“一拓直下”笔法探微

“取法乎上”是每个有志于书法的人尽知的准则。这个“法”，在中国书法史上灿若星河的历代书家中，最重要的自然是王羲之，史称“书圣”。古往今来，师法书圣的人如过江之鲫，但能得其精髓者寥寥无几。正如宋代书法家黄庭坚赞扬五代时书法家杨凝式的诗句：

“世人尽学兰亭面，欲换凡骨无金丹。”黄庭坚所说的“金丹”，就是王羲之的笔法。在研究、学习王羲之的笔法时，

“一拓直下”是一个重要的概念，其无论在学界和业界都有许多不同的解释，有的差异还很大，这给书法学习和研究造成了一定的困扰。笔者通过对“一拓直下”笔法的梳理，结合《兰亭序》中的典型例字，对“一拓直下”这一概念进行解读，供广大书法爱好者参考。

讨论“一拓直下”的内涵，可以首先梳理目前对其的一些解释，比较典型的有以下两种：一是比较直观的解释。如，朱天曙在《“书画相通”论》中指出，用笔中的“起”和“收”有藏锋、露锋、方笔、圆笔之分。古人云“无往不收，无垂不缩”即指此藏锋。露锋“一拓直下”，有明显的锋芒，在行书、草书和花卉创作中使用尤多。百度百科中也有类似说法，如《鲜于枢行书杜工部行次昭陵诗卷》条目：

“试观其撇捺之劲利爽捷，竖笔之‘一拓直下’，露锋出笔，都增加了字体的雄强伟岸之势。”

“一拓直下”在这里比较类似潇洒、酣畅的代名词。

另一种说法认为“一拓直下”是一种结字的方法。如，沈维进在《王羲之行书技法解析（二十九）》中说：

“笔画与字中心，或其他相关笔画呈向势弧形的是相向，笔画与中心或其他相关笔画呈背势弧形的是相背；如果笔画与相关笔画都是直线，则称为‘一拓直下’。”①“向背”是建立在点画呼应基础上的形态变化。还有一些说法将其归入与“绞转”相对应的笔法，或直接归入“内擫”与“外拓”的范畴。如此种种，不一而足，让人难以把握。特别是对于初学者，如果认为“一拓直下”即直入直出、酣畅潇洒，这样写出的字往往笔虚意浅、飘忽不定，难有王字的韵味，甚至连形似都难以达到。

笔者因此对“一拓直下”进行考证。目前能找到的最早提出“一拓直下”概念的是元代书法家赵孟坚，他在《论书法》中说：“学唐不如学晋，人皆能言之。夫岂知晋不易学，学唐尚不失规矩，学晋不从唐入，多见其不知量也。仅能欹斜，虽欲媚而不媚，翻成画虎之犬耳。何也？书字当立间架墙壁，则不骫骳。思陵书法未尝不圆熟，要之于间架墙壁处不著工夫，此理可为识者道……《乐毅》《画赞》《兰亭》,最真一一有墙壁者，右军‘一拓直下’

是也。”②（骫骳，委曲宛转，引申为萎靡，无骨力，笔者注）。所谓墙壁，应是指可以依托遵循的方法，赵孟坚将“一拓直下”视为王字笔法的支撑和依托，而不是一个简单的笔画。

值得注意的是，比赵孟坚稍晚一点的元代书法家袁裒提出了王羲之笔法内擫的概念。他在《评书》中说：

“汉魏以降书虽不同，大抵皆有分隶余风，故其体质高古，及至二王始复大变，右军用笔内擫而收敛，故森严而有法度；大令用笔外拓而开阔，故散朗而多姿。”③袁裒这里同样提到王字的法度，只是用了一个不同的名词——“内擫”。元代书法在赵孟頫的倡导下提倡“归宗二王，矫宋之弊”④，托古改制蔚然成风。袁、赵二人基本处于同一时代，二人所言的“一拓直下”和“内擫”是否指同一件事，还有待进一步考证，但所述王字的法度应该是有共性的，这一点在后文还将论述。

另外还有一点是共同的，即如何做到“一拓直下”和内擫，两位书家均语焉不详。当代书家胡小石在《书艺略论》中对“一拓直下”作了解释：

“钟书尚翻，真书亦具分势，用笔尚外拓，有飞鸟鶱腾之势，所谓钟家隼尾波也……王出于钟，而易翻为曲，减去分势。用笔尚内擫，不折而用转，所谓右军‘一搨直下’之法。梁武帝以龙跳虎卧之势喻之，龙跳之蜿蜒，虎卧之蜷曲，皆转而非折，真能状王书之旨。”⑤这就说明“一拓直下”原是针对钟书原来的隶书笔意而言，省略了隶意的藏头，而用更加直接的方式入笔，而非形容王字的笔势，似乎与酣畅淋漓也关系不大。实际在王羲之的传世作品中也很少见到所谓一泻千里的笔势，反而有许多以曲破直的例子，如《集王圣教序》中“早悟三空之心”中“早”字的一竖就不是一笔直下的。

而沈尹默在《二王书法管窥》一文中对“内擫”和如何“一拓直下”的行笔作了更为清晰的说明：

“最后，再就内擫和外拓两种笔法来说我的一些体会，以供参考。对于了解和学习二王墨妙方面，或者有一点帮助。我认为初学书宜用内擫法，内擫法能运用了，然后放手去习外拓方法。要用内擫法，先须凝神静气，收视反听，一心一意地注意到纸上的笔毫，在每一点画的中线上，不断地起伏顿挫着往来行动，使毫摄墨，不令溢出画外，务求骨气十足，刚劲不挠，前人曾说右军书‘一拓直下’，用形象化的说法，就是‘如锥画沙’。我们晓得右军是最反对笔毫在画中‘直过’的，直过就是毫无起伏地平拖着过去，因此，我们就应该对于‘一拓直下’之拓字，有深切的理解，知道这个拓法，不是一滑即过，而是取涩势的。右军也是从蔡邕得笔诀的，

‘横鳞竖勒’之规，是

“一拓直下”笔法探微

□袁锋

摘要：书法理论中对于王羲之笔法的研究有许多，

“一拓直下”是其中的一个核心概念。只是很久以来，对于这样一个概念没有明确的解释，更缺乏可以用于实践的指导理论，无论在学界还是业界都众说纷纭。该文通过对书法史中这一概念的梳理，结合近现代的研究成果和书法创作实践，对这一重要概念进行解读，同时探讨如何实现“一拓直下”的技法。

关键词：王羲之一拓直下笔法

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2018-2019年中考数学专题(1)规律探索问题(含答案)

第二篇专题能力突破 专题一规律探索问题 一、选择题 1．(原创题)观察下列图形， 它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有( ) A．57个B．60个C．63个D．85个 解析第1个图形有3个“★”，第2个图形有6＝2×3个“★”，第3个图形有9＝3×3个“★”，第4个图形有12＝4×3个“★”，…，第20个图形有20×3＝60个．故选B. 答案 B 2．(原创题)如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝( ) A．29 B．30 C．31 D．32 解析前n行的点数和可以表示成2＋4＋6＋…＋2n＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝ 2×n（n＋1） 2 ＝n(n＋1)，从而得到一元二次方程n(n＋1)＝930，可以求出n

＝30.故选B. 答案 B 3．(原创题)符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝6，…；(2)f ? ????12＝2，f ? ????13＝3，f ? ?? ??14＝4，…利用以上规律计算：f (2 014)－f ? ?? ??12 014等于 ( ) A ．2 013 B ．2 014 C.12 013 D.12 014 解析 根据题意，得f (2 014)－f ? ?? ??12 014＝2 014×2－2 014＝2 014.故选B. 答案 B 4．(原创题)观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是 ( ) A ．38 B ．46 C ．61 D ．64 解析 第1个图形中共有4个点， 第2个图形中共有10个点，比第1个图形中多了6个点； 第3个图形中共有19个点，比第2个图形中多了9个点；…，按此规律可知， 第4个图形比第3个图形中多12个点，所以第4个图形中共有12＋19＝31

新初一规律探索题参考答案

前言： 七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年 级涉及的仅仅是一部分。 一、规律探索类题型 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题②观察③分析④猜想⑤验证，来探索对象的规律。它体现了“特殊到一般”、“数形结 合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。题型可涉及填空、选择或解答。 【题型分类】 【1、数字问题】 最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是： 经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到 代数式是刻画现实世界的有效数学模型。如： 1、正整数规律 1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数） 2、奇数规律 1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数） 3、偶数规律 2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数） 4、正、负交替规律变化 一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替 （1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n - （2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +- 5、平方数规律 1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+ 2、-1、-2 6、等差数列常识 按一定次序排列的一列数就叫数列。例如： （1）1，2，3，4，5，6，…（2）1，2，4，8，16，32；

中考规律探索题训练含答案

规律探索 一. 选择题 1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（） 考点：旋转的性质；弧长的计算．. 专题：规律型． 分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 解答：解：转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次A的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π， 2015÷4=503余3 顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π． 故选：D． 点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键． 2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）

A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42） 考点：规律型：数字的变化类． 分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可． 解答：解：2015是第=1008个数， 设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008， 即≥1008， 解得：n≥， 当n=31时，1+3+5+7+…+61=961； 当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024； 故第1008个数在第32组， 第1024个数为：2×1024﹣1=2047， 第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923， 则2015是（+1）=47个数． 故A2015=（32，47）． 故选B． 点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 3.（2015湖北鄂州第10题3分） 在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（） A． B． C． D．

专题01 规律探究 (解析版)

专题01 规律探究题 类型1：数字规律探究 （2019·怀化中考）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_____． 【答案】n -1 【解析】由题意“分数墙”的总面积1111 2341234n n n =?+?+?++?=-L ， 故答案为1n -． 思路点拨 此类问题解答时要关注对应位置上数字变化的规律，以总结出通项公式，并根据公式解决问题. 巩固练习 1、（2019·黄石中考真题）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵 1 47 101316 192225283134374043L L L L 则第20行第19个数是_____________________

【答案】625 【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数， ∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628， ∴第20行第19个数是：628-3=625， 故答案为：625． 2、（2019·随州中考）若一个两位数十位、个位上的数字分别为,m n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知 10mn m n =+；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如10010abc a b c =++． （基础训练） （1）解方程填空： ①若2345x x +=，则x =______； ②若7826y y -=，则y =______； ③若9358131t t t +=，则t =______； （能力提升） （2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn nm +一定能被______整除，mn nm -一定能被______整除，mn nm mn ?-+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） （探索发现） （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______； ②设任选的三位数为abc （不妨设a b c >>），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495 【解析】 (1)①∵10mn m n =+，

七年级规律探索题答案

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由一道中考探究试题说开去 - 宝坻教研网

从一道浮力探究试题说起 天津市宝坻区教研室（301800）戴军 武汉市2007年中考物理试卷上有这样一道题： 小明想：浮力是液体对物体向上的托力，而物体间力的作用是相互的，所以物体对液体一定有向下的压力，那么浮力的大小和物体对液体压力的大小有什么关系呢？ (1)小明和小红利用烧杯、水、天平、合金圆柱体、细线和弹簧测力计，进行了如下探究： ①在烧杯中盛适量水，用天平测出烧杯和水的总质量m1； ②用弹簧测力计测出圆柱体的重力G； ③如图1所示，将圆柱体部分浸入烧杯的水中，静止在某一 深度，记下弹簧测力计的示数F，则圆柱体所受水的浮力为 (用弹簧测力计所测得的量来表示)；此时向天平的右 盘加上适量的砝码，使天平重新平衡，记下天平的读数m2，则圆 柱体对水的压力为（用天平所测得的量来表示）。图1 (2)下表为小明和小红记录的实验数据：(表中h2＞h1) ①通过分析表格中的数据，可以得出：浮力的大小（选填“大于”、“小于”或“等于”)物体对液体压力的大小。 ②由表格中的数据可知，该圆柱体的密度为kg/m3。 解析： (1)中的③，要求从原理上首先搞清：如何用弹簧测力计的示数表示浮力，如何用天平的读数表示圆柱体对水的压力。 由于已测得圆柱体的重力为G，当圆柱体部分浸入烧杯的水中时，悬吊圆柱体的弹簧测力计示数为F，于是由浮力的计算方法可知，此时圆柱体所受的浮力等于（G－F）。 因为烧杯和水的总质量为m1，将圆柱体部分浸入烧杯的水中天平重新平衡时天平的示数m2，若设此时圆柱体对水的压力为F压，则有m2=m1+（F压/g）。于是可知圆柱体对水的压力为F压=（m2－m1）g。 (2)中的①是要求通过具体实验数据，分析归纳出浮力与物体对液体压力大小的关系。

中学数学 规律探索题研究(含答案)

专题一：规律探索题研究 【题型导引】 题型一：点坐标规律 （1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。 题型二：数字规律 （1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。 题型三：图形规律 （1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究； 【典例解析】 类型一：点坐标规律 例题1：（2019?湖北省鄂州市?3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、 B3…B n在直线y＝ 3 3 x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形，从左到 右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（） A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33 【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n＋1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形， ∵直线y 3 x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°， ∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，

∵A1（1，0）， ∴A1B1＝1， 同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°， ∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1， 易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n＋1＝90°， ∴B1B2＝3，B2B3＝23，…，B n B n＋1＝2n3， ∴S1＝1 2 ×1×3＝ 3 2 ，S2＝ 1 2 ×2×23＝23，…，S n＝ 1 2 ×2n﹣1×2n3＝； 故选：D． 技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律 例题2：（2019?四川省达州市?3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（） A．5B．﹣C．D． 【解答】解：∵a1＝5， a2＝＝＝﹣， a3＝＝＝， a4＝＝＝5， … ∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝， 故选：D． 技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n之

七年级数学(上)探索规律类-问题及答案

1条 2条 3条 七年级数学（上）探索规律类 问题 班级 七（8） 姓名 袁野 成绩 一、数字规律类： 1、一组按规律排列的数：41，93， 167，2513，36 21 ，…… 请你推断第9个数是 31/49 ． 2、（2005年山东日照）已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2． 3、（2005年内蒙古乌兰察布）观察下列各式；①、12+1=1×2 ；②、22+2=2×3； ③、32+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 n^2+n=n*(n+1) 。 4、（2005年辽宁锦州）观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子 1+2+3+…+n+(n-1)+(n-2)+…+1=n^2 5、（2005年江苏宿迁）观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ A ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 6、（2005年山东济南市）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为_41___。 第1行 1 第2行 －2 3 第3行 －4 5 －6 第4行 7 －8 9 －10 （第6题图） 第5行 11 －12 13 －14 15 ……………… （第7题图） 7、（05年江苏省金湖实验区）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 -50 ． 二、图形规律类： 8、（2005年云南玉溪）一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到O 2A 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 An 。 9、（2005年江苏泰州）如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴 6n+2 根. …… 10、（05年广西玉林市）观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ………… 从第1个球起到第2005个球止，共有实心球 603 个． 11、（2005年重庆市）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的

2019年中考数学专题训练：规律探索题(含答案)

专题训练(一) [规律探索题] 1.[2018·烟台] 如图ZT1-1所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为() 图ZT1-1 A.28 B.29 C.30 D.31 2.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,那么计算71+72+73+…+72020的结果的个位数字是 () A.9 B.7 C.6 D.0 3.[2017·自贡] 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值为() 图ZT1-2 A.180 B.182 C.184 D.186 4.[2017·重庆A卷] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为()

图ZT1-3 A.73 B.81 C.91 D.109 5.请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),(1-x)(1+x+x2+x3),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是() A.1-x n+1 B.1+x n+1 C.1-x n D.1+x n 6.图ZT1-4中的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为() 图ZT1-4 A.51 B.70 C.76 D.81 7.[2018·贺州] 如图ZT1-5,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为() 图ZT1-5 A.()n-1 B.2n-1 C.()n D.2n 8.[2017·遵义] 按一定规律排列的一列数依次为:,1,,,,,…,按此规律,这列数中的第100个数是.

最新广东中考数学专题训练规律探索

规律探索 类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其 长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 1 2n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________． 第2题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从 左至右第5个数是36＋5＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子： 第一个式子：4×12－12 ①

第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ … 根据上述规律，则第2019个式子的值是______． 8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列： 1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________． 63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的 和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第 2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝ 63364. 类型二 图形规律 5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，

七年级数学(上)探索规律类-问题及答案

1、一组按规律排列的数：，， （学习必备欢迎下载 七年级数学（上）探索规律类问题 班级七（8）姓名袁野成绩 一、数字规律类： 1371321 ，，，……请你推断第9个数是31/49． 49162536 2、（20XX年山东日照）已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62； ④13＋23＋33＋43＝102；…………由此规律知，第⑤个等式是1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2． 3、（20XX年内蒙古乌兰察布）观察下列各式；①、12+1=1×2；②、22+2=2×3； ③、32+3=3×4；………请把你猜想到的规律用自然数n表示出来n^2+n=n*(n+1)。 4、（20XX年辽宁锦州）观察下面的几个算式：①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接 写出第n个式子1+2+3+…+n+(n-1)+(n-2)+…+1=n^2 5、20XX年江苏宿迁）观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（A） A．1B．2C．3D．4 6、（20XX年山东济南市）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为_41___。 第1行1 第2行－23 第3行－45－6 第4行7－89－10 （第6题图）第5行11－1213－1415 ………………（第7题图） 7、（05年江苏省金湖实验区）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，…将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于-50． 二、图形规律类： 8、（20XX年云南玉溪）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点A处，第二次从A点跳动到O A的中点A处，第三次从A点跳动到O A的中点A 1112223处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为An。 9、（20XX年江苏泰州）如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴6n+2根. …… 1条2条3条

七年级下数学规律探索类试题

规律探索类试题，往往有“数字类”“计算类”“图形类”“设计类”与“动态类”等题型，考查目的是培养学生的创新意识与实践能力。解答时，要根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、猜想等思维活动，揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征. 一．数字规律问题 1. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（） A．38 B．52 C．66 D．74 2.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是( ) A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 3.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n 排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．表示实数100的有序实数对是． 4. 将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第行第列．

二．计算规律问题 5. 观察下列算式：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32； 1+3+5+7=16=42；…按规律填空：（1）1+3+5+7+9+…+2011= ；（2）1+3+5+…+2n-1= ． 6.计算：31＋1＝4，32＋1＝10，33＋1＝28，34＋1＝82，35＋1＝244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测32012＋1的个位数字是（） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 7.按下图规律，在第四个方框内填入的数应为． 8.观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ； ⑵如果欲求1+3+32+33+…+320的值，可令S=1+3+32+33+…+320……① 将①式两边同乘以3，…② 由②减去①式，得S= ． ⑶用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an= （用含a1，q，n的代数式表示），

一道中招考题的探索

一道中招考题的探索 近年来，各省市的中招考试题中规律的题目是常考的题目。同时它又是小型的综合题，通常 要考3—4个知识点。有的一套中招考试题中还有可能是两道规律题：一道是在填空题或选择题中，另一题就是在后面的21题或22题中。同学们对出在后面的大题中的规律题往往感觉是：无从下手，束手无策，有的干脆是完全放弃而1分不得。其实这一类型的题目都是由易 到难、层层深入，前面一问是铺垫，后右一问是加深。在深入的同时里面又暗含了较强的规律。只要发现这一规律，困难就迎刃而解了。从而使得此题变为容易得分的题。如果这道题 能够正确解决，即使是最后一个综合题不会做，相信你的中招考试数学成绩不低于100分。 下面就拿今年的中招题的22题来说吧。 （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将AB沿BE折叠后得到△CBE，且点G在矩形ABCD 内部。小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由。 （2）解决问题 这一问可以说完全是按上一步的方法去做，只不过是换了数据而已。 有的题目没有说是类比探索，但也是类比探索，有的更是直截了当，只要按照上一步的方法 字母不变的情况下就可以得出结论了。 有这样一道中考题，它的规律性更强：如图，四边形ABCD是正方形，把一直角三角尺的直 角顶点放在对角线AC上，一直角边始终于点B重合，另一直角边与DC相交。请判断 （1）PB与PQ的数量关系，并说明理由。 （2）如果PQ和DC的延长线相交于点Q，请判断PB与PQ的数量关系，并说明理由。 这一题考察的是正方形、等腰三角形、三角形的外角和定理等知识点。 分析：判断线段相等通常是判断这两条线段所在的三角形全等或转化到一个三角形中，证明 是等腰三角形。 如果判断这两条线段所在的两个三角形全等，很显然这两条线段所在的两个三角形不全等。 这样就要构造全等三角形，这种方法不再叙述。 我们还可以把它转化到一个三角形里面。如图，连接PD、BD，易证BP=DP，∠PDB=∠PBD。只要证明PD=PQ就可以了。∠BPD=90°，∠CPB+∠1=90°，∠CPB+∠2=90°，所以∠1=∠2， ∠PBD=∠2。 ∠PDQ=45°+∠PDB，∠PQD=45°+∠2 所以∠PDQ=∠PQD 所以PQ=PD=PB 如果PQ交在DC的延长线上，按照上一问的方法，有第一步的铺垫，第二步的分析方法， 做题过程和所有字母都不变，只需将上一问中的∠PDQ=45°+∠PDB，∠PQD=45°+∠2加号改 成减号就可以了。 同学们以后再做这一类型的题和先阅读再做题这一类型的题时，一定要沉着冷静，认真思考，多做练习，找出解题的思路和规律，相信你的中招考试一定会很出色的。

中考总题之规律探索型问题及答案

中考总题之规律探索型问题及答案

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2014年中考总题之规律探索型问题及答案 规律探索型问题 一 选择题 1. （2013浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ） A.28 B.56 C.60 D. 124 【答案】C 3. （2013广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ． 【答案】)2(+n n 4. （2013内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示） 【答案】(1)4n n ++或2 4n n ++ 5. （2013湖南益阳，16，8分）观察下列算式： ① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ …… （1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】解：⑴246524251?-=-=-； 第1个 第 2 第3个 第 4 第

七年级数学专题规律探究题

七年级数学专题-----规律探究题

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七年级数学专题-----规律探究题 题型一：数字变化类问题 1．观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=__________． 2.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是． 1 2 3 5 8 13 a … 2 3 5 8 13 21 34 … 3.观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 4.有一组等式： 2222222222222222 1233,2367,341213,452021 ++=++=++=++=……请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________ 5.把奇数列成下表， 根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是． 5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。而计数制方 法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。已知二进位制与十进位制的比较如下表： 十进位 制 0 1 2 3 4 5 6 … 二进 制0 1 1 1 1 100 101 110 … 请将二进制数10101010 （二） 写成十进制数为 .

6．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．，，，，，… 7.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．8．有这样一组数据a1，a2，a3，…a n，满足以下规律： ，（n≥2且n为正整数），则a2013的值为______（结果用数字表示）． 9.观察下列各式的计算过程： 5×5=0×1×100+25， 15×15=1×2×100+25， 25×25=2×3×100+25， 35×35=3×4×100+25， ………… 请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是 A．M=mn B．M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1) 11.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… 解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（） A．0 B．1 C．3 D．7 12.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所 填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是. －4 a b c 6 b － 2 …

中考规律探索型问题及答案

规律探索型问题 1. 如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此 规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ） A.28 B.56 C.60 D. 124 【答案】C 2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有 个小圆. （用含 n 的代数式表示） 【答案】(1)4n n ++或2 4n n ++ 3. 观察下列算式： ① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ …… （1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】解：⑴246524251?-=-=-； ⑵答案不唯一.如()()2 211n n n +-+=-； ⑶()()2 21n n n +-+ () 22221n n n n =+-++ 第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形

22221n n n n =+--- 1=-. 4. 观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。 【答案】15 5. 先找规律，再填数： 1111111111111111,,,,122342125633078456 ............ 111+_______.2011201220112012 +-=+-=+-=+-=-=?则 【答案】 1 1006 6. 观察下面的变形规律： 211? ＝1－12； 321?＝12－31；431?＝31－4 1；…… 解答下面的问题： （1）若n 为正整数，请你猜想) 1(1 +n n ＝ ； （2）证明你猜想的结论； （3）求和：211?＋321?＋431?＋…＋2010 20091? . 【答案】 （1） 111 n n - + （2）证明： n 1－11+n ＝)1(1++n n n －) 1(+n n n ＝1(1)n n n n +-+＝)1(1+n n .

七年级规律题典范(带答案)

…… 规律发现专题训练 1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4) 个图案中有黑色地砖4块；那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。 2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万 事非。”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为2 1 ， 41，81，…，n 2 1的矩形彩色纸片（n 为大于1的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算n 21 814121++++ = 。 3.有一列数：第一个数为x 1=1，第二个数为x 2=3，第三个数开始依次记为x 3，x 4，…，x n ；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。（如：x 2= 2 3 1x x +） (1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； (2)根据（1）的结果，推测x 8= ； (3)探索这一列数的规律，猜想第k 个数x k = .（k 是大于2的整数） 4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕， 那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n 次，可以得到 条折痕 . 5. 观察下面一列有规律的数 ,486 ,355,244,153,82,31， 根据这个规律可知第n 个数是 （n 是正整数） 6.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。 第2题

7. 按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用a 1，a 2，a 3，…，a n 表示一个数列， 可简记为{a n }.现有数列{a n }满足一个关系式：a n +1=2 n a -na n +1,(n =1,2,3,…,n ),且 a 1=2.根据已知条件计算a 2,a 3,a 4的值，然后进行归纳猜想a n =_________.（用含n 的代数式表示） 8.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式 按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是 . 9.观察下列等式9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 ………… 这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为. 10．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案， 图中阴影部分为红色。若每个小长方形的面积都1， 则红色的面积是 。 11．如下图，从A 地到C 地，可供选择的方案是 走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水 路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从 到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有( ) A ．20种 B ．8种 C ． 5种 D ．13种 12．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第 2排开始，每一排都比前一排增加a 个座位。（1）请你在下表的空格里填写一（2）已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求a 的值，并计算第21排有多少座位？ ￡¨μú9 ìaí?￡? ......16-1514-1312-1110-9 -76-54-32-1第8题 第17题

对一道中考试题内在价值的再探索

对一道中考试题内在价值的再探索 山东省薛城区舜耕中学 朱思源 中考试题是经过命题组的深思熟虑和字斟句酌的，一般说来都是比较优秀的，因此许多师生对其都“情有独钟”,把它作为训练和研究的重点，然而如果按部就班的使用，缺乏创造，就体会不到它的内在价值，更不能得以创新,下面仅以2005年山东省中考中考试题中的一道压轴题为例加以说明。 题目：如图1，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ． (1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式； (2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多少? 分析:要用x 表示S ,其关键是用x 表示AM 和DN . 方法1：如图2，(1)连接ME ，设MN 交BE 于P ，根据题意，得 MB=ME ，MN ⊥BE,过N 作AB 的垂线交AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中,?=∠+∠90BMP MBP ，?=∠+∠90BMN FNM ， ∴∠MBP=∠MNF ．又 AB=FN ，∴Rt △EBA ≌Rt △MNF ，故MF=AE=x ，在Rt △AME 中，AE=x ， ME=MB=2-AM ，∴(2-AM)2=x 2+AM 2，解得AM=241 1x - ∴四边形ADNM 的面积 2 21)411(2222222++-=+-=+=?+=?+=x x x x AE AM AF AM AD DN AM S 即所求关系式为22 1 2++-=x x s . (2) ()()2 2211515221122222 S x x x x x =-++=--++=--+. ∴当AE=x =1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，最大值是2 5 . 方法2：如图3，连接ME 、EN 和BN ，在Rt △AME 中，AE=x ，ME=MB=2-AM ， ∴(2-AM)2=x 2+AM 2，解得AM=24 11x -；又因为在Rt △EDN 和Rt △BCN 中 DN CN x DE -=-=2,2,由EN BN =得 2 2EN BN =,即 22222)2()2(+-=+-DN DN x ,解得：4 4 42 ++-= x x DN ，∴四边形ADNM 的 面积 22 14444112222++-=++-+-=+=?+=x x x x x DN AM AD DN AM S ； （2）由2212++-=x x S 可知：S 为x 的二次函数，02 1 <-=a ，所以抛物线开口向下，有最大值，即当 12=-=a b x 时，S 最大,2 5211212=++?-=最大S . 如果仅仅满足于对这一问题的解决，那只是注意了它的表面价值，其实还应该挖掘它的内在价值，比如这道题目本身的条件“MN 垂直平分BE ”说明MN 是一条折痕，如果把这个问题看成一个折叠问题，那么把四边形MBCN 沿折痕MN 折叠后点C 落在点'C 上，并设'EC 交CD 于点F ，如图4所示，那么你就会 (图1） N M E D C B A （图3） N M E D C B A F N (图2) M E D C B A