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高考数学压轴专题新备战高考《不等式》经典测试题及答案解析

高中数学《不等式》知识点归纳

一、选择题

1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥??

--≤??≥?

，则2z x y =+的最大值为（）

A ．1-

B ．2

C ．7

D ．8

【答案】C 【解析】【分析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.

【详解】

解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：

当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.

2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2

4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2

||||1

PM PF -的最

小值为（） A 3B ．51)

C ．45

D ．4

【答案】D 【解析】【分析】

如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设

(),

P x y，0

x>，则

||4 ||1

x PF x

，利用均值不等式得到答案.

【详解】

如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11

PF PN PQ

-=-=，设()

P x y，0

x>，则

()()

22224

||||4

||1

x y x x

PM P

F x

P x x

-+-+

====+≥

，当

=，即2

x=时等号成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3．若,x y满足约束条件

360,

60,

x y

-+≥

+-≤

?≥

则z x y

=-的最小值为（）

A．4 B．0 C．2-D．4-

【答案】D

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．

【详解】

由题意，画出约束条件

360

x y

-+≥

+-≤

?≥

所表示的可行域，如图所示，

目标函数z x y

=-，可化为直线y x z

=-当直线y x z

=-经过A时，z取得最小值，

又由3601

x y y -+=??=?，解得(3,1)A -，

所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．

4．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )

甲乙每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)

A ．12万元

B ．16万元

C ．17万元

D ．18万元

【答案】D 【解析】【分析】

根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】

设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥?

目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,

3212,

x y x y +=??+=?得()2,3P ，则

max 324318z =?+?=（万元）.选D.

【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

5．已知关于x 的不等式()()2

22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范

围是（） A ．()2,6

B ．()(),26,-∞+∞U

C ．(](),26,-∞?+∞

D ．[)2,6

【答案】D 【解析】【分析】

分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数

m 的取值范围.

【详解】

当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；

当20m -≠时，则()()2

421620m m m ->????=---

，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】

本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

6．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（）

A ．

B ．2log 3

C ．

D ．2

4log 3

【答案】D 【解析】【分析】

利用基本不等式求出2a b

+的最小值后可得221

a b

a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可

得c 的最大值. 【详解】

因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.

又因为2222a b c a b c ++++=，故2114

211212133

a b c

a b a b +++==+≤+=--，

当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3

c =. 故选：D. 【点睛】

本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.

7．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，2

12Q x x ??=>??-??

，则P Q I 为( )

A ．()0,2

B ．()1,9

C ．()1,4

D ．()1,2

【答案】D 【解析】【分析】

集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】

解：{}

19P x x =<<，{}

02Q x x =<<；

()1,2P Q ∴?=.

故选：D. 【点睛】

本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．

分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.

8．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的

一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x

f x =的两对“线性对称点”，则c

的最大值为（） A ．3log 4 B ．3log 41+

C ．

D ．3log 41-

【答案】D 【解析】【分析】

根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313

a b

+=+

-，只需求出3a b +的最小值，根据

333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，a 与b 为函数()3x

f x =的“线性对称点”，

所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥?，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.

又+a b 与c 为函数()3x

f x =的“线性对称点，

所以333b c a b c a ++++=，

所以314

3131313

a b c

a b a b +++==+≤--，

从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.

9．已知不等式组y x

y x x a ≤??

≥-??≤?

表示的平面区域的面积为9，若点

，则

的最大值为（）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

【答案】C 【解析】【分析】【详解】

分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：

则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1

292

S a a =??=，解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，

由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

10．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤??

-≥??≥?

，则2x y y +=的最大值为（）

A ．512

B ．8

C ．256

D ．64

【答案】C 【解析】【分析】

作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m

取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】

作出可行域，如下图阴影部分所示，

令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x y y +=的最大值为256. 故选：C ．

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

11．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．

D ．

112

【答案】B 【解析】【详解】

解析：考察均值不等式2

228(2)82x y x y x y +??+=-?≥- ?

??，整理得

2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥

12．已知集合{}

230A x x x =-->，(){}

lg 11B x x =+≤，则()

R A B =I e（）

A ．{}13x x -≤<

B ．{}19x x -≤≤

C ．{}13x x -<≤

D ．{}19x x -<<

【答案】C 【解析】【分析】

解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()

R A B ?e.

【详解】

解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；

解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.

{}

13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤e，

因此，(){}

13R A B x x ?=-<≤e，故选：C. 【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

13．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞

C ．(,4]-∞

D ．[4,)+∞

【答案】C 【解析】

若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4

a x x

≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4

[4,5]x x

∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.

14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，且函数

(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式

()()222323f s s f s s -+--+?，则s 的取值范围是（）

A ．13,2??--

????

B ．[3,2]--

C ．[2,3)-

D ．[3,2]-

【答案】D 【解析】【分析】

由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于

()()222323f s s f s s -+-+-?，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求

出s 的取值范围. 【详解】

解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；

又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则(

)(

)

232323f s s f s s f s s -+--+=-+-?，所以

222323s s s s -+≥-+-，

整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】

本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.

15．已知函数1

()cos 2(2)sin 2

f x m x m x =

+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14

B ．1 C

．D

【答案】D 【解析】【分析】

2()sin (2)sin 2

f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2

y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211

2(2)31144t m m m g m y m m m

=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.

【详解】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22

m f x m x m x m x m x =

-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2

(2)2

y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111

[0,]222

m t m m -=

=-∈，所以 (

)2211

2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当

m =

时，等号成立. 故选：D 【点睛】

本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

16．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2

m 4

y x m +<-有解，则实数m 的取值

范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()

2,1-

D ．(,1)(2,)-∞-+∞U

【答案】D 【解析】【分析】

将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +

<-有解，即2()4

min y

m m x ->+即可， 142x y +=Q

，12

12x y

∴+=，则

121221112121124422482

y y x y x x x y y x ????+

=++=+++≥+=+=+?=+= ? ?????，

当且仅当28x y y x

=，即22

16y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =，即()24

min y

x +

=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，

即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-?+∞，故选D ．【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．

17．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥??≥?

?-+≥??+≤?所表示的平面区域内的两个不同的点，则

||MN 的最大值是（）

A ．17

B ．

342

C ．32

D ．

172

【答案】A 【解析】【分析】

先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】

作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.

【点睛】

18．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2

():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.

给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程

()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是

( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④

【答案】B 【解析】【分析】

利用基本不等式得2

4x y +≤，可判断②；22

4x y +=和()

2216x y x y +=联立解得

222x y ==可判断①③；由图可判断④.

【详解】

()

223

222

16162x y x

x y ??++=≤ ???

，

解得2

4x y +≤（当且仅当22

2x y ==时取等号），则②正确；将2

4x y +=和()

2216x y x y +=联立，解得222x y ==，

即圆2

4x y +=与曲线C 相切于点

2,2，(2,2-，(2,2，

2,2-，

则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

19．已知正数x ，y 满足14

4x y

+=，则x y +的最小值是（） A ．9 B ．6

C ．

D ．

【答案】C

【解析】【分析】先把x y +转化成1

14()4x y x y ??+?+ ??

，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】

Q 正数x ，y 满足

4x y

+=， 11414149

()14524444y x y x x y x y x y x y x y ??????∴+=+?+=++++?= ? ? ? ???????

…，当且仅当4144

y x

x y

?=??

??+=??，即34x =，32y =时，取等号.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.

20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（） A ．2 B ．4

C ．6

D ．7

【答案】B 【解析】【分析】

根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】

将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：

长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，

解得R =

，所以体对角线为，

所以2

8x y z ++=，

111222

S yz xy xz =

++侧面积由于()()()()

240x y z

S x y y x x z ++-=-+-+-≥，

所以416S ≤，故4S ≤，

即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B. 【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

2019届高三数学第三次模拟考试题(四)理

1 2019届高三第三次模拟考试卷理科数学（四）注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i 1i +等于（） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（） A ． π6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 3．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a = ，b =， π 6A =，则B =（） A ． π6 B ． π3 C ． π6或5π6 D ． π3或2π 3 4．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（） A ． 328 B ． 332 C ． 532 D ． 556 5．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（） A ．24 π + B ．12 π- C ．14π- D ．13 6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（） A ．12k ≤ B ．11k ≤ C ．10k ≤ D ．9k ≤ 7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（） A B ． C ．D ．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（） A B C ．13 D ． 3 10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元，则n 的值为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号