二次函数与面积专题(可编辑修改word版)

3 图 1 图 2

重庆市巴川中学初 2019 级九上数学专题训练三

——二次函数与面积问题

班级

姓名 等级

题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．

例 1、定义：如图 1，抛物线 y=ax 2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A ，B 两点，点 P 在抛物线上（点 P 与 A ，B 两点不重合），如果△ABP 的三边满足 AP 2+BP 2=AB 2，则称点 P 为抛物线 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的勾股点．

（1） 直接写出抛物线 y=-x 2+1 的勾股点的坐标；

（2） 如图 2，已知抛物线 C ：y=ax 2+bx(a≠0)与 x 轴交于 A ，B 两点，点 P(1, )是抛物线 C 的

勾股点，求抛物线 C 的函数表达式；

（3） 在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 S △ABQ ＝S △ABP 的点 Q （异于点 P ）的

坐标．

练习 1. 如图，已知抛物线y =-x 2+ 2x + 3 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点．

（1）直接写出点A、B、C、D 的坐标，并求出S△ABD；

（2）求出直线BC 的解析式；

（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P 点坐标．

题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大

例2. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx-3 与 x 轴交于 A 、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C ， 其中 A 点的坐标是(-1,0)，C 点坐标是(-4,-3)．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若点 E 是位于直线 AC 的上方抛物线上的一动点，试求△ACE 的最大面积及 E 点的坐标；

（3） 在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点 E 的 P 点，使 S △PAC ＝S △EAC ，若存在，求

出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

变式：在抛物线上是否存在点 P ，使 S △PAC ＝S △ABC ，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

26题图

[练习]1.如图, 已知抛物线y= 1

x 2+bx+c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），

2

点 C 的坐标为（0，-1）.

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE ⊥x 轴于点 D ，连结 DC ，当△DCE 的面积最大时，

求点 D 的坐标；

（3） 在直线 BC 上是否存在一点 P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，

说明理由.

y

x

D B

o

A

E

C

26题图

y

x

2. 在平面直角坐标系 xoy 中，规定：抛物线 y=a(x-h)2+k 的伴随直线为 y=a(x-h)+k.例如：抛物线

y=2(x+1)2-3 的伴随直线为 y=2(x+1)-3，即 y=2x-1

（1） 在上面规定下，抛物线 y=(x+1)2-4 的顶点为 .伴随直线为

；抛物线

D B

o

A

E

C

y=(x+1)2-4 与其伴随直线的交点坐标为和；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m 与其伴随直线相交于点A,B (点A 在点B 的右侧)与x 轴交于点C，D．

①若∠CAB＝90°求m 的值；

27②如果点P(x,y)是直线BC 上方抛物线的一个动点，△PBC 的面积记为S，当S 取得最大值

4 时，求m 的值.

3.抛物线y=ax2+bx+3 经过点A(1,0)和点B(5,0)．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线y=0.6x2+3 相交于C、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M、N,连结PC、PD，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使S△QCD=S△PCD，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5 交y 轴于点A，交x 轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A 作AD∥x 轴交抛物线于点D．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积；

（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．

题型三：抛物线中，以面积为条件的几何问题

例3.如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C，D 在抛物线上．设A（t，0），当t=2 时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

练习3:1.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，OB=OC=3，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．

（1）求b，c 的值；

（2）如图1，连BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′恰好在线段BE 上，求点F 的坐标；

（3）如图2，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象的顶点坐标为（2，﹣9），该函数的图象与y 轴交于点A（0，﹣5），与x 轴交于点B，C

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求点B 的坐标；

（3）过点A 作AD∥x 轴，交二次函数的图象于点D，M 为二次函数图象上一点，设点M 的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M 作MN∥y 轴，交AD 于点N，连接AM，MD，设△AMD 的面积为s．

①求s 关于m 的函数解析式；

②判断出当点M 在何位置时，△AMD 的面积最大，并求出最大面积．

3.二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象交y 轴于C 点，交x 轴于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），点A、点B 的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0 的两个根．

（1）求出点A、点B 的坐标及该二次函数表达式．

（2）如图2，连接AC、BC，点Q 是线段OB 上一个动点（点Q 不与点O、B 重合），过点Q 作QD∥AC 交于BC 点D，设Q 点坐标（m，0），当△CDQ 面积S 最大时，求m 的值．

（3）如图3，线段MN 是直线y=x 上的动线段（点M 在点N 左侧），且MN=，若M 点的横坐标为n，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q．以

点P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n 的值；若不能，请说明理由．

4.如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y 轴交于点B（0，1），F 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PM⊥x 轴于点M，交直线CF 于点H，设点P 的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 在直线CF 下方的抛物线上，用含m 的代数式表示线段PH 的长，并求出线段PH 的最大值及此时点P 的坐标；

（3）当PF﹣PM=1 时，若将“使△PCF 面积为2”的点P 记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF 的周长最小的点P 也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF 的周长最小时“巧点”的坐标．

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积 例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间 练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值； 若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。 当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

浅谈与二次函数有关的面积问题

实际问题与二次函数 柘城县牛城一中李中凯 一、知识和能力 能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积 二、过程和方法 通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 三、情感态度和价值观 由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。 加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。 四、教学重点和难点 重点：选择方法求图形面积 难点：如何割补图形求面积 教学方法 启发式、讨论式 教学用具： 多媒体课件 五、教学过程： 与二次函数有关的面积问题 小结方法 1、三角形的边在轴上或与轴平行 2、不规则图形或三角形三边均不与轴平行

教学活动 例题:已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求（1）抛物线解析式 （2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C 学生完成后展示过程、交流 （3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE 思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形边特殊吗？） 小结： 教师活动追问：你能求四边形OCDB的面积吗？你有几种方法？ 你肯定行：△ADE的面积如何求呢？

小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积 能力提升： （4）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其 中-1≤x≤4，求当△AEF面积最大时点F的坐标及最大面积。 解决问题： （二次函数检测）17．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线2(1) =-+与直线y kx y a x a x =的一个公共点为(4,8) A. （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.

二次函数结合定值及等面积问题

二次函数结合定值及等面积问题 2 2 8 1.已知二次函数y =3x-3x+2的图像与x 轴交于A B 两点，A 在B 点的左边，与y 交 于点C ,点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边, S A PAC = 4，求点P 的坐标。 2.抛物线 y=-x 2 +bx+c 经过点 A B 、C,已知 A(- 1,0), C (0， 3). (1)求抛物线的解析式; (2)若P 为抛物线上一点，且S PBC =3,请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线 AB ： y = kx+ 2k + 4与抛物线y= ^x 2 -^-A (1)直线AB 总经过一个定点 C,请直接写出点 C 的坐标 1 (2)当k 二时，在直线AB 下方的抛物线上求点 P ,使S A ABP = 5 2 4. 如图，抛物线y x 2 2x 3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交 于A C 两点，其中C 点的横坐标为2。 (1 )求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； (2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求△ EAC 面积的 最大值。 5. 如图，抛物线的顶点为 A (-3，-3 )，此抛物线交X 轴于O, B 两点 (1) 求此抛物线的解析式 (2) 求厶AOB 的面积 P C x O

(3) 若抛物线上另有一点P满足S B阳创，请求出P点的坐标 6.已知二次函数y x2 bx c，其图像抛物线交x轴的于点A (1, 0)、B (3, 0),交y 轴于点C. (1) 求此二次函数关系式； ⑵试问抛物线上是否存在点P(不与点B重合)，使得S BCP 2S ABC ?若存在，求出P点 坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数 中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点 坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A 和点B (－.与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P .使△CMP 为等腰三角形若存在.请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在.请说明理由． (3) 如图②.若点E 为第二象限抛物线上一动点.连接BE 、CE .求四边形BOCE 面积的最大值.并求此时E 点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时.以C 为圆心CM 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M 为顶点时.以M 为圆心MC 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P 为顶点时.线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二.先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

2020二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ． 〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ，

二次函数中动点图形的面积最值专题

中 学 复 习 学 案 年级： 9年级 科目： 数学 执笔： 内容： 《二次函数中动点图形的面积最值专题一》 目 标：1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的长度，面积 2.能用函数图象的性质解决相关问题 重 点：二次函数中动点图形的面积最值的一般及特殊解法 难 点：点的坐标的求法 学习过程： 一、 学前准备： （1）填空 如图，抛物线 与x 轴交于点A 和点B ，与ｙ轴交于点Ｃ．则点A 坐标为 ， 点B 坐标为 ，点Ｃ坐标为 ， ΔＡＢＣ的面积为 . 顶点坐标为 ，对称轴为 . 直线AC 的解析式为 . (2)观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积 322++-=x x y

小结：规则图形的面积可直接套用公式，不规则图形的面积用割补法。 二、“二次函数中动点与图形面积”试题解析 例题：如图二次函数43 4312--=x x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，过点A 作一条直线与x 轴平行，与抛物线交于点B. (1) 求直线AC 的解析式； (2)连接BC ，求ΔABC 的面积. 变式1：若抛物线的顶点为B ，求ΔABC 的面积.

变式2：若点B 是线段AC 下方的抛物线上的动点， 那么，ΔABC 的面积有最大值吗？如果有，请求出. 最大面积和此时点B 的坐标. 变式3:如图，抛物线中的点A 、B 、C 与例题中的点A 、B 、C 一样，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点，是否存在点P ，使ABC PAC S S ??=2，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. 变式4：若B 、C 是抛物线与x 轴的交点，A 是抛物线与y 轴的交点，点D 是线段AC 上的动点，求四边形ABCD 面积的最大

初中数学二次函数动点问题

函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线

12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4

二次函数与几何综合——面积问题

“P+S自能发展教育”数学教学课案 学科：数学年级：九年级备课人：李龙 课题：二次函数与几何综合——面积问题课型：专题课课时数：1课时 教学目标1、掌握常见的面积问题模型及处理方法 2、灵活运用数形结合思想解决相关问题 教学重难点重点：面积问题的转化方法难点：数形结合思想的运用 教学辅工具多媒体、小白板 教学流程师生活动设计意图 课前预 习 一、课前预习，自能感知 1：已知A（-1，0），B（3，0），P（4，2），求PAB S ? ． 2：已知C（1，-3），D（1，1），P（4，2），求PCD S ? ． 3：已知抛物线223 y x x =--与x轴交于A、B两点（A左B右）， P为x轴上方抛物线上一点，若6 PAB S ? =，求P点坐标． 变式1：若P为抛物线上一点，6 PAB S ? =，求P点坐标． 变式2：C（m，1），D（n，1）（m

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方 向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止 运动，设运动的时间为秒． （1）求正方形的边长． （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分 （如图②所示），求两点的运动速度． （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个． （抛物线ABCD的顶点坐标是． [解] （1）作轴于． ， ． ． （2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒． 又． 两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD． ABCD ，即 ABCD ． ABCD ．ABCD ．ABCD，

ABCD ． 即 ABCD ． ABCD ，且 ABCD ， ABCD当 ABCD 时，ABCD有最大值． 此时 ABCD ， ABCD点ABCD的坐标为 ABCD ．（8分） 方法二：当ABCD时， ABCD ． 设所求函数关系式为． 抛物线过点， ． ，且， 当时，有最大值． 此时， 点的坐标为． （4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。 ． 2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒． （1）求的度数． （2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度． （3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由． 解: （1）ABCD．

二次函数的最大面积问题

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求A 、B 、C 的坐标； （2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标； （3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．

二次函数中动点图形的面积最值(初三数学)

深圳高级中学（集团）GLOBE学科课程教学设计 《二次函数中动点图形的面积最值问题》 初三年级数学备课组 一、聚焦问题 因为点动产生图形发生变化,从而面积发生变化.利用二次函数求以动态几何为背景的最值问题，是中考中的一类重要题型。这类试题能有效整合代数和几何的部分重要知识，适于考查考生分析、解决问题的能力及实践和创新的能力，较好地渗透了分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想。 中考考纲要求教师在教学过程中渗透和落实数学学科核心素养的培养（数感、符号意识、几何直观、应用意识），GLOBE教学法要求教师以问题为导向，通过合作探究，引导学生用跨学科知识、思维和方法来解决问题。根据以上的要求，本课聚焦问题如下： 1.学科知识层面： 复习强化二次函数的基本知识，学会用代数式表示函数各个点的坐标，能够利用坐标计算、利用代数式表示二次函数中特定图形、动态图形的面积及其最大值。 2.学科素养层面： 通过利用代数式表示面积的方式，培养学生几何问题代数化的能力，对复杂问题进行分解和转化的能力，培养学生的几何思维能力，空间思维能力。 3.价值观引领方面： 从数到式、从点到线再到面，从静到动，体会数学学习的过程，体验获得成功的喜悦，锻炼克服困难的意志，建立自信心，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯,形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。 因此，本课聚焦的重点问题是：“以静制动”把动态问题变成静态问题来解、“复杂问题简单化”归纳总结提炼出这类面积问题解题模型，让学生真正掌握科学、简便的解题路径，正确、快速地解题。 二、核心问题：利用割补法求多边形面积 方法要点是：把所求面积的图形进行适当割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。 三、分解问题 分解问题一：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？ 问题引领1：通过坐标求三角形的底和高表示面积. 问题引领2：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？ 分解问题二：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积？ 问题引领：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积及其最值？ 分解问题三：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？ 问题引领：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？

二次函数的应用—面积问题

二次函数面积问题 基础知识 （） 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 知识典例 （夯实基础）（30分钟） [例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm ／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q 两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动． （1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm2)是多少？ （2）此时五边形APQCD的面积是S(cm2)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t为何值时s最小，最小值时多少？

[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ （）（5分钟） [例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 强化练习 x

二次函数中的面积最值问题最佳处理方法

因材教育二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3

如何求解二次函数中的面积最值问题

如何求解二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 题目（重庆市江津区） 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

方法二 如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3

解决二次函数面积问题的技巧(无答案)

求“半天吊”三角形面积技巧： 如图1||，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线||，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”||，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h” ||。三角形面积的新方法:||， 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半||。 注意事项：1.找出B、C的坐标||，横坐标大减小||，即可求出水平宽; 2.求出直线BC的解析式||，A与D的横坐标相同||，A与D的纵坐标大减小||，即可求出铅垂高; 3.根据公式: S△=×水平宽×铅锤高||，可求出面积||。 真题分析：如图||，抛物线顶点坐标为点C(1||，4)||，交x轴于点A(3||，0)||，交y轴于点B (1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点||，连PA||，PB||，当P点运动到顶点C时||，求△CAB的铅垂高CD 及;(3)在(2)中是否存在一点 P||，使||，若存在||，求出P点的坐标;若不存在||，请说明理由. 解析：(1)由顶点C(1||，4)||，A（3||，0）可以得出抛物线的解析式为： y1=-x2+2x+3||，已知B点的坐标为(0||，3)||， 所以直线AB的解析式为：y2=-x+3 (2)因为C点坐标为(1||，4)||，把x=1代入y2=-x+3可得D(1||，2)||，因此CD=4-2=2|| ， (3)设P(x||，-x2+2x+3)||，由A、D横坐标相等易知D(x||，-x+3)||，则PF= =(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x 由S△PAB= S△CAB得：×OA×PF= ×3×(?x2+3x)= ×3||， 第1页/共3页

二次函数与面积专题(可编辑修改word版)

3 图 1 图 2 重庆市巴川中学初 2019 级九上数学专题训练三 ——二次函数与面积问题 班级 姓名 等级 题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）． 例 1、定义：如图 1，抛物线 y=ax 2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A ，B 两点，点 P 在抛物线上（点 P 与 A ，B 两点不重合），如果△ABP 的三边满足 AP 2+BP 2=AB 2，则称点 P 为抛物线 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的勾股点． （1） 直接写出抛物线 y=-x 2+1 的勾股点的坐标； （2） 如图 2，已知抛物线 C ：y=ax 2+bx(a≠0)与 x 轴交于 A ，B 两点，点 P(1, )是抛物线 C 的 勾股点，求抛物线 C 的函数表达式； （3） 在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 S △ABQ ＝S △ABP 的点 Q （异于点 P ）的 坐标．

练习 1. 如图，已知抛物线y =-x 2+ 2x + 3 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴交于点C，连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点． （1）直接写出点A、B、C、D 的坐标，并求出S△ABD； （2）求出直线BC 的解析式； （3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P 点坐标．

题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大

例2. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx-3 与 x 轴交于 A 、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C ， 其中 A 点的坐标是(-1,0)，C 点坐标是(-4,-3)． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点 E 是位于直线 AC 的上方抛物线上的一动点，试求△ACE 的最大面积及 E 点的坐标； （3） 在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点 E 的 P 点，使 S △PAC ＝S △EAC ，若存在，求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式：在抛物线上是否存在点 P ，使 S △PAC ＝S △ABC ，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解决二次函数面积问题的技巧

求“半天吊”三角形面积技巧： 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。三角 形面积的新方法:， 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 注意事项：1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽; 2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高; 3.根据公式: S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。 真题分析：如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B (1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及;(3)在(2)中是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由. 解析：(1)由顶点C(1，4)，A（3,0）可以得出抛物线的解析式为： y1=-x2+2x+3，已知B点的坐标为(0，3)， 所以直线AB的解析式为：y2=-x+3 (2)因为C点坐标为(1，4)，把x=1代入y2=-x+3可得D(1,2)，因此CD=4-2=2， (3)设P(x，-x2+2x+3)，由A、D横坐标相等易知D(x，-x+3)，则PF= =(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x 由S△PAB= S△CAB得：× OA×PF= ×3×(?x2+3x)= ×3, 解得，x= ，则P点坐标为( ， )

二次函数中常见图形的的面积问题 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线322 +--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五 图四 图六 图三 备用图 备用图

二次函数与几何图形动点问题

A 专题九 二次函数与几何图形动点问题 中考目标： 1、 灵活运用二次函数、特殊三角形和四边形相关性质、判定、定理，确定二次函数，判定线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积、还有存在、最值等问题； 2、 能够通过数形结合，进行建构模型，联想、猜测，运用分类、转化、从特殊到一般归纳等数学思想解 决问题； 3、 运用“动中求静”，找到、运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、 几何知识解决问题。 一．考点归纳：特殊图形的定义、性质、判定等，图形的变化：轴对称、平移、旋转（特殊的是中心对称） 二次函数部分的归纳： 1、二次函数的表达式：一般式 ，顶点（ ， ） 对称轴x= ， 还有 式； 2、二次函数的图象是 ，二次函数的性质： 。 二、考点探究 活动一：二次函数与三角形 例1.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同 时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直 平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的 坐标，若不存在，请说明理由． 练习：如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2 1，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状； (2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P58 T5 中考考点：二次函数与四边形 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物 线交于A 、C 两点，其C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶 点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 跟踪练习：《题型专练》P57 T3；P59 T7 中考考点：二次函数与三角形、四边形的面积