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概率论与数理统计知识点汇总(免费超详细版)

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《概率论与数理统计》

第一章概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生

B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生

B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生

B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生

φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件

2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=?

结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B —

§3．频率与概率

定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事

件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率

概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

（3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

)()(Y （n 可

以取∞）

2．概率的一些重要性质：（i ） 0)(=φP

（ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

)()(

Y （n 可以取∞）

（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P

（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）

（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件

包含

个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A Y ΛY Y =，里

个不同的数，则有

中某，是，，k k n 2,1i i i ,21ΛΛ()

中基本事件的总数

包含的基本事件数

S }{)(1

j A n k e P A P k

j i ==

=∑= §5．条件概率

（1）定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)

()

()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率

（2）条件概率符合概率定义中的三个条件

1。

非负性：对于某一事件B ，有0)|(≥A B P

2。规范性：对于必然事件S ，1)|(=A S P

3可列可加性：设Λ,,21B B 是两两互不相容的事件，则有

∑∞

=∞==1

)()(i i i i A B P A B P Y

（3）乘法定理设0)(>A P ，则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式

（4）全概率公式： ∑==

i i

B A P B P A P 1

)|()()(

贝叶斯公式： ∑==

i i

k k k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

§6．独立性

定义设A ，B 是两事件，如果满足等式)()()(B P A P AB P =，则称事件A,B 相互独立定理一设A ，B 是两事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则()B P A B P =)|( 定理二若事件A 和B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与—

—

与，与，B A B A B

第二章随机变量及其分布

§1随机变量

定义设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量

§2离散性随机变量及其分布律

1．离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随

机变量称为离散型随机变量

k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞

k k P =1

2．三种重要的离散型随机变量

（1）(0?1)分布

设随机变量X 只能取

0与1两个值，它的分布律是

)101,0k p -1p )k (k

-1k <<===p X P （，）（，则称X 服从以p 为参数的(0?1)分布或

两点分布。

（2）伯努利实验、二项分布

设实验E 只有两个可能结果：A 与—

A ，则称E 为伯努利实验.设

1)p 0p P(A)<<=（，此时p -1)A P(=—

.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的

独立实验为n 重伯努利实验。

n 2,1,0k q p k n )k X (k

-n k Λ，

，=???

? ??==P 满足条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞

=1k k P =1注意

到k

-n k q p k n ???

??是二项式

n q p ）（+的展开式中出现k

p 的那一项，我们称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。（3）泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为

,2,1,0,k!

e )k X (-k Λ==

=k P λ

λ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布记为

）

（λπ~X §3随机变量的分布函数

定义设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数

分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质(1) )(x F 是一个不减函数（2）

1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤F F x F ，且（3）是右连续的即)(),()0(x F x F x F =+

§4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负可积函数)(x f ，使对于任意函数x 有,

dt t f )x (F x

∞

）（则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X

的概率密度函数，简称概率密度

1 概率密度)(x f 具有以下性质，满足（1）1)(

(2) ,0)(-=≥?

+∞

∞

dx x f x f ；

（3）?

≤≤2

)()(21x x dx x f x X x P ；（4）若)(x f 在点x 处连续，则有=)(F x ，

)(x f

2,三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

若连续性随机变量X 具有概率密度?????<<=，其他

，0a a -b 1)(b

x x f ，则成X 在区间(a,b)上服从

均匀分布.记为），（b a U ~X

(2)指数分布

若连续性随机变量X 的概率密度为?????>=，其他

，0

0.e

1)(x -x x f θθ

其中0>θ为常数，则称X

服从参数为θ的指数分布。

（3）正态分布

若连续型随机变量X 的概率密度为

，

，）

∞<<∞=

x e

x f x -21)(2

2(σμσ

πσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X )0>的正态分布或高斯分布，记为

）

，（2N ~X σμ 特别，当10==σμ，时称随机变量X 服从标准正态分布

§5随机变量的函数的分布

定理设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ，又设函数)(x g 处处可导且恒有

0)(,>x g ，则

Y=)(X g 是连续型随机变量，其概率密度为

[]?

?<<=其他，0,)()()(,β

αy y h y h f y f X Y 第三章多维随机变量

§1二维随机变量

定义设E 是一个随机试验，它的样本空间是X(e)X {e}.S ==和Y(e)Y =是定义在S 上的随机变量，称X(e)X =为随机变量，由它们构成的一个向量（X ，Y ）叫做二维随机变量

设（X ，Y ）是二维随机变量，对于任意实数x ，y ，二元函数

y}Y x P{X y)}(Y x)P{(X y x F ≤≤≤?≤=，记成），（称为二维随机变量（X ，Y ）的

分布函数

如果二维随机变量（X ，Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X ，Y ）是离散型的随机变量。

我们称Λ，

，，，2,1j i )y Y (ij j i ====p x X P 为二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布律。

对于二维随机变量（X ，Y ）的分布函数），（y x F ，如果存在非负可积函数f （x ，y ），

使对于任意x ，y 有，），（）

，（??

∞∞

=y -x

-dudv v u f y x F 则称（X ，Y ）是连续性的随机变量，

函数f （x ，y ）称为随机变量（X ，Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密

度。

§2边缘分布

二维随机变量（X ，Y ）作为一个整体，具有分布函数），（y x F .而X 和Y 都是随机

变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）

（（y ),x F X Y F ，依次称为二维随机变量（X ，Y ）

关于X 和关于Y 的边缘分布函数。

，，2,1i }x P{X p 1

j i ij i ====∑∞

=?p

Λ，，2,1j }y P{Y p 1

i i ij ====∑∞

=?j p 分别称?i p j p ?为（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边

缘分布律。

?∞∞

-=dy y x f x f X ）,()( ?∞

∞

-=dx y x f y f Y ）,()(分别称

)(x f X ，)(y f Y 为X ，Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

§3条件分布

定义设（X ，Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若,0}{>=j y Y P 则称Λ,2,1,}

{}

,{}{==

====

==?i p p y Y P y Y x X P y Y x X P j

ij j j i j i 为在j y Y =条件下

随机变量X 的条件分布律，同样Λ

,2,1,}

{},{}{========?

j p p x X P y Y x X P X X y Y P i ij i j i i j 为在i x X =条件下随机变量X 的条件分布律。

设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率密度为),(y x f ，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为)(y f Y ，若对于固定的y ，)(y f Y 〉0，则称

)

()

,(y f y x f Y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度，记为)(y x f Y X =

)

()

,(y f y x f Y §4相互独立的随机变量

定义设），（y x F 及)(F x X ，)(F y Y 分别是二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有y}}P{Y {},{≤≤===x X P y Y x X P ，即

(y))F (F },{F Y X x y x =，则称随机变量X 和Y 是相互独立的。

对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和Y 相互独立的充要条件是参数0=ρ

§5两个随机变量的函数的分布

1，Z=X+Y 的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f .则Z=X+Y 仍为连续性

随机变量，其概率密度为?

∞

-+-=

dy y y z f z f Y X ）,()(或?∞

∞

-+-=dx x z x f z f Y X ）,()(

又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则

?∞∞

-+-=dy f y z f z f Y X Y X y)()(（）和?

∞

-+-=dx x z f x f z f Y X Y X )(()(）这两个公式称为Y X f f ,的卷积公式

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，的分布的分布、XY Z X

Z ==

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f ，则XY Z X

Z ==，仍为连续性随机变量其概率密度分别为

dx xz x f x z f X Y ),()(?∞∞

-=dx x

x f x z f XY ),(1)(?

∞

-=又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则可化为dx xz f x f z f Y X X Y

∞

-=)()()( dx x

f x f x z f Y XY )()(1)(X ?

∞

-= 3的分布及，},m in{N Y }{X m ax Y X M ==

设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(y F x F Y X 由于

Y}{X max ，=M 不大于z 等价于X 和Y 都不大于z 故有z}Y z,P{X z}P{M ≤≤=≤又

由于X 和Y 相互独立，得到Y}{X max ，=M 的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =

},min{N Y X =的分布函数为[][])(1)(11)(min z F z F z F Y X ---=

第四章随机变量的数字特征

§1．数学期望

定义设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{，k=1,2，…若级数

∑∞

k k k

p x

绝对

收敛，则称级数

∑∞

k k k

p x

的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑=i

k k p x X E )(

设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分

∞

-dx x xf )(绝对收敛，则称积分

∞

-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即?+∞∞

-=dx x xf X E )()(

定理设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)

（i ）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若

k k

p x g ∑∞

(）

绝对收敛则有=)Y (E =

))((X g E k

k k

p x g ∑∞

(）

（ii ）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若?

∞

-dx x f x g )()(绝对收敛则

有=)Y (E =

))((X g E ?

∞

-dx x f x g )()(

数学期望的几个重要性质 1设C 是常数，则有C C E =)(

2设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E = 3设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+； 4设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =

§2方差

定义设X 是一个随机变量，若[]})({2

X E X E -存在，则称[]})({2

X E X E -为X 的方

差，记为D （x ）即D （x ）=[]})({2

X E X E -，在应用上还引入量)(x D ，记为)(x σ，

称为标准差或均方差。

222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=

方差的几个重要性质

1设C 是常数，则有 ,0)(=C D

2设X 是随机变量，C 是常数，则有)(C )(2

X D CX D =，D(X))(=+C X D

3设X,Y 是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别，若X,Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+

40)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即1)}({==X E X P

三角形的证明知识点汇总

百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容几何语言条件与结论等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一结论：该线也是其他两线等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形知识点4 等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法概念证明的一般步骤

解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外接圆的直径，即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A

中考三角形知识点复习归纳总结

D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形

21D C B A D C B A （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点． ⒋ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

三角形知识点总结

第四章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线 1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点二、平行线 1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。考点三、投影与视图 1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。第二章三角形 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性

高中化学必修一知识点总结精简版

第一章、从实验学化学一、化学实验安全 1、（1）做有毒气体的实验时，应在通风厨中进行，并注意对尾气进行适当处理（吸收或点燃等）。进行易燃易爆气体的实验时应注意验纯，尾气应燃烧掉或作适当处理。（2）烫伤宜找医生处理。（3）浓酸撒在实验台上，先用Na2CO3 （或NaHCO3）中和，后用水冲擦干净。浓酸沾在皮肤上，宜先用干抹布拭去，再用水冲净。浓酸溅在眼中应先用稀NaHCO3溶液淋洗，然后请医生处理。（4）浓碱撒在实验台上，先用稀醋酸中和，然后用水冲擦干净。浓碱沾在皮肤上，宜先用大量水冲洗，再涂上硼酸溶液。浓碱溅在眼中，用水洗净后再用硼酸溶液淋洗。（5）钠、磷等失火宜用沙土扑盖。（6）酒精及其他易燃有机物小面积失火，应迅速用湿抹布扑盖。二．混合物的分离和提纯分离和提纯的方法过滤用于固液混合的分离一贴、二低、三靠如粗盐的提纯蒸馏提纯或分离沸点不同的液体混合物防止液体暴沸，温度计水银球的位置，如石油的蒸馏中冷凝管中水的流向如石油的蒸馏萃取利用溶质在互不相溶的溶剂里的溶解度不同，用一种溶剂把溶质从它与另一种溶剂所组成的溶液中提取出来的方法选择的萃取剂应符合下列要求：和原溶液中的溶剂互不相溶；对溶质的溶解度要远大于原溶剂用四氯化碳萃取溴水里的溴、碘分液分离互不相溶的液体打开上端活塞或使活塞上的凹槽与漏斗上的水孔，使漏斗内外空气相通。打开活塞，使下层液体慢慢流出，及时关闭活塞，上层液体由上端倒出如用四氯化碳萃取溴水里的溴、碘后再分液蒸发和结晶用来分离和提纯几种可溶性固体的混合物加热蒸发皿使溶液蒸发时，要用玻璃棒不断搅动溶液；当蒸发皿中出现较多的固体时，即停止加热分离NaCl和KNO3混合物三、离子检验离子所加试剂现象离子方程式 Cl－AgNO3、稀HNO3 产生白色沉淀Cl－＋Ag＋＝AgCl↓ SO42- 稀HCl、BaCl2 白色沉淀SO42-+Ba2＋=BaSO4↓ 四.除杂注意事项：为了使杂质除尽，加入的试剂不能是“适量”，而应是“过量”；但过量的试剂必须在后续操作中便于除去。五、物质的量的单位――摩尔 1.物质的量（n）是表示含有一定数目粒子的集体的物理量。 2.摩尔（mol）: 把含有6.02 ×1023个粒子的任何粒子集体计量为1摩尔。 3.阿伏加德罗常数：把6.02 X1023mol-1叫作阿伏加德罗常数。 4.物质的量＝物质所含微粒数目/阿伏加德罗常数n =N/NA 5.摩尔质量（M）(1) 定义：单位物质的量的物质所具有的质量叫摩尔质量.（2）单位：g/mol 或g..mol-1(3) 数值：等于该粒子的相对原子质量或相对分子质量. 6.物质的量=物质的质量/摩尔质量( n = m/M ) 六、气体摩尔体积

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况：当ab 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

有关三角形知识点总结

三角形知识点汇总 1、三角形一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据） 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论）方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.（90°角和互余关系）锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。

2 、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 4、方法利用：求三角形中未知的高或者底边的长度，可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达，求其中未知的高或者底边的长度三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案

一、三角形内角和定理一、选择题 1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（）A ．75o B ．60o C ．45o D ． 30o 3.如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45，则∠3的度数为（） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠，由m n ∥，得010043=∠=∠ 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（）. A.20° B. 35° C. 45° D.55° 【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55o，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. A B C D 40° 120° α

风险管理知识点-精简版

第一章风险管理导论第一节风险的定义及构成要素一、风险的定义基本含义：某种事件发生的不确定性。但是，在经济学、统计学、决策理论和保险学中尚无一个适用于他们各个领域的一致公认的定义。（一）经济学：损失机会和损失可能性。把风险定义为损失机会，表明风险是面临损失的可能性，是一定状况下的概率。（二）统计学：实际结果与预期结果的偏差。（三）决策理论：损失的不确定性。二、风险的度量 1、损失频率：用于度量事件是否经常发生 2、损失程度：用于度量每一事故造成的损害图1-1风险发生的一般规律

三、风险的特征 (一)客观性。风险是客观存在的，可以用概率度量风险发生的可能性。 (二)损害性。损害是风险发生的后果，无风险则无保险。 (三)不确定性。 1、空间上的不确定性：损失发生的地点不确定 2、时间上的不确定性：损失发生的时间不确定 3、损失程度的不确定性：损失的后果不确定（四）可预测性。大量风险的发生呈现出一定的规律性，奠定了保险费率确定的基础。（五）发展性——可变性当代高新技术的开发与应用，使风险的发展性更为突出。如使用网络和手机的风险，电信诈骗。四、风险构成的要素（一）风险因素风险因素：引起或增加风险事件发生的各种原因或条件，或者风险事件发生时，导致损失扩大的原因或条件。通常分为三种：

①物质风险因素：与物质的物理功能有关，与人无关——有形的； ②道德风险因素：与人的修养有关，偏重于人的恶意行为——无形的； ③心理风险因素：与人的心理状态有关，偏重于人的善意行为——无形的；实质风险因素风险因素道德风险因素人为风险因素心理风险因素（二）风险事故：风险事件的具体表现形式——风险的载体风险事故，也称风险事件，是造成生命财产损害的偶发事件，是造成损害的直接的、外在的原因，是损害的媒介物。（三）损失——风险事件的结果，包括直接损失和间接损失非故意的、非计划的、非预期的经济价值的减少。（1)直接损失（Physical Loss) 风险事故直接造成的有形损失，所保风险的第一结果（2)间接损失（Consequential Loss)

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦）（1）平方关系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点

5. 特殊角的三角函数值度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :

三角形知识点总结(1)

三角形由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形具有稳定性三角形内角和是180° 组成三角形的两个条件：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边三角形分类按角来分锐角（0°

钝角三角形的三条高（三条虚线）按边分底直角边 C B A 直角边C B C B A 底边等边三角形（三条边都相等，每个角都是60°）等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）

※已知三角形两条边各长a、b（a>=b），求第三边长度c的范围方法：a-b5 能（等边三角形/正三角形）例：已知三条线段分别是10cm、10cm、20cm，它们能不能组成三角形？ 10+10=20 不能 ※多边形内角和问题

有关三角形知识点

一、有关角的：知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 知识点2：三角形外角性质：1）. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2）. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3）. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4）. 三角形的外角和等于360°。二、重要的线 1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分线上的点到角两边的距离相等）； 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线： 6、角平分线的的性质： 7、中位线： 8、直角三角形斜边上的中线：三：重要的三角形的角与线 1、直角三角形： 2、等腰三角形：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形：四：重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.

3、垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点． 6、中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 7、三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8、三角形面积计算公式S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 9、勾股定理： 10、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 11、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）

高考历史知识点精简版总结

高考历史复习要点（必修1）一、古代中国的政治制度：分封制：把土地和人民分封给王族、功臣和先代贵族，建立诸侯国，拱卫王室，加强了周天子对地方的统治，但同时存在分裂的隐患。古代中央集权制度的形成： ①秦代中央设置三个最高官职：丞相，帮助皇帝处理全国的政事；御史大夫，执掌奏章，下达诏令，兼理国家监察事务；太尉，负责全国军事。 ②郡县制建立：秦始皇在全国范围废除分封制，实行郡县制。中央集权制度的影响：有利于封建经济文化的发展，对祖国疆域的初步奠定、巩固国家统一，以及形成以华夏族为主体的中华民族，都起了重要作用。唐朝三省六部制：中书省掌决策，负责草拟和颁发皇帝诏令；门下省掌审议，负责审核政令；尚书省负责执行政令，并下设吏、户、礼、兵、刑、工六部。汉初，在地方上，郡国二制并行。元朝：中央以中书省为最高行政机构，在地方采用行省（行中书省）制度，是地方行政制度的重大变革，是中国省制的开端。汉的州和唐的道，起先都是监察机构，后都演变成地方行政实体。明朝：通过废除丞相制度和创设内阁，君主专制达到了新的高度。清朝：雍正帝时，军机处的创设，使君主专制制度发展到了顶峰。君主专制制度的影响：极大地妨碍了社会的进步，自此，中国社会的发展开始大大落后于西方。二、列强武装侵略与中国人民的反抗从鸦片战争到八国联军侵华鸦片战争（1840～1842）：战争中，广州北郊三元里人民自发起来反抗英国侵略者。1842年8月，中英《南京条约》签订，内容规定：①割香港岛给英国；②赔款2100万银元；③开放广州、厦门、福州、宁波、上海五口通商； ④协定关税。影响：是中国半殖民地半封建社会的开端，中国进入了旧民主主义革命时期。第二次鸦片战争（1856～1860）：英法联军侵入北京，洗劫焚烧了圆明园。1860年清政府被迫签订《北京条约》。俄国在此期间趁机先后共侵占了中国150多万平方千米的领土。甲午中日战争（1894）：黄海海战中致远舰管带邓世昌英勇作战，壮烈殉国。1895年，清政府被迫与日本签订中日《马关条约》，内容规定：①割辽东半岛、台湾（台湾人民反割台斗争）、澎湖列岛给日本；②赔款白银2亿两； ③开放沙市、重庆、苏州、杭州为商埠；④允许日本在通商口岸开设工厂。影响：中国半殖民地化程度大大加深了。八国联军侵华：1900年6月，八国联军借口镇压义和团运动，发动侵华战争。1901年9月，清政府与侵略者签订了丧权辱国的《辛丑条约》，内容规定：①赔款白银4.5亿两；②划定北京东交民巷为使馆界，允许各国派兵保护； ③拆除北京至大沽的炮台，允许各国派兵驻守北京到山海关铁路沿线；④严禁中国人民参加反帝斗争。影响：标志着中国完全沦为半殖民地半封建社会。抗日战争开始标志：1937年的“卢沟桥事变”。侵华日军罪行：1937年12月，日本攻陷南京后，屠杀南京平民和放下武器的军人30万人。日军还在中国成立了从事细菌战的“七三一部队”。抗日战争：面对日军侵华，国共两党停止内战，组成抗日民族统一战线，奋起抗战。淞沪会战粉碎了日军三个月灭亡中国的企图。抗战前期，中国军队取得了平型关战役（太原会战）、台儿庄战役（徐州会战）的胜利。1940年，彭德怀指挥八路军发动百团大战，这是中国军队主动出击日军的一次大规模战役。抗战胜利的历史地位：①是中国人民一百多年来第一次取得反帝斗争的完全胜利；②大大增强了全国人民的民族自尊心和自信心；③对世界反法西斯战争的胜利作出了重大贡献；④中国的国际地位得到提高。

解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <

初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案

. A一、三角形内角和定理一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100，由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°，则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .

. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=．【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．

初二数学八上三角形所有知识点总结和常考题型练习题

三角形知识点一、三角形及其有关概念 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。（2）三角形的任意两边之差小于第三边。（3）作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。（2）直角三角形的两个锐角互余。 5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 6、三角形的分类： (1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 (2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部； 8、三角形的面积：三角形的面积=2 1 ×底×高二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。三、全等三角形 1、全等三角形及有关概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 4、三角形全等的判定：（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）

初中几何基本知识点总结(精简版)

初中几何基本知识点总结（精简版） 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

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