将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题

问题概述

路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

方法原理

1.两点之间，线段最短；

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；

4.垂线段最短.

基本模型

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，

在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则

需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；

理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′，

连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

即︱P′A-P′B︱<︱PA-PB︱

4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：作点B关于直线l的对称点B′，连接B′A并延长交

于点P，点P即为所求；

理由：根据对称的性质知l为线段BB′的中垂线，由中垂

线的性质得：PB=PB′，要使︱PA-PB︱最大，则需

︱PA-PB′︱值最大，从而转化为模型3.

典型例题1-1

如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分

别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，

点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.

【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连

接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为

△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从

而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理

（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

【解答】连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC+PD 值最

小．令y=x+4中x=0，则y=4，

∴点B 坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标

为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21

AO=3，

∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，

D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21

CD=23，

∴点P 的坐标为（﹣，0）．在Rt △CDD ′中，

CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.

【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变

化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析

式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.

典型例题1-2

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B

的坐标为（，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最

大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.

【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，

连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的

交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，

再用两点之间的距离公式求此最大值.

【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC

的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA

﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223

)2()1(-++=241

；

【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.

变式训练1-1

已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），

OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短

时，点P的坐标为（）

A．（0，0） B．（1，）C．（，） D．（，）

变式训练1-2

如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，

BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的

最小值为__________.

变式训练1-3

如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交

于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.

拓展模型

1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

AP+PQ的值最小.

解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此

时，AP+PQ最小；

理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，

AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当

AQ⊥ON时，AQ最小.

2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

AP+PQ的值最小.

解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；

理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型1

3.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

△APQ的周长最小

解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对

称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点

P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值

即为线段A1A2的长度；

理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周

长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线

时，其值最小.

4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；

要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形

APQB的周长最小

解：作点A关于直线OM的对称点A′，作点B关于直线

ON的对称点B′，连接A′B′交OM于P，交ON于Q，

则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的

最小值即为线段AB和A′B′的长度之和；

理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA′,将

QB转化为QB′，当A′、P、Q、B′四点共线时，

PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.

5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定

点，（直线AB不与m垂直）

要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.

分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使

P、Q“接头”，转化为基本模型

解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至

点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点

Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即

为所求，此时AP+PQ+BQ最小.

理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，

当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即

AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.

6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a

(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）

要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小

分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，

使P、Q“接头”，转化为基本模型

解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A′，使

AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q，在l上截取

PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时

AP+PQ+QB 的最小值为A ′B+PQ ，即A ′B+a

理由：易知四边形APQA ′为平行四边形，则PA=QA ′，

当A ′、Q 、B 三点共线时，QA ′+QB 最小，即PA+QB

最小，又PQ 长为定值此时PA+PQ+QB 值最小.

7. 已知：如图，定点A 、B 分布于直线l 的同侧，长度a

(a 为定值)的线段PQ 在l 上移动（P 在Q 左边）

要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小

分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点

关于l 的对称点，转化为上述模型3

解：作A 点关于l 的对称点A ′，将点A ′沿着平行于l

的方向，向右移至A ′′，使A ′A ′′=PQ=a ，连接A ′′B

交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段

PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为

A ′′B+AB+PQ ，即A ′′B+AB+a

典型例题2-1

如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、

AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．

【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过

点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借

助等面积法和相似可求其长度.

【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，

其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，

∴AC=22BC AB +=55，

等面积法求得AC 边上的高为5

5510?=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴

，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．

【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作

定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的

对称点易解.

典型例题2-2

如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，点M、N分别

是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）

A．B．C．6 D．3

【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、

D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对

称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，

易求底边CD.

【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，

∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，

∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，

则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，

CH=OH=，∴CD=2CH=3．

即△PMN周长的最小值是3；

故选：D．

【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的

等腰三角形，是解题的关键，也是难点.

典型例题2-3

如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线

为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，

∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为

线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴

对称，连接BP、E′M．

（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；

（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.

【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；

（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，