高一数学(必修4)：第五章平面向量

重点

名称 重要指数 重点1

平面向量的概念及线性运算 ★★★ 重点2

平面向量的基本疋理及坐标表示 ★★★★ 重点3

平面向量的数量积 ★★★★

重点详解:

1. 向量的有关概念

⑴向量：既有 ________________ 又有 _____________ 的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的

___________ (或称模).鬲的模记作 __________________ .

(2) 零向量： ______________ 的向量叫做零向量，其方向是 _____________ 的.

(3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量?厂%是一个与a 同向的 1 a|

________ ，任一组平行向量都可以移到同一直线上.

规定：0与任一向量 _________________ . ⑸相等向量：长度 _______________ 且方向 ___________ 的向量叫做相等向量.

(6) 相反向量：长度 ______________ 且方向 ______________ 的向量叫做相反向量.

(7) 向量的表示方法：用 __________ 表示； 用 _____________ 表示； 用 ________ 表示.

2. 向量的加法和减法

(1) 向量的加法

三角形法则：以第一个向量 a 的终点A 为起点作第二个向量 b ,则以第一个向量 a 的起点0为

________ 以第二个向量 b 的终点B 为 _____________ 的向量0B 就是a 与b 的 __________ (如图1).

重点列表:

个与a ________ 的单位向量.

(4)平行向量：方向 _______________ 或 _________ 的 向量叫做平行向量.平行向量又叫

A 为起点的两个已知向量 a , b 为邻边作？ABCD 则以A 为起点的

就是a 与b 的和(如图2).在图2中，B C= AD = b ,因此平行四边形法则是三角形

法则的另一种形式.

加法的运算性质:

(交换律); a + 0 =

(2) 向量的减法

已知向量a , b ,在平面内任取一点 Q 作OA= a , OB= b ,则BA= _________________ ，即a — b 表示

从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图).

3. 向量的数乘及其几何意义

(1) _______________________________________________________ 定义：实数 入与向量a 的积是

一个向量，记作 ______________________________________________________ ，它的长度与方向规定如

下：

① |入a | = ______________ ;

② 当入＞0时，入a 与a 的方向 _______________ ；

当入＜0时，入a 与a 的方向 _________________ ；

当X = 0时，入a= ___________________ .

⑵运算律：设 X ,卩€ R,则：

① 入(a ) = ________________ ;

② (X + i ) a= __________________ ;

推广：AA+ A 2A 3+ ,

+ 平行四边形法则：以同一点 a + b =

(a + b ) + c = (结合律);

=a . A n l A n

图2

图1

B

③X (a+ b) = _______________ .

4. 两个向量共线定理

向量a(a^ 0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得_______________ .

【答案】

1. (1)大小方向长度

⑵长度为0任意

(3) 1个单位长度单位向量方向相反

⑷相同相反非零共线向量平行

⑸相等相同(6)相等相反

⑺字母有向线段坐标

2. (1)起点终点和AA对角线AC b+ a

a+ (b + c) 0 + a (2) a- b

3. (1)入a ①|入|| a|②相同相反0

(2) ①(入a) ②入a + a ③入a+入b

4. b=入a

重点1：平面向量的概念及线性运算

【要点解读】

1. 要准确理解向量的概念，须特别注意以下几点：

(1) a// b,有a与b方向相同或相反两种情形；

⑵向量的模与数的绝对值有所不同，如| a| = |b|a=± b；

(3) 零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；

(4) 对于任意非零向量a,厂牛是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；

| a|

(5) 向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；

⑹只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a,平移后的向量与a相等.

2. 向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.

3. 平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算，在学习的时候要注意它们的联系与区别.

【考向1】向量的基本概念

【例题】下列五个命题：

① 温度有零上和零下之分，所以温度是向量;

② 向量b ,则a 与b 的方向必不相同；

③ | a | >| b |，则 a >b ；

④ 向量ABWCD 是共线向量，贝U A , B, C, D 四点共线；

⑤ 方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南 40°的向量一定是平行向量.

其中正确的是（ ）

A.①⑤

B.④

C.⑤ D .②④ 解；温度虽有大小却无方向，故不是向邑①错」半,舀与五的方向可以相同，②错i 向量的氏度可以■比 较犬小，但向量不能比较大小，③错；正方形妙切中五与触线，但A, G E 四点不共线，④错；作 團易得⑤正确*故选

【评析】（1）与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓

住各概念的本质；（2）概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念

甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习； （3）课本上给出的概念（定义）都是非常准确、

简洁的，熟记这些概念（定义）并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.

【考向2】向量的线性运算

【例题】如图所示，下列结论正确的是 （

）

2 _

3 3 _3 3

_ 解：由a + b = ；P Q 知P Q= ；a + T b ,①正确；由P T = "a — _b ，从而②错误；

P S = P T + b ,故

3 2 2 2 2

3 i 3 i T 3 3 ① PQ= §a +

2b ； 「 3 1 T 3

3 ② PT = — 2a — 2b ；

—3

PFR= a

b

A.①② B .③④ C .①③ D .②④

PS= 2a—2b, ③正确；PR= PT+ 2b=尹+ ?b,④错误.故正确的为①③，故选 C.

i 3 2

3

【评析】向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的

点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题 (或用几何法解决向量问题 )

奠定了基础?对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件 进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.

重点2 :平面向量的基本定理及坐标表示

【要点解读】

1. 对平面向量基本定理的理解

(1) 平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也 是向量坐标表示的基础.

(2) 平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.

(3) 用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如

a =入G+入2氏(入1,入2€ R, e i , e 2 为同一平面内不共线的两个向量 )的形式，它是向量线性运算知识的延伸.

⑷ 如果 e i , e 2是同一平面内的一组基底，且

入i e i +入2氏=0(入i ,入2 € R)，那么 入i =入2= 0.

2. 向量的坐标表示

向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化.一个向量的

坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点

时，向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等，当且仅当其坐标相同.

【考向i 】向量共线充要条件的坐标表示

【例题】已知向量 a = (i , 2) , b = (2 , 0)，若向量 入a + b 与向量c = (i , - 2)共线，则 实数入等于(

A.— 2

B. D.