1）将A（23，0）代入y＝－

3

3

mx2＋3mx－2

得0＝－

3

3

m×(23)2＋3m×23－2，解得m＝

3

3

∴y＝－1

3

x2＋3x－2

令y＝0，得－1

3

x2＋3x－2＝0，解得：x1＝3，x2＝2 3

∴B（3，0）

（2）①由y＝－1

3

x2＋3x－2，令x＝0，得y＝－2

∴C（0，－2）

∵y＝－1

3

x2＋3x－2＝－

1

3

(x－

3

2

3)2＋

1

4

∴二次函数图象的对称轴为直线x＝3

2

3

过A′作A′H⊥OA于H

在Rt△AOC中，∵OC＝2，OA＝2 3 ∴∠

OAC＝30°，∠OCA＝60°

∴∠PQA＝150°，∠A′QH＝60°，AQ＝A′Q＝2QH ∵点A′在二次函数图象的对称轴上