2020年浙江省高考数学模拟试卷(16)
2020年浙江省高考数学模拟试卷（16）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3
B ．6i
C ．±3
D ．6
2．（5分）已知向量a →
=(1，3)，b →
=(4，m)，且(a →
?b →
)⊥a →
，则向量a →
与b →
夹角为（ ） A ．π
3
B ．π
6
C ．π
4
D ．π
2
3．（5分）已知sin α+cos α=12，α∈（0，π），则1+tanα1?tanα
=（ ）
A ．
√7
7
B ．?√7
7
C ．
√33
D ．?√3
3
4．（5分）i 2020＝（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
5．（5分）已知三角形ABC ，那么“|AB →
+AC →
|＞|AB →
?AC →
|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（5分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sin A +cos A =√3?1
2
，a ＝7，3sin B
＝5sin C ，则b +c 的值为（ ） A ．12
B ．8√3
C ．8√2
D ．8
7．（5分）已知向量a →
=（1，3），b →
=（3，2），则向量a →
在向量b →
上的投影等于（ ） A ．
9√1010
B ．9
C ．﹣3
D ．
9√1313
8．（5分）函数f(x)=(x?1
x+1)e x 的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 中点，BA →
=1
2BQ →
，向量PD →
?PQ →
=（ ） A ．1
B ．5
C ．7
D ．﹣13
10．（5分）已知tan(α?π
6)=2√3，则sinα
sin(α+π
3
)
=（ ）
A ．5
2
B ．7
2
C ．?√3
2
D ．
3√32
11．（5分）在△ABC 中，BA →
?AC →
|AB →|
+
AC →
?BC →
|BC →|
=0，
BC
→
|BC →
|?
BA
→|BA →
|
=1
2
，则△ABC 为（ ）
A ．直角三角形
B ．三边均不相等的三角形
C ．等边三角形
D ．等腰非等边三角形
12．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →
+AC →
?DA →
=（ ） A ．2AC →
B ．0
C ．2A
D →
D ．2BD →
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若复数z 满足z
i =2+i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．
14．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=4CD →，若AD →
=λ
2
AB →
+μ4
AC →
，则λ+μ＝ ． 15．（5分）在△ABC 中，若
tanA tanB
+
tanA tanC
=3，则sin A 的最大值为 ．
16．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，AB →
?BC →=?2，且满
足sin A +sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为 ． 三．解答题（共6小题）
17．已知复数z ＝（2+i ）m +2i
i?1（其中i 是虚数单位，m ∈R ）． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|z ﹣1|的取值范围．
18．已知角α为第一象限角，且sin α=√5
5． （1）求cos α，tan α的值；
（2）求
3sin(π?α)?2cos(π+α)
cos(π2
?α)
的值．
19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）已知a ＝b cos C +c sin B ，求B ；
（2）若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤π
3．
20．已知向量m →
=（sin x ，3
4
），n →=（cos x ，﹣1），设f （x ）＝2（m →+n →）?n →
（Ⅰ）若f （x ）=3
2，求x 的所有取值；
（Ⅱ）已知锐角△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），求f （A ）的取值范围．
21．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数． 1．sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17° 2．sin 218°+cos 212﹣sin18°cos12°
3．sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos55° （1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
22．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a +b ＝2c cos B ，c =√3． （1）求角C ；
（2）延长线段AC 到点D ，使CD ＝CB ，求△ABD 周长的取值范围．
2020年浙江省高考数学模拟试卷（16）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3
B ．6i
C ．±3
D ．6
【解答】解：∵z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，
∴{a 2
?9=0a +3≠0
，解得a ＝3． ∴z ＝6i ，
则复数z 的虚部为6． 故选：D ．
2．（5分）已知向量a →
=(1，3)，b →
=(4，m)，且(a →
?b →
)⊥a →
，则向量a →
与b →
夹角为（ ） A ．π
3
B ．π
6
C ．π
4
D ．π
2
【解答】解：∵向量a →=(1，3)，b →
=(4，m)，且(a →
?b →
)⊥a →
，∴（a →
?b →
）?a →
=a →2
?a →
?b →
=0， 即 a →
2=a →?b →
，即 10＝4+3m ，∴m ＝2，∴b →
=（4，2）． 设向量a →
与b →
夹角为θ，θ∈[0，π]，
则 10＝|a →
|?|b →
|?cos θ=√10?√16+4?cos θ=√10?2√5?cos θ cos θ=√22，∴θ=π
4， 故选：C ．
3．（5分）已知sin α+cos α=12
，α∈（0，π），则1+tanα1?tanα
=（ ）
A ．
√7
7
B ．?
√7
7
C ．
√33
D ．?
√3
3
【解答】解：由sin α+cos α=1
2，α∈（0，π）， 得1+2sinαcosα=14，∴2sin αcos α=?3
4， 则sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α﹣cos α=√(sinα?cosα)2=√1?2sinαcosα=√1+3
4=√7
2．
联立{sinα+cosα=1
2sinα?cosα=√72，解得sin α=1+√74，cos α=1?√74
，
tan α=
√71?7
=?4+√7
3． ∴
1+tanα1?tanα
=
1?
4+√731+
4+√73
=?
√77
． 故选：B ．
4．（5分）i 2020＝（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
【解答】解：i 2020＝i 4×505
＝（i 4）505＝1．
故选：A ．
5．（5分）已知三角形ABC ，那么“|AB →
+AC →
|＞|AB →
?AC →
|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：三角形ABC ，那么“|AB →
+AC →|＞|AB →
?AC →
|”?AB →
?AC →
＞0，可得A 为锐角．此时三角形ABC 不一定为锐角三角形． 三角形ABC 为锐角三角形?A 为锐角．
∴三角形ABC ，那么“|AB →
+AC →
|＞|AB →
?AC →
|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件． 故选：B ．
6．（5分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sin A +cos A =√3?1
2
，a ＝7，3sin B
＝5sin C ，则b +c 的值为（ ） A ．12
B ．8√3
C ．8√2
D ．8
【解答】解：∵sin A +cos A =
√3?1
2
，
∴两边平方，可得：1+sin2A =4?2√3
4，解得：sin2A =?√32
， ∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，
∴解得：A =2π
3或5π
6
（由sin A +cos A =
√3?1
2
舍去），可得：cos A =?1
2，
∵3sin B ＝5sin C ，可得：3b ＝5c ①，
∴由a ＝7，根据余弦定理可得：49＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴49＝b 2+c 2+bc ②，
∴由①②可解得：b ＝5，c ＝3，b +c ＝8． 故选：D ．
7．（5分）已知向量a →
=（1，3），b →
=（3，2），则向量a →
在向量b →
上的投影等于（ ） A ．
9√1010
B ．9
C ．﹣3
D ．
9√1313
【解答】解：a →
在b →
方向上的投影为|a →
|?cos ＜a →
，b →
＞=|a →
|?a →?b
→
|a →||b →
|
=
a →?
b →
|b →
|
=
3+613
=9√13
13．
故选：D ．
8．（5分）函数f(x)=(x?1
x+1)e x 的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：当x →﹣∞时，e x →0+，x?1x+1=1?2
x+1
→1+，所以f （x ）→0+，排除C ，D ；
因为x →+∞时，e x →+∞，x?1x+1=1?2x+1
→1+，所以f （x ）→+∞，因此排除B ， 故选：A ．
9．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 中点，BA →
=12BQ →
，向量PD →?PQ →=（ ）
A ．1
B ．5
C ．7
D ．﹣13
【解答】解：如图，以点D 为原点，以直线DC ，DA 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则据题意得，
D （0，0），P （2，1），Q （﹣2，2），
∴PD →
?PQ →
=(?2，?1)?(?4，1)=8?1=7． 故选：C ．
10．（5分）已知tan(α?π6)=2√3，则sinαsin(α+π3
)
=（ ） A ．5
2
B ．7
2
C ．?√3
2
D ．
3√32
【解答】解：∵tan(α?π
6)=2√3，
∴tanα?tan
π
6
1+tanαtan
π6
=
tanα?
√33
1+√3
3
tanα
=2√3，
解得tan α=?7√3
3
， ∴
sinα
sin(α+π3
)
=sinα
sinαcos π3
+cosαsin
π3
=
12tanα+√32
=7
2
．
故选：B ．
11．（5分）在△ABC 中，BA →
?AC →
|AB →|
+
AC →?BC →
|BC →
|
=0，
BC
→
|BC →
|?
BA
→
|BA →
|
=1
2
，则△ABC 为（ ）
A ．直角三角形
B ．三边均不相等的三角形
C ．等边三角形
D ．等腰非等边三角形
【解答】解：因为在△ABC 中，A ，B ，C ∈（0，π）
BA →
?AC →
|AB →|
+
AC →?BC →
|BC →
|
=0，
BC
→
|BC →
|?
BA
→
|BA →
|
=1
2
，
∴
?|AB →|×|AC →
|×cosA
|AB →
|
+
|CA →|×|CB →
|×cosC
|BC →
|
=0?|CA →|cos A ﹣|AC →
|coC ＝0?cos A ＝cos C ?A ＝
C ；
∵BC →
?BA →
=|BC →
|×|BA →
|×cos B =1
2|BC →|×|BA →
|?cos B =12?B =π
3； ∴△ABC 为等边三角形； 故选：C ．
12．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →
+AC →
?DA →
=（ ） A ．2AC →
B ．0
C ．2A
D →
D ．2BD →
【解答】解：∵ABCD 是平行四边形，
∴AB →
+AC →
?DA →
=AB →
+AD →
+AC →
=AC →
+AC →
=2AC →
． 故选：A ．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若复数z 满足z
i =2+i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是 √5 ．
【解答】解：∵z
i
=2+i ，
∴z ＝（2+i ）i ＝﹣1+2i ， ∴|z |=√5． 故答案为：√5．
14．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →
=4CD →
，若AD →
=λ2AB →+μ4AC →，则λ+μ＝
92
．
【解答】解：如图所示，由BC →
=4CD →
可知，B 、C 、D 三点在同一直线上，图形如下：
根据题意及图形，可得：AD →
=AC →
+CD →
=AC →
+1
4BC →=AC →
+1
4(AC →?AB →
)=5
4AC →
?1
4AB →
，
∵AD →
=λ2AB →
+μ4AC →
，∴{λ2=?14μ4=54
，解得：{λ=?12μ=5，
则λ+μ=(?1
2)+5=92
． 15．（5分）在△ABC 中，若
tanA
tanB +
tanA
tanC =3，则sin A 的最大值为 √21
5
． 【解答】解：在△ABC 中，tanA tanB
+
tanA tanC
=3，
∴sinAcosB cosAsinB
+
sinAcosC cosAsinC
=3．
∴sinA(cosBsinC+cosCsinB)
cosAsinBsinC =3，即
sinAsin(C+B)cosAsinBsinC
=3，
∴
sin 2A cosAsinBsinC
=3．
根据正弦定理得：a 2
bccosA
=3．
∴a 2＝3bc cos A ．
又根据余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴b 2+c 2﹣2bc cos A ＝3bc cos A ．
∴cosA =b 2
+c 25bc ≥2bc 5bc =2
5．
当且仅当b ＝c 时等号成立， ∴cos 2A ≥
425
． ∴1?sin 2A ≥4
25，即sin 2A ≤21
25， ∴sinA ≤
√21
5
．
故答案为：√21
5
16．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，AB →
?BC →=?2，且满
足sin A +sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为
2√3
3
． 【解答】解：因为AB →
?BC →
=accos(π?B)=?1
2
ac =?2，所以ac ＝4． 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ．
又因为sin A +sin C ＝2sin B ，所以a +c ＝2b ．所以(a+c)42
=(a +c)2?3ac ， 所以3(a+c)42=12，所以（a +c ）2＝16，所以a +c ＝4，所以b ＝2，
所以2R =b
sinB =
2sin60
0=4√33，所以R =2√3
3．
故答案为：
2√3
3
． 三．解答题（共6小题） 17．已知复数z ＝（2+i ）m +
2i
i?1
（其中i 是虚数单位，m ∈R ）． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|z ﹣1|的取值范围．
【解答】解：z ＝（2+i ）m +2i
i?1=2m +mi +2i(?1?i)
(?1+i)(?1?i)=(2m +1)+(m ?1)i ．
（1）∵复数z 是纯虚数，∴{2m +1=0
m ?1≠0
，即m =?12；
（2）z ﹣1＝2m +（m ﹣1）i ，
|z ﹣1|=√4m 2+(m ?1)2=√5m 2?2m +1=√5(m ?15)2+45≥2√55
， ∴|z ﹣1|的取值范围是[
2√5
5
，+∞)． 18．已知角α为第一象限角，且sin α=√5
5． （1）求cos α，tan α的值； （2）求
3sin(π?α)?2cos(π+α)
cos(π
2
?α)
的值．
【解答】解：（1）∵角α为第一象限角，且sin α=√5
5
，
∴cos α=√1?sin 2α=2√55，tan α=sinαcosα=1
2． （2）
3sin(π?α)?2cos(π+α)
cos(π
2
?α)
=
3sinα+2cosα
sinα
=3+2tanα=3+
2
12
=7．
19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）已知a ＝b cos C +c sin B ，求B ；
（2）若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤π
3． 【解答】（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理得：sin A ＝sin B cos C +sin C sin B ， 即sin （B +C ）＝sin B cos C +sin C sin B ， 故 cos B sin C ＝sin C sin B ， 因为 sin C ≠0， 所以 cos B ＝sin B ， 因为 0＜B ＜π，
所以 B =π4
；………………………………………………………（6分） （2）证明：因为a ，b ，c 成等比数列， 所以b 2＝ac ，
由余弦定理得 a 2+c 2﹣2ac cos B ＝ac ， 由重要不等式知：2ac ﹣2ac cos B ≤ac ， 所以cos B ≥1
2=cos π
3
，
因为 0＜B ＜π，且函数y ＝cos x 在（0，π）上是减函数，
所以B ≤π
3
． ……………………………………………………………………………（12分） 20．已知向量m →
=（sin x ，3
4
），n →=（cos x ，﹣1），设f （x ）＝2（m →+n →）?n →
（Ⅰ）若f （x ）=3
2
，求x 的所有取值；
（Ⅱ）已知锐角△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），求f （A ）的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）向量m →
=（sin x ，3
4
），n →
=（cos x ，﹣1），
可得f （x ）＝2（m →+n →）?n →
=2（sin x +cos x ，?14
）?（cos x ，﹣1） ＝2sin x cos x +2cos 2x +1
2=sin2x +cos2x +3
2 =√2sin （2x +π
4）+32，
由f （x ）=3
2可得sin （2x +π
4）＝0， 即有2x +π
4=k π，k ∈Z ， 解得x =
kπ2?π
8
，k ∈Z ； （Ⅱ）由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B 和b 2＝a （a +c ）， 可得a ＝c ﹣2a cos B ，又由正弦定理得
sin A ＝sin C ﹣2sin A cos B ，又sin C ＝sin （π﹣A ﹣B ）＝sin （A +B ）， 得sin A ＝sin （A +B ）﹣2sin A cos B ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ＝sin （B ﹣A ）， 由A ，B ∈（0，π
2），
可得A ＝B ﹣A 或A +B ﹣A ＝π（舍去），
故B ＝2A ，C ＝π﹣3A ，由于锐角△ABC ， 即0＜2A ＜π
2，0＜π﹣3A ＜π
2，
故有π
6＜A ＜π4，即有7π12
＜2A +π4＜3π
4，
即有sin （2A +π
4）∈（
√22，√6+√2
4
）， 所以f （A ）=√2sin （2A +π
4）+3
2的取值范围是（5
2
，2+√3
2）．
21．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数． 1．sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17° 2．sin 218°+cos 212﹣sin18°cos12°
3．sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos55° （1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 【解答】解：（1）sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17° ＝sin 213°+cos 2（30°﹣13°）﹣sin13°cos （30°﹣13°）
＝sin 213°+（cos30°cos13°+sin30°sin13°）2﹣sin13°（cos30°cos13°+sin30°sin13°）
=sin 213°+34cos 213°+14sin 213°+√32sin13°cos13°?√32sin13°cos13°?1
2sin 213° =34sin 213°+34cos 213°=3
4．
（2）一般规律：sin 2α+cos 2(30°?α)?sinαcos(30°?α)=3
4． 证明：sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sin αcos （30°﹣α）
＝sin 2α+（cos30°cos α+sin30°sin α）2﹣sin α（cos30°cos α+sin30°sin α） =sin 2α+34cos 2α+14
sin 2α+√3
2
sinαcosα?
√3
2
sinαcosα?12
sin 2α
=34sin 2α+34cos 2α=3
4．
22．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a +b ＝2c cos B ，c =√3． （1）求角C ；
（2）延长线段AC 到点D ，使CD ＝CB ，求△ABD 周长的取值范围．
【解答】解：（1）根据余弦定理得2a +b =2c a 2+c 2?b 2
2ac
，
整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，
由余弦定理可得cos C =a 2+b 2
?c 22ab =?ab 2ab =?1
2
， 由于C ∈（0，π）， 可得C =
2π
3
． （2）由于C =2π
3，即∠BCD =π
3，又CD ＝CB ， 可得△BCD 为等边三角形，可得BD ＝CD ＝a ， 所以△ABD 的周长L ＝2a +b +√3， 由正弦定理
a
sinA
=
b sinB
=
c sinC
=
√3
√32
=2，
所以：a ＝2sin A ，b ＝2sin B ， 因为：A =
π
3?B ， 又B ∈（0，π3
），可得cos B ∈（12
，1），
所以2a +b ＝4sin A +2sin B ＝4sin （π
3?B ）+2sin B ＝4（
√32
cos B ?1
2sin B ）+2sin B ＝2√3cos B ， 所以2a +b ∈(√3，2√3)，
所以周长L ＝2a +b +√3的取值范围是（2√3，3√3）．