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第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)

第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)
第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)

第十章第九节条件概率、事件的独立性与二项分布

(理)

题组一条件概率

1.已知盒中装有3

现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为() A.

3

10 B.

2

9

C.7

8 D.

7

9

解析:设事件A为“第1次抽到是螺口灯泡”,事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”,

则P(A)=3

10

,P(AB)=3

10×

7

9

=21

90

=7

30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽

到卡口灯泡的概率为P(B|A)=P(AB)

P(A)

7

30

3

10

=7

9.

答案:D

2.设A、B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为

3

10,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为

1

2,则事件A发生的概率为________________.

解析:由题意知,P(AB)=

3

10

,P(B|A)=1

2

∴P(A)=

P(AB)

P(B|A)

3

10

1

2

=3

5.

答案:

3

5

3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

解析:设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发芽,又成活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为:

P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.

根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的

概率为0.72. 答案:0.72

题组二

相互独立事件

4.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,1

5.假定三人的

行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.1

60

解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13,14,1

5.因此,他们不去北京旅游的概率

分别为23,34,45,所以,至少有1人去北京旅游的概率为P =1-23×34×45=35.

答案:B

5.如图所示的电路,有a ,b ,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是1

2,且

是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为 ( ) A.18 B.14 C.12 D.116

解析:理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件A ,“b 闭合”为事件B ,“c 闭合”为事件C ,则灯亮应为事件AB -

C ,且A ,C ,B 之间彼此独立,且P (A )=P (B )=P (C )

=12,所以P (AB - C )=P (A )·P (B )·P (C )=18

. 答案:A

6.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.

(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解:(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则

P (A )=C 26C 14+C 3

6C 310=23.

P (B )=C 28C 12+C 38C 310

=1415.

(2)因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (A -B -

)=P (A -

)P (B -

)=(1-23)(1-1415)=1

45

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P =1-P (A -·B -

)=1-145=44

45

.

7.( )

A.81125

B.54125

C.36125

D.27125 解析:所求的概率为C 230.62×0.4+C 330.63=0.648=81125. 答案:A

8.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是1

2,质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率

是 ( ) A .(12)3 B .C 25(12)5 C .C 35(12)3 D .C 25C 35(12

)5 解析:质点由原点移动到(2,3),需要移动5次,且必须有2次向右,3次向上,所以质点的移动方法有C 25种,而每一次移动的概率都是12,所以所求的概率等于C 2

5(12)5

. 答案:B

9.2009年12月底,一考生参加某大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有4道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34

. (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率;

(2)若该考生至少正确作出3道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测试的概率.

解:(1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i =1,2,3,4),则P (A i )=3

4,由于每一道

题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率为

P (A 1A 2A 3)=P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) =34×34×14=964

.

(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ,则这名考生至少正确做出3道题,即正确做出3道题或4道题,

故P (B )=C 34×(34)3×14+C 44×(34)4=189256.

10.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为65

81,则

事件A 在1次试验中出现的概率为________.

解析:A 至少发生一次的概率为65

81,则A 的对立事件A :事件A 都不发生的概率为1

-6581=1681=(23)4,所以,A 在一次试验中出现的概率为1-23=13. 答案:13

11.某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数及频

率如下表:

(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是多少?

(2)全线途经10个停靠点,若有2个以上(含2个),乘客人数超过18人的概率大于0.9,公交公司就要考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗?

解:(1)每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约为0.1+0.15+0.25+0.20=0.7.

(2)从每个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5, 途经10个停靠点,没有一个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率为(1-1

2)10,

途经10个停靠点,只有一个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率C 110(12)1(1-12)9

. 所以,途经10个停靠点,有2个以上(含2个)停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率

P =1-(1-12)10-C 110(12)1(1-12)9 =1-1210-529=1 0131024

>0.9.

∴该线路需要增加班次.

12.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和3

4.假设两人射击是否击中目标相互

之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;

(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;

(3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?

解:(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意,射击4次,相当于作4次独立重复试验. 故P (A 1)=1-P (A 1)=1-(23)4=65

81

所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为65

81

.

(2)记“甲射击4次,恰有2次击中目标”为事件A 2,“乙射击4次,恰有3次击中目标”为事件B 2,则

P (A 2)=C 24×(23)2×(1-23)4-2=8

27, P (B 2)=C 34

×(34)3×(1-34)4-3=2764. 由于甲、乙射击相互独立,故 P (A 2B 2)=P (A 2)·P (B 2)=827×2764=1

8

.

所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1

8.

(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3,“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i =1,2,3,4,5),则

A 3=D 5D 4·D 3·(D 2D 1), 且P (D i )=14

.

由于各事件相互独立,故

P (A 3)=P (D 5)·P (D 4)·P (D 3)·P (D 2D 1)

=14×14×34×(1-14×14)=451 024

. 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.

条件概率与独立性

()()()()()()()()1012+C AB A P AB n P B A P A n P B A B C P B C A P B A P A ?????==????≤≤?????=???定义:对于两个事件A 和B ,在已知事件A 发生 的条件下,事件B 发生的概率。 公式:古典概型条件概率、性质、若事件、互斥,则有 条件概率题型: 题型一:根据公式换算求概率 ()()()()11,,23P B A P A B P A P B ===求(P(B)=1/3) 若P (A )=34,P (B |A )=12 ,则P (AB )等于 ( 3/8 ) 题型二:求条件概率 ()()()P AB P B A P A ?=???? 公式法:条件概率求解基本事件法:确定新的基本事件空间 1、公式法:由条件概率公式 ()()()P AB P B A P A =,分别求出()P AB 和()P A ,代入即可;公式法适用于所有条件概率问题;如例1 2、基本事件法:确定满足已知条件事件A 的基本事件数,确定新的基本事件 空间。基本事件法适用于解决与古典概型或几何概型相关的条件概率问题,比公式法方便,尤其是解决对于有次序的条件概率问题,如例2 用两种方法求解下列问题: 例1、 (公式法)盒中装有形状,大小完全相同的5个球,其中红色球3个, 黄色球2个,若从中随机取出2个球,已知其中一个为红色,则另一个为黄色的概率为( )

A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 例2、(基本事件法)袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球,不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出的也是红球的概率为() A.5 9 B. 4 9 C. 2 9 D. 2 3 例3、(基本事件法)有一匹叫Harry的马,参加了100场赛马比赛,赢了20场,输了80场.在这100场比赛中,有30场是下雨天,70场是晴天.在30场下雨天的比赛中,Harry赢了15场.如果明天下雨,Harry参加赛马的赢率是(1/2) 解答:此题所求就是Harry在雨天赛马赢的概率即 151 302 P== 例4、(基本事件法)一个袋中装有7个大小完全相同的球,其中4个白球,3个黄球,从中不放回地摸4次,一次摸一球,已知前两次摸得白球, 则后两次也摸得白球的概率为___1 5 _____. 例5、(基本事件法)某生在一次口试中,共有10题供选择,已知该生会答其中6题,随机从中抽5题供考生回答,答对3题及格,求该生在第 一题不会答的情况下及格的概率.(25 42 ) 习题: 1.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛 出的也是偶数点的概率为 ( ) A.1 B.1 2 C. 1 3 D. 1 4 2.盒中装有形状,大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若 从中随机取出2个球,已知其中一个为红色,则另一个为黄色的概率为() A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 9 10 9 10

1.2.1条件概率与独立事件

条件概率 【问题导思】 一个家庭有两个孩子,假设男女出生率一样. (1)这个家庭一男一女的概率是多少? (2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩,这个家庭一男一女的概率是多少?【提示】 (1)12,(2)2 3 . (1)概念:已知事件B 发生的条件下,A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率,记为P (A |B ). (2)公式:当P (B )>0时,P (A |B )= P AB P B .

独立事件 【问题导思】 在一次数学测试中,甲考满分,对乙考满分有影响吗? 【提示】 没有影响. (1)定义:对两个事件A ,B ,如果P (AB )=P (A )P (B ),则称A ,B 相互独立. (2)性质:如果A ,B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立. (3)如果A 1,A 2,…,A n 相互独立,则有P (A 1A 2…A n )=P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 应用 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地 取两次,每次任取一件,试求: (1)第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率. 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型.第一问是古典概型问题;第二问是条件概率问题. 【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ,“第二次取到不合格品”为事件B . (1)P (A )=5 100 =0.05. (2)法一 第一次取走1件不合格品后,还剩下99件产品,其中有4件不合格品.于是第二次再次取到不合格品的概率为 4 99 ,这是一个条件概率,表示为P (B |A )=499 . 法二 根据条件概率的定义计算,需要先求出事件AB 的概率. P (AB )=5100×499,∴有P (B |A )=P AB P A =5100× 4995100 =499 . 1.注意抽取方式是“不放回”地抽取. 2.解答此类问题的关键是搞清在什么条件下,求什么事件发生的概率. 3.第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的,其公式为P (B |A )= n AB n A ,此法常应用于古典概型中的条件概率求法.

北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析

课时分层作业(二) (建议用时:60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.两人打靶,甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都中靶的概率是() A.0.56B.0.48 C.0.75 D.0.6 A[设甲击中为事件A,乙击中为事件B. 因为A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56.] 2.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是() A.1 10 B. 2 10 C.8 10 D. 9 10 A[某人第一次失败,第二次成功的概率为P=9×1 10×9 = 1 10,所以选A.] 3.一袋中装有5只白球和3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与A2是() A.相互独立事件B.不相互独立事件 C.互斥事件D.对立事件 A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”,即A2表示“第二次摸到的是黄球”,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球或白球互不影响,故事件A1与A2是相互独立事件.] 4.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统的可靠性是()

A .0.504 B .0.994 C .0.496 D .0.06 B [系统可靠即A ,B , C 3种开关至少有一个能正常工作,则P =1-[1-P (A )][1-P (B )][1-P (C )] =1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7) =1-0.1×0.2×0.3=0.994.] 5.2018年国庆节放假,甲去北京旅游的概率为1 3,乙,丙去北京旅游的概率分别为14,1 5.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 B [用A ,B , C 分别表示甲,乙,丙三人去北京旅游这一事件,三人均不去的概率为P (A B C )=P (A )·P (B )·P (C )=23×34×45=2 5,故至少有一人去北京旅游的概率为1-25=35.] 二、填空题 6.将两枚均匀的骰子各掷一次,已知点数不同,则有一个是6点的概率为________. 1 3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ,有一个是6点记为事件B .则P (B |A )=2×530=13.] 7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 0.98 [设A =“两个闹钟至少有一个准时响”,

事件的独立性与条件概率练习专题

事件的独立性与条件概率专题 1.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中红球有45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为( ) A .0.31 B .0.32 C .0.33 D .0.36 2.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为 ( ) A.12 B.35 C.34 D.310 3.打靶时甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34

C.1225 D.1425 4.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同,现需一个红球,甲每次从中任取一个不放回,在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为( ) A.310 B.13 C.38 D.29 5.(优质试题·济南质检)优质试题年国庆节放假,甲去北京旅游的 概率为13,乙,丙去北京旅游的概率分别为14,15 .假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 6.(优质试题·合肥月考)周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估计做对第一道题的概率为0.8,做对两道题的概率为0.6,则预估计做对第二道题的概率为( ) A .0.80 B .0.75 C .0.60 D .0.48 7.从应届毕业生中选拔飞行员,已知该批学生体型合格的概率为13 ,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15 ,从中任选一名学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( )

概率 2 条件概率与相互独立事件

概率 2 条件概率与相互独立事件 基础梳理 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号P (B |A )来表示,其公式为P (B |A )= P (AB ) P (A ) . 在古典概型中,若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数,则P (B |A )=n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质: ①0≤P (B |A )≤1; ② 如果B 和C 是两互斥事件,则P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件A 、B ,若A 的发生与B 的发生互不影响,则称A 、B 是相互独立事件. (2)若A 与B 相互独立,则P (B |A )=P (B ), P (AB )=P (B |A )·P (A )=P (A )·P (B ). (3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. (4)若P (AB )=P (A )P (B ),则A 与B 相互独立. 基础训练 1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ). A.34 B.23 C.35 D.12 2.如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统,当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( ). A .0.960 B .0.864 C .0.720 D .0.576

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1.(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A .0.85 B .0.819 2 C .0.8 D .0.75 2.(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 3.(2011·湖北高考)如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( ) A .0.960 B .0.864 C .0.720 D .0.576 4.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个数均为偶数”,则P (B |A )=( ) A.18 B.14 C.25 D.1 2 5.(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是1 2 ,构造数列{a n },使得a n = ????? 1 (第n 次抛掷时出现正面),-1 (第n 次抛掷时出现反面), 记S n =a 1+a 2+…+a n (n ∈N *),则S 4=2的概率为( ) A.116 B.18 C.1 4 D.1 2 6.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ,则该队员每次罚球的命中率为________. 8.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性 1. 条件概率及其性质 (1)条件概率的定义:设A 、B 为两个事件,且P(A)>0,称P(A|B)= 为在 发生的条件下, 发生的概率。 2.相互独立事件:事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做 . 若A 与B 是相互独立事件,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立. 3.相互独立事件同时发生的概率:()()()P A B P A P B ?=? 4.互斥事件与相互独立事件是有区别的: 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件,相互独立的两个事件是在两次试验中得到的,注意区别。 如果A 、B 相互独立,则P (A +B )=P (A )+P (B )-P (A ?B ) 如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99) 5.独立重复试验 (1)独立重复试验的定义: (2)n 次独立重复试验的概率公式: 三、基础再现 1.一学生通过英语听力测试的概率是2 1 ,他连续测试两次,那么其中恰好一次通过的概率是 ( ) A. 41 B. 31 C. 21 D. 4 3 2.已知,53 )(,103)(==A P AB P 则)|(A B P 等于 ( ) A. 50 9 B. 21 C. 109 D. 41 3.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为( ) A . 125 81 B . 125 54 C . 125 36 D . 125 27 4.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A. p 1p 2 B.p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1) C.1-p 1p 2 D.1-(1-p 1)(1-p 2) 5.(浙江)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0.216 (B)0.36 (C)0.432 (D)0.648 6.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为21,乙生解出它的概率为3 1 ,丙生解出它的概率为 4 1 ,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______.

2019年北师大版数学选修1-2练习(第1章)条件概率与独立事件(含答案)

2019年北师大版精品数学资料 条件概率与独立事件 同步练习 【选择题】 1、一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,第一次 取后不放回.则若已知第一只是好的,第二只也是好的概率为( ) A .53 B .52 C .95 D .3 1 2、袋中有2个白球,3个黑球,从中依次取出2个,则取出两个都是白球的概率 ( ) A .53 B .101 C .31 D .5 2 3、某射手命中目标的概率为P ,则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为 ( ) A .P 3 B .(1-P)3 C .1-P 3 D .1-(1-P)3 4、设某种产品分两道独立工序生产,第一道工序的次品率为10%,第二道工序的 次品率为3%,生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品,则该产品的次品率是( ). A .0.873 B .0.13 C .0.127 D .0.03 5、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码,分别译出的概率为51,31,4 1,则此密码能译出的概率是 ( ) A . 60 1 B .5 2 C .5 3 D . 60 59 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击,已知至少命中一次的概率为 81 80 ,则此射手的命中率为 ( ) A .3 1 B .4 1 C .3 2 D .5 2 7、n 件产品中含有m 件次品,现逐个进行检查,直至次品全部被查出为止.若第 n-1次查出m-1件次品的概率为r ,则第n 次查出最后一件次品的概率为( ) A .1 B .r-1 C .r D .r +1 8、对同一目标进行三次射击,第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4, 0.5和0.7,则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 ( ) A .0.36 B .0.64 C .0.74 D .0.63 【填空题】 9、某人把6把钥匙,其中仅有一把钥匙可以打开房门,则前3次试插成功的概率 为 __. 10、甲乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问:

2.2.1条件概率与事件的相互独立性

2. 2.1条件概率与事件的相互独立性 教学目标:1、通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2,掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3,通过对实例的分析,会进行简单的应用 教学重点:条件概率定义的理解 教学难点:概率计算公式的应用 教学设想:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程:概念:1,对于两个事件A 与B ,如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2,如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的,简称A 与B 独立。 例1.一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从9~0中任选一个,某人在银行自 动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求 (1) 任意按最后一位数字,不超过2次就对的概率; (2) 如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率. 解:设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ,则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码. (1)因为事件1A 与事件12A A 互斥,由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2)用B 表示最后一位按偶数的事件,则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2.一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩, 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少? 解:一个家庭的两个孩子有四种可能:{(男,男)},{(男,女)},{(女,男)},{(女,女)}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种:{(男,女)},{(女,男)},{(女,女)}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况,因此所求概率为2/3. 例3.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是6.0,计算: (1)两人都投中的概率;(2)其中恰有一人投中的概率;(3)至少有一人投中的概率. 解:(1)“两人各投一次,都投中”就是事件AB 发生,因此所求概率为 P ( AB )=P (A )P (B )=0.6×0.6=0.36 (2)分析:“两人各投一次,恰有一人投中”包括两种情况:甲投中,乙未投中;甲未击中,乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。

条件概率与事件的独立性练习题

条件概率与事件的独立性练习题 1.如图所示的电路,有a ,b ,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是12 ,且 是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为( ) A.18 B.14 C.12 D.116 2、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率 为( ) A.81125 B.54125 C.36125 D.27125 3、一学生通过英语听力测试的概率是21,他连续测试两次,那么其中恰好一次通过的概率 是() A. 41 B. 31 C.21 D.4 3 4.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为() A .12581 B .1255 4 C .12536 D .125 27 5、甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0.216 (B)0.36 (C)0.432 (D)0.648 6.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

7.2009年12月底,一考生参加某大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有4道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34 . (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少正确作出3道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测试的概率.

条件概率与独立事件

条件概率与独立事件 【要点梳理】 要点一:条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件,求已知B 发生的条件下,A 发生的概率,称为B 发生时A 发生的条件概率,记为()|P A B ,读作:事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释: 我们用韦恩图能更好的理解条件概率,如图,我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率,那么由条件概率的概率,我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率,几何直观上,()|P A B 相当于B 在A 内的那部分(即事件AB )在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释: (1)对于古典(几何)概型的题目,可采用缩减样本空间的办法计算条件概率: 古典概型:(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数,即()() card (|)card AB P AB B =; 几何概型:(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . (2)公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系,常常用于知二求一,即要熟练应用它的变形公式如,若()P B >0,则()()()=|P AB P A P B A ,该式称为概率的乘法公式. (3)类似地,当()0P A >时,A 发生时B 发生的条件概率为:()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 (1)非负性:()|0P A B ≥; (2)规范性:()|=1P B Ω(其中Ω为样本空间); (3)可列可加性:若两个事件A 、B 互斥,则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别: 当()0P B >时,()()() |= P A B P A B P B I .

条件概率与独立性

§4 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 二、全概率公式,贝叶斯(Bayes)公式 三、事件独立性 四、贝努里概型 补充和注记 习 题 一、条件概率 任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的,在这些基本条件下某个事件A 的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件,所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B 发生. 条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间 (,,)P ΩF ,并希望知道某一事件A 发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果,但往往会掌握一些与事件A 相关的信息,这对我们的判断有一定的影响. 例如,投掷一均匀骰子,并且已知出现的是偶数点,那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地,在已知另一事件B 发生的前提下,事件A 发生的可能性大小不一定再是()P A . 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率(conditional probability),记作(|)P A B . 在某种情况下,条件的附加意味着对样本空间进行压缩,相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算. 例1 盒中有球如右表1-2. 任取一球,记A ={取得蓝球},B ={取得玻璃球}, 显然这是古典概型. Ω包含的样本点总数为16,A 包含的样本点总数为11,故 11 ()16P A =. 表1-2

如果已知取得为玻球,这就B 是发生条件璃下A 发生的条件概率,记作(|)P A B . 在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”,也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数,故 42(|)63P A B ==. 一般说来,在古典概型下,都可以这样做.但若回到原来的样本空间,则当()0P B ≠,有 (|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数 = 在发生的条件下样本点数 包含的样本点数=包含的样本点数 AB P AB B P B 包含的样本点数/总数()==包含的样本点数/总数(). 这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义. 定义1 对任意事件A 和B ,若()0P B ≠,则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”,记作P(A | B),定义为 (|)P AB P A B P B () =(). (1) 反过来可以用条件概率表示A 、B 的乘积概率,即有乘法公式 若()0P B ≠,则()()(|)P AB P B P A B =, (2) 同样有 若()0P A ≠,则()()(|)P AB P A P B A =. (2)' 从上面定义可见,条件概率有着与一般概率相同的性质,即非负性,规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算,只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成. 两个事件的乘法公式还可推广到n 个事件,即 312121(|)(|) n n P A A A P A A A A -? (3)

条件概率与事件的独立性练习

条件概率与事件的独立性练习: 一、条件概率 1.已知P(B|A)=10 3,P(A)=5 1,则P(AB)=( ) A .2 1 B.2 3 C .32 D.50 3 2、一个袋中有9张标有1,2,3,…,9的票,从中依次取两张,则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率( ) A.5 2 B.5 1 C.2 1 D. 7 3 3、在某次考试中,从20道题中随机抽取6道题,若考生至少能答对其中的4道即可通过;若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率. 一、 事件的独立性 实质:P(B|A)=P(B) 。因此) () ()(A P AB P B P ,所以 P(AB)=P(A)·P(B). 注意两点:(1)当A 与B 相互独立时,A 与B 、A 与B 、A 与B 之间也是相互独立的; (2)公式可推广到多个相互独立事件。 1、典型的串并联电路问题: (1) 如图1,当元件A 和B 都正常工作时,系统正常工作。

如果元件A和B正常工作的概率依次为0.9和0.8,当系统正常工作的概率是多少?

(2) 如图2,当元件A 和B 至少有一个正常工作时,系统 正常工作。如果元件A 和B 正常工作的概率依次为0.9和0.8,当系统正常工作的概率是多少? 图1 B A 图2 B A (3)(2011湖北)如图,用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 A .0.960 B .0.864 C .0.720 D .0.576 2、甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A .1 2 B .35 C .23 D .3 4

条件概率与独立事件教案

2.1条件概率与独立事件(一) 丹凤县竹林关中学兰栋霞 ●学情分析 高二学生在高一阶段已经学习了古典概型、几何概型,对于概率知识有了一定的认识,为条件概率与独立事件的学习,奠定了一定的理论基础。 ●三维目标 1.知识与技能 (1)通过具体情境了解条件概率的概念,能利用条件概率分析和解决简单的实际问题. (2)掌握求条件概率的两种方法. 2.过程与方法 在对条件概率的学习过程中,进一步培养学生准确把握随机事件,掌握利用概率的知识,分析解决实际问题的方法.3.情感、态度与价值观 通过利用概率知识解决简单的实际问题,进一步体会和感受数学知识在生活中的应用,培养随机意识. ●重点难点 重点:求条件概率的方法,利用条件概率分析和解决简单的实际问题. 难点:对条件概率的概念的理解. ●教学方法 主要采取教师启发、讲授和学生探究、练习相结合的方法

●教学过程: 一、知识回顾 1.古典概型的概念: 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率计算公式: 二、实例探究 100个产品中有93个产品的长度合格,90个产品的质量合格,85个产品的长度、质量都合格。现在任取一个产品,若已知它的质量合格,那么它的长度合格的概率是多少? 分析:令A={产品的长度合格} ,B={产品的质量合格},那么A ∩B={产品的长度、质量都合格} 现任取一个产品,已知它的质量合格(即B 发生),则它的 长度合格(即A 发生)的概率是9085 思考:这个概率与事件A 、B 发生的概率有什么关系么? 三、精讲点拨 求B 发生的条件下,A 发生的概率,称为B 发生时A 发生的条件概率,记为 。 n m A A P ==试验的所有可能结果数包含的可能结果数事件)(当 时 ,其中 可记为 0 )(>B P )()()(B P B A P B A P ?=B A I AB )(B A P 类似地,当 时, ,此即为A 发生时B 发生的条件概率。 0)(>A P )()()(A B P AB P A P =

5知识讲解 条件概率与独立事件 提高

条件概率与独立事件 【学习目标】 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.通过实例探究条件概率计算公式的推导过程和事件独立性的概念,学会判断事件独立性的方法. 3.通过本节的学习,体会数学来源于实践又服务于实践,发展数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一:条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件,求已知B 发生的条件下,A 发生的概率,称为B 发生时A 发生的条件概率,记为()|P A B ,读作:事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释: 我们用韦恩图能更好的理解条件概率,如图,我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率,那么由条件概率的概率,我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率,几何直观上,()|P A B 相当于B 在A 内的那部分(即事件AB )在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释: (1)对于古典(几何)概型的题目,可采用缩减样本空间的办法计算条件概率: 古典概型:(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数,即()() card (|)card AB P AB B =; 几何概型:(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . (2)公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系,常常用于知二求一,即要熟练应用它的变形公式如,若()P B >0,则()()()=|P AB P A P B A ,该式称为概率的乘法公式. (3)类似地,当()0P A >时,A 发生时B 发生的条件概率为:()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 (1)非负性:()|0P A B ≥; (2)规范性:()|=1P B Ω(其中Ω为样本空间); 当()0P B >时,()()() |= P A B P A B P B .

§12.7 条件概率与事件的独立性汇总

第十二章 统计与概率 §12.7 条件概率与事件的独立性 【知识回顾】 1.条件概率及其性质 (1)相互独立的定义:事件A 是否发生对事件B 发生的概率__________,即__________这时,称两个事件A , B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式: 3.(1)独立重复试验: ①定义:在__________条件下,__________做n 次试验,各次试验的结果__________,那么一般就称它们为n 次独立重复试验. ②概率公式:在一次试验中事件A 发生的概率为p ,则n 次独立重复试验中,事件A 恰好发 生k 次的概率为P n (k )=C k n p k (1-p ) n - k (k =0,1,2,…,n ). (2)二项分布:在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数 第170页设为X ,事件A 不发生的概率为q =1-p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X =k )=__________,其中k =0,1,2,…,n .于是X 的分布列: 若X ~B (n ,p ),则E (X )=np ,D (X )=npq . 参考答案:1.事件A 发生,事件B 发生,P (B |A ),P (A ),A ∩B 2.(1)没有影响,P (B |A )=P (B ). 3.(2)概率公式:P (A )×P (B ),P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ) 3.(1)①相同的,重复地,相互独立, (2)C k n p k q n - k ,C 0n p 0q n C 1 n pq n -1 C n n p n q X ~B (n ,p ).

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率(教案) 知识点: 1.掌握条件概率的定义和公式,会运用条件概率解决问题; 2.了解事件的独立性的意义,会求相互独立事件同时发生的概率。 (一)课标解读及教学要求: 了解互斥事件、对立事件的概念,能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件;了解两个互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为1的结论,会用相关公式进行简单的概率计算。 考点: 1.互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件. 一般地:如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 2.互斥事件的概率求法 如果事件A ,B 互斥,那么事件B A +发生的概率,等于事件A ,B 分别发生的概率的和,即)()()(B P A P B A P +=+. 一般地,如果事件n A A A ,,,21 两两互斥,则 )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ . 3.对立事件 对立事件的概念说明: 从盒中任意摸出一个球,若摸出的球不是红的,即事件A没发生,记作A . 由于事件A和事件A 不可能同时发生,它们是互斥事件.又由于摸出的一个球要么是红球,要么不是红球,即事件A和事件A 必有一个发生象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件. 两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A . 对立事件A 和A 必有一个发生,故A A +是必然事件,从而1)()()(=+=+A P A P A A P . 因此,我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=. 思考:对立事件和互斥事件有何异同? 对立事件必然是互斥事件,但是互斥事件不一定是对立事件。 4.条件概率 在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P . 定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称 ) ()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地,把)(B P 称为无条件概率。一般地,)|(A B P )(B P ≠.

条件概率与事件的独立性

1.【2012高考真题广东理17】(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中x 的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的分布列。 2.在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别 为x 、y ,记ξ=|x -2|+|y -x |. (1)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率; (2)求随机变量ξ的分布列. 3.(12分)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23 . (1)求该高中获得冠军个数X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分η的分布列. 4.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立 的,并且概率都是13 . (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X 的分布列; (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y 的分布列.

§2.2.1&2.2.2条件概率与事件的独立性 知识点一.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫作条件概率,用符号P (B |A )来 表示,其公式为P (B |A )=P (AB )P (A ) (P (A )>0). 在古典概型中,若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数,则P (B |A )=n (AB )n (A ) . (2)条件概率具有的性质: ①0≤P (B |A )≤1; ②如果B 和C 是两个互斥事件,则P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ). 二、典型例题 例1.一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )等于 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 例2.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率是0.4,现有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少? 例3.在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到 不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________. 例4. 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是

条件概率独立事件习题

. 条件概率与独立事件习题课 1.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点 数之和大于8”则P(B|A)的值为() A.B.C.D. 2.从1~9这9个正整数中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事 件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=() A.B.C.D. 3.10件产品中有5件次品,从中不放回的抽取2次,每次抽1件,已知第一次抽出的是 次品,则第二次抽出的是正品的概率() A.B.C.D. 4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和P,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则P值为()A.B.C.D. 5.若甲以10发8中,乙以10发6中,丙以10发7中的命中率打靶,三人各射击一次,则三人中只有一人命中的概率是. 二.解答题 6.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量. (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列. (3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.(删)7.2013年12月21日上午10时,省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应,正式实施机动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁)[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 频数510151055 赞成人数469634 (Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列

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