第2讲 不等式选讲
高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围,不等式的证明等,结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式,绝对值不等式的应用成为命题的热点,主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想
.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )=|2x +1|+|x -1|. (1)画出y =f (x )的图象;
(2)当x ∈[0,+∞)时,f (x )≤ax +b ,求a +b 的最小值
.
解 (1)f (x )=?????-3x ,x <-
12
,
x +2,-12
≤x <1,
3x ,x ≥1.
y =f (x )的图象如图所示.
(2)由(1)知,y =f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax +b 在[0,+∞)成立,因此a +b 的最小值为5. 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=-x 2
+ax +4,g (x )=|x +1|+|x -1|.
(1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )=-x 2
+x +4, g (x )=|x +1|+|x -1|=????
?2x ,x >1,2,-1≤x ≤1,-2x ,x <-1.
①当x >1时,f (x )≥g (x )-x 2+x +4≥2x , 解之得1 17-12 . ②当-1≤x ≤1时,f (x )≥g (x )(x -2)(x +1)≤0, 则-1≤x ≤1. ③当x <-1时,f (x )≥g (x )x 2-3x -4≤0, 解得-1≤x ≤4, 又x <-1,∴不等式此时的解集为空集. 综上所述,f (x )≥g (x )的解集为? ??? ??? ???x ???-1≤x ≤ 17-12. (2)依题意得:-x 2 +ax +4≥2在[-1,1]上恒成立. 则x 2 -ax -2≤0在[-1,1]上恒成立. 则只需? ??? ?12 -a ·1-2≤0,(-1)2 -a (-1)-2≤0,解之得-1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[-1,1]. 考 点 整 合 1.绝对值不等式的性质 定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立. 定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c |≤|a -b |+|b -c |,当且仅当(a -b )(b -c )≥0时,等号成立. 2.|ax +b |≤c ,|ax +b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax +b |≤c -c ≤ax +b ≤c . (2)|ax +b |≥c ax +b ≥c 或ax +b ≤-c . 3.|x -a |+|x -b |≥c ,|x -a |+|x -b |≤c (c >0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数,利用函数的图象求解. 4.基本不等式 定理1:设a ,b ∈R ,则a 2 +b 2 ≥2ab .当且仅当a =b 时,等号成立. 定理2:如果a ,b 为正数,则 a +b 2 ≥ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 定理3:如果a ,b ,c 为正数,则 a + b +c 3 ≥3 abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 热点一 绝对值不等式的解法 【例1】 (2018·衡水中学质检)已知函数f (x )=|2x -2|+|x +3|. (1)求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )>1 x +a 的解集包含[2,3],求实数a 的取值范围. 解 (1)依题意得|2x -2|+|x +3|≥3x +2, 当x <-3时,原不等式可化为2-2x -x -3≥3x +2, 解得x ≤-1 2 ,故x <-3; 当-3≤x ≤1时,原不等式可化为2-2x +x +3≥3x +2, 解得x ≤34,故-3≤x ≤3 4 ; 当x >1时,原不等式可化为2x -2+x +3≥3x +2,无解. 综上所述,不等式f (x )≥3x +2的解集为? ????-∞,34. (2)依题意,|2x -2|+|x +3|>1 x +a 在[2,3]上恒成立, 则3x +1-1 x >a 在[2,3]上恒成立. 又因为g (x )=3x +1-1 x 在[2,3]上为增函数, 所以有3×2+1-12>a ,解得a <13 2 . 故实数a 的取值范围为? ????-∞,132. 探究提高 1.含绝对值的函数本质上是分段函数,绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解,体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的零点分段法的一般步骤:求零点;划分区间,去绝对值符号;分段解不等式;求各段的并集.此外,还常用绝对值的几何意义,结合数轴直观求解. 【训练1】 (2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )=5-|x +a |-|x -2|. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥0的解集; (2)若f (x )≤1,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )=???? ?2x +4,x ≤-1,2,-1 可得f (x )≥0的解集为{x |-2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x +a |+|x -2|≥4. 又|x +a |+|x -2|≥|a +2|,且当x =2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a +2|≥4. 由|a +2|≥4可得a ≤-6或a ≥2. 所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 热点二 不等式的证明 【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0,b >0,且a 3 +b 3 =2. 证明:(1)(a +b )(a 5 +b 5 )≥4; (2)a +b ≤2. 证明 (1)(a +b )(a 5 +b 5 )=a 6 +ab 5 +a 5 b +b 6 =(a 3 +b 3)2 -2a 3b 3 +ab (a 4 +b 4 )=4+ab (a 2 -b 2)2 ≥4. (2)因为(a +b )3 =a 3 +3a 2 b +3ab 2 +b 3 =2+3ab (a +b ) ≤2+3(a +b )2 4·(a +b )=2+3(a +b ) 3 4, 所以(a +b )3 ≤8,因此a +b ≤2. 探究提高 1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法,其中比较法和综合法是基础,综合法证明的关键是找到证明的切入点. 2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法. 【训练2】 (2018·济南调研)已知函数f (x )=|x -1|. (1)解不等式f (x )+f (2x +5)≥x +9; (2)若a >0,b >0,且1a +4b =2,证明:f (x +a )+f (x -b )≥92,并求f (x +a )+f (x -b )=92 时, a , b 的值. 解 (1)f (x )+f (2x +5)=|x -1|+|2x +4|≥x +9, 当x ≤-2时,不等式为4x ≤-12, 解得x ≤-3,故x ≤-3, 当-2 当x ≥1时,不等式为2x ≥6,解得x ≥3,故x ≥3, 综上所述,不等式的解集为(-∞,-3]∪[3,+∞). (2)f (x +a )+f (x -b )=|x +a -1|+|x -b -1| ≥|x +a -1-(x -b -1)|=|a +b |=a +b (a >0,b >0). 又1a +4 b =2, 所以a +b =(a +b )? ????12a +2b =52+b 2a +2a b ≥52+2b 2a ·2a b =92, 当且仅当b 2a =2a b ,即b =2a 时“=”成立; 由?????b =2a ,1 a +4 b =2,可得?????a =32, b =3. 综上所述,f (x +a )+f (x -b )≥92, 当f (x +a )+f (x -b )=92时,a =3 2,b =3. 热点三 绝对值不等式恒成立(存在)问题 【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=|x +1|-|x -2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2 -x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 解 (1)f (x )=|x +1|-|x -2|=???? ?-3,x ≤-1,2x -1,-1 由f (x )≥1可得 ①当x ≤-1时显然不满足题意; ②当-1 (2)不等式f (x )≥x 2 -x +m 等价于f (x )-x 2 +x ≥m , 令g (x )=f (x )-x 2+x , 则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m . 由(1)知g (x )=?????-x 2+x -3,x ≤-1,-x 2 +3x -1,-1 ①当x ≤-1时,[g (x )]max =g (-1)=-3-1-1=-5; ②当-1 +3·32-1=54; ③当x ≥2时,[g (x )]max =g (2)=-22 +2+3=1. 综上,[g (x )]max =54,故m ≤5 4. 所以实数m 的取值范围是? ????-∞,54. 探究提高 1.不等式恒成立问题,存在性问题都可以转化为最值问题解决. 2.本题分离参数m ,对含绝对值符号的函数g (x )分段讨论,求出g (x )的最大值,进而求出m 的取值范围,优化解题过程. 【训练3】 (2018·郑州调研)设函数f (x )=|x +a |+2a . (1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |-2≤x ≤4},求实数a 的值; (2)在(1)的条件下,若不等式f (x )≥k 2-k -4恒成立,求实数k 的取值范围. 解 (1)因为|x +a |+2a ≤1,所以|x +a |≤1-2a , 所以2a -1≤x +a ≤1-2a ,所以a -1≤x ≤1-3a . 因为不等式f (x )≤1的解集为{x |-2≤x ≤4}, 所以? ????a -1=-2,1-3a =4,解得a =-1. (2)由(1)得f (x )=|x -1|-2. 不等式f (x )≥k 2 -k -4恒成立, 只需f (x )min ≥k 2-k -4, 所以-2≥k 2 -k -4,即k 2 -k -2≤0, 所以k 的取值范围是[-1,2]. 1.绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想,后者体现了数形结合思想的应用. 2.利用绝对值三角不等式定理|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |求函数最值,要注意其中等号成立的条件,利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. 3.分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 1.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )=|2x +3|-|1-2x |.若存在x ∈R ,使得f (x )>|3a -1|成立,求实数a 的取值范围. 解 ∵f (x )=|2x +3|-|1-2x |≤|(2x +3)+(1-2x )|=4.画出f (x )的图象,如图所示: ∴f (x )max =4. 若存在x ∈R ,使得f (x )>|3a -1|成立. ∴|3a -1|<4,解之得-1 故实数a 的取值范围是? ????-1,53. 2.设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d ,证明: (1)若ab >cd ,则a +b >c +d ; (2)a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件. 证明 (1)∵a ,b ,c ,d 为正数,且a +b =c +d , 要证a +b >c +d ,只需证明(a +b )2 >(c +d )2 , 也就是证明a +b +2ab >c +d +2cd , 只需证明ab >cd ,即证ab >cd . 由于ab >cd ,因此a +b >c +d . (2)必要性:若|a -b |<|c -d |,则(a -b )2 <(c -d )2 , 即(a +b )2 -4ab <(c +d )2 -4cd . ∵a +b =c +d ,所以ab >cd . 由(1)得a +b >c +d . 充分性:若a +b >c +d ,则(a +b )2 >(c +d )2 , ∴a +b +2ab >c +d +2cd . ∵a +b =c +d ,所以ab >cd . 于是(a -b )2 =(a +b )2 -4ab <(c +d )2 -4cd =(c -d )2 . 因此|a -b |<|c -d |. 综上,a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件. 3.(2018·南宁联考)已知函数f (x )=|x -1|. (1)求不等式f (x )≥3-2|x |的解集; (2)若函数g (x )=f (x )+|x +3|的最小值为m ,正数a ,b 满足a +b =m ,求证:a 2b +b 2 a ≥4. (1)解 当x ≥1时,x -1≥3-2x ,解得x ≥43,故x ≥4 3; 当0 3 . ∴原不等式的解集为?????? x ? ??x ≥43或x ≤-23. (2)证明 ∵g (x )=|x -1|+|x +3| ≥|(x -1)-(x +3)|=4, ∴m =4,则a +b =4. 又a 2b +b ≥2a ,b 2 a +a ≥2b , ∴两式相加得? ????a 2b +b +? ?? ??b 2 a +a ≥2a +2 b , ∴a 2b +b 2 a ≥a +b =4, 当且仅当a =b =2时等号成立. 4.(2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )=|x +1|-|ax -1|. (1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集; (2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )=|x +1|-|x -1|, 即f (x )=???? ?-2,x ≤-1,2x ,-1 则当x ≥1时,f (x )=2>1恒成立,所以x ≥1; 当-1 2 当x ≤-1时,f (x )=-2<1. 故不等式f (x )>1的解集为? ?????x |x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x +1|-|ax -1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax -1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时,|ax -1|≥1; 若a >0,|ax -1|<1的解集为? ??? ?? x ???0 所以2 a ≥1,故0 综上,a 的取值范围为(0,2]. 5.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=??????x -12+???? ??x +12, M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ; (2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |. (1)解 f (x )=?????-2x ,x ≤-1 2 , 1,-12 2, 2x ,x ≥12 . 当x ≤-1 2时,由f (x )<2得-2x <2, 解得x >-1,所以-1 2; 当-12 2时,f (x )<2恒成立. 当x ≥1 2时,由f (x )<2得2x <2, 解得x <1,所以1 2 所以f (x )<2的解集M ={x |-1 -(1+ab )2 =a 2 +b 2 -a 2b 2 -1 =(a 2 -1)(1-b 2 )<0, 所以(a +b )2 <(1+ab )2 ,因此|a +b |<|1+ab |. 6.(2018·武汉二模)已知函数f (x )=? ?????a +1x +? ??? ??a -1x ,a 为实数. (1)当a =1时,求不等式f (x )>4的解集; (2)求f (a )的最小值. 解 (1)当a =1时,不等式f (x )>4, 即f (x )=|x +1|+|x -1| |x |>4, ①当x <-1时,得f (x )=2>4,无解; ②当x ∈[-1,0)∪(0,1]时,得f (x )=2 |x |>4, 即|x |<12,解得-12 ③当x >1时,得f (x )=2>4,无解; 综上不等式f (x )>4的解集为? ????-12,0∪? ?? ??0,12. (2)f (a )=|a 2 +1|+|a 2 -1||a |=a 2 +1+|a 2 -1| |a | , ①当a <-1或a >1时,f (a )=2a 2 |a |=2|a |>2, ②当-1≤a ≤1且a ≠0时,f (a )=2 |a |≥2, 综上知,f (a )的最小值为2. 7.已知定义在R 上的函数f (x )=|x -m |+|x |,m ∈N * ,若存在实数x 使得f (x )<2成立. (1)求实数m 的值; (2)若α,β>1,f (α)+f (β)=6,求证:4α+1β≥9 4. (1)解 因为|x -m |+|x |≥|x -m -x |=|m |, 要使|x -m |+|x |<2有解,则|m |<2,解得-2 ,∴m =1. (2)证明 α,β>1,f (α)+f (β)=2α-1+2β-1=6, ∴α+β=4, ∴4α+1β=14? ???? 4α+1β(α+β) =14? ????5+4βα+αβ≥14? ????5+2 4βα·αβ=94 , 当且仅当4βα=α β , 即α=83,β=4 3时“=”成立, 故4α+1β≥9 4 . 8.(2018·江南十校联考)已知函数f (x )=|x +a |+|2x +1|,a ∈R . (1)当a =1时,求不等式f (x )≤1的解集; (2)设关于x 的不等式f (x )≤-2x +1的解集为P ,且? ?????-1,-14P ,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )=|x +a |+|2x +1|=|x +1|+|2x +1|, f (x )≤1|x +1|+|2x +1|≤1, 所以? ????x ≤-1,-x -1-2x -1≤1或??? ??-1 2,x +1-2x -1≤1 或?????x ≥-12, x +1+2x +1≤1. 即?????x ≤-1,x ≥-1或?????-1 2,x ≤-13 . 解得x =-1或-1 . 所以原不等式的解集为? ????? x |-1≤x ≤-13. (2)依题意,x ∈??????-1,-14时,不等式f (x )≤-2x +1, 即|x +a |+|2x +1|≤-2x +1在x ∈??????-1,-14上恒成立, 当x ∈??????-1,-12时,|x +a |-2x -1≤-2x +1, 即|x +a |≤2, 所以-2-x ≤a ≤2-x 在x ∈??????-1,-12恒成立, 所以(-2-x )max ≤a ≤(2-x )min ,即-1≤a ≤5 2. 当x ∈??????-1 2,-14时,|x +a |+2x +1≤-2x +1, 即|x +a |≤-4x . 所以3x ≤a ≤-5x 在x ∈??????-1 2,-14恒成立. 所以(3x )max ≤a ≤(-5x )min ,即-34≤a ≤5 4 . 综上,a 的取值范围是???? ??-34,54. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ (Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像; (Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+,其中0 f x x a x a>. (I)当a=1时,求不等式()32 ≥+的解集. f x x (II)若不等式()0 x≤-,求a的值. f x≤的解集为{x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|. (Ⅰ)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集; (Ⅱ)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集; (Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12 )时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明: (1)ab +bc +ac ≤13; (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 (I )求33b a +的最小值; (II )是否存在b a ,,使得632=+b a ?并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a (Ⅰ)证明:() f<,求a的取值范围. f x≥2 (Ⅱ)若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, . 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<?? x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得: ①当1-x ≤时显然不满足题意; ②当12x -<<时,211-x ≥,解得1x ≥; ③当2x ≥时,()31=f x ≥恒成立.综上,()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. (2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥, 1.(2018?卷Ⅱ)设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围 2.(2013?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.3.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 5.(2017?新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 6.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 7.(2018?卷Ⅰ)已知 (1)当时,求不等式的解集 (2)若时,不等式成立,求的取值范围 8.(2018?卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 10.(2014?新课标II)设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 11.(2015·福建)选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为4.(1)求的值; 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 2012高考真题分类汇编:不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即12 1 <<-x 或1=x ,所以不等式的解为12 1 ≤<- x ,选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0,b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b C.若2a -2a=2b-3b ,则a >b D.若2a -2a=a b -3b ,则a <b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其 余选项用同样方法排除.故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品,y 桶乙产品,总利润为Z , 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+, 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10. (2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( ) 2015-2019高考数学全国卷真题(不等式选讲) 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. (1)求()()()222111x y z -++++的最小值; (2)()()()2221213x y z a -+-+-≥成立,证明:3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- (1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集; (2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ,b ,c 为正数,且满足1=abc .证明: (1)22211 1 a b c a b c ++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++. 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像; (2)当[)0,x ∈+∞时,()f x ax b ≤+,求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--. (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. (1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集; (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f . (1)求不等式1)(≥x f 的解集; (2)若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空,求m 的取值范围. 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质,能利用不等式的性质,特殊值法等判断不等式的正误; 2、熟练的解一元二次不等式,分式不等式,绝对值不等式,对数不等式,指数不等式,含根式的不等式; 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式; 4、掌握恒成立问题,存在性问题; 5、掌握利用基本不等式求最值的方法; 6、掌握线性规划解决最优化问题; 7、掌握利用线性规划,基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中,不等式无处不在,不论是不等式解法还是线性规划,基本不等式,一般单独出现的是线性规划或基本不等式,而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且,则下列不等式恒成立的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知:当时,为正确选项,故选C. 2、已知,,则() A. B. C. D. 【答案】A 3、,设,则下列判断中正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令,则,故选B 4、若,且,则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个,黑球个().从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个,此时从中任取个球是红球的概率记为;若将红球、黑球个数各减少个,此时从中任取个球是红球的概率记为,则() A. B. C. D. 【答案】D 6、若,,则下列不等式错误的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为,,所以,,故A、B正确;由已知得, ,所以,所以C错误;由,得,,所以 成立,所以D正确.故选C. 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则 a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b > >(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0< <<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______(答:12,2? ?-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较 21log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22 a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或4 3 x >时,1+3log x >2log 2x ;当 413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3log x =2log 2x ) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方 针。 【例】(1)下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-(答:C ); (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是______ (答:; (3)正数,x y 满足21x y +=,则y x 1 1+的最小值为______ (答:3+; 4.常用不等式有:(1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; (2)a 、b 、c ∈R ,222 a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); (3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞) 基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 技巧二:凑系数 例: 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 变式:设2 3 0< 高考数学不等式解题方法 技巧 Newly compiled on November 23, 2020 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >或 >4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22;③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0<<<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答: 137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______(答:12,2??-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较2 1log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,12 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或43 x >时,1+3log x >2log 2x ;当413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当43 x =时,1+3log x =2log 2x ) 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m 、n ∈[- 1,1],m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(>0 (1)用定义证明f (x )在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式 f (x + 21)<f (1 1-x ); (3)若f (x )≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时,x + 21∈[-1,1],1 1-x ∈[-1,1]必不可少,这恰好是容易忽略的地方 新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不 等 式 选 讲 一、 解答题 【2018,23】23. [选修4—5:不等式选讲] 已知. (1)当时,求不等式 的解集; (2)若 时不等式 成立,求的取值范围. 【2017,23】已知函数()2 4f x x ax =-++,()11g x x x =++-. (1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集; (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围. 【2016,23】已知函数321)(--+=x x x f . (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出)(x f y =的图像; (Ⅱ)求不等式1)(>x f 的解集. 【2015,24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->. (I )当1a =时求不等式()1f x >的解集; (II )若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围 . 【2014,24)】若0,0a b >>,且 11 a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由. 【2013,24】已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3. (1)当a =-2时,求不等式f (x )<g (x )的解集; (2)设a >-1,且当x ∈1,22a ?? -???? 时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围. 【2012,24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。 (1)当3-=a 时,求不等式3)(≥x f 的解集;(2)若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1,2],求a 的取值范围。 【2011,24】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 (Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1 x x ≤- ,求a 的值。 (2019?上海7)若x ,y R +∈,且 123y x +=,则y x 的最大值为 . 【解答】 解:132y x = +… ∴298 y x =?; 故答案为:98 (2019?上海5)已知x ,y 满足002x y x y ????+? ……?,则23z x y =-的最小值为 . 【解答】解:作出不等式组002x y x y ????+? ……?表示的平面区域,由23z x y =-即23x z y -=,表示直线在y 轴上的截距的相反数的13 倍,平移直线230x y -=,当经过点(0,2)时,23z x y =-取得最小值6-,故答案为:6-. (2019?浙江3)若实数x ,y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+??--??+? …?…则32z x y =+的最大值是( ) A .1- B .1 C .10 D .12 【解答】解:由实数x ,y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??--??+? …?…作出可行域如图,联立340340x y x y -+=??--=?,解得(2,2)A ,化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+,由图可知,当直线3122 y x z =-+过(2,2)A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值:10. 故选:C . (2019?天津文10)设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 . 【解答】解:2320x x +-<,将232x x +-分解因式即有: (1)(32)0x x +-<;2(1)()03 x x +-<; 由一元二次不等式的解法“小于取中间,大于取两边” 可得:213 x -<<; 即:2{|1}3x x -<<;或2(1,)3 -; 故答案为:2(1,)3 -; (2019?天津文理13)设0x >,0y >,25x y += 的最小值为 . 【解答】解:0x >,0 y >,25x y +=, 则===; 由基本不等式有: = 当且仅当=时,即:3xy =,25x y +=时,即:31x y =??=?或232x y =???=??时;等号成立, 故答案为:高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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