分式不等式教案
2.3分式不等式的解法
上海市虹口高级中学 韩玺
一、教学内容分析
简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计
1、掌握简单的分式不等式的解法.
2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点
重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入
某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.
设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为
s
v
，乙上楼所需时间为02
s v v +
.
由题意，得
2
s s
v v v <
+. 整理的
0122v v v
<+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式：
1
232
x x +>-.
解：（化分式不等式为一元一次不等式组）
1232x x +>-?12032x x +->-?()51032
x x -->-?1
032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12
3x x >??
?
?213x <<或x 不存在.
所以，原不等式的解集为2,13???
??? ，即解集为2,13??
???
. 注意到
1
032
x x -<-?
10320
x x -
->?或
10
320
x x ->??
-?>，00a
ab b
1232x x +>-?12032x x +->-?()51032
x x -->-?1
032x x -<- ?()()3210x x --
213x <<，所以，原不等式的解集为2,13??
???
. 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：
（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零. （2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.
一般地，分式不等式分为两类：
（1）()()
0f x g x >（0<）?()()0f x g x >（0<）
； （2）
()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000
f x
g x g x ≥≤???
≠??.
[说明]
解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要. 例2 解下列不等式
（1）
1
05x x -+>-. （2）
2
335x ≥-. （3）2
8
223
x x x +<++. 解（1）原不等式?
1
05
x x -<-?()()150x x --
23035x -≥-?157035x x -≥-?157
053
x x -≤- ?
()()157530530
x x x --≤???-≠???
7
315535x x ?≤≤???
?≠??
?
73
155
x ≤<， 所以，原不等式的解集为73
,155??
??
?
?
. （3）分母：()2
2
231110x x x ++=++≥>，则
原不
等式
?2
8
246
x x x +<++?2232x
x +->?()()22x x +-> ?2x <-或1
2
x >
，所以，原不等式的解集为()1
,2,2??-∞-+∞ ???
.
例3 当m 为何值时，关于x 的不等式()()132m x x -=+的解是 （1）正数？ （2）是负数？
解：()()132m x x -=+ ?()36m x m -=+（*） 当3m =时，（*）?09x ?=?x 不存在. 当3m ≠时，（*）?6
3
m x m +=-. （
1
）
原
方
程
的
解
为
正
数
?6
03
m x m +=
>-?(6)m m +-
>?6m <-或3m >.
（
2
）
原
方
程
的
解
为
负
数
?6
03
m x m +=
<-?(6)m m +-
所以，当()(),63,m ∈-∞-+∞ 时，原方程的解为正数.当()6,3m ∈-时，原方程的解为负数.
四、作业布置
选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.
五、课后反思
解分式不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.
整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结.
分式不等式课堂同步练习题
分式不等式课堂同步练习题 ①.分式不等式的解法： 1）标准化：移项通分化为 ()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或() 0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()() 0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? ； 一．选择题： 1.不等式01 1 >-+x x 的解集是 （ ） Ａ. {}1|->x x Ｂ. {}01|<<-x x Ｃ.{}1|>x x Ｄ. {}11|-<>或x x x 2. 與不等式03 2 >+-x x 同解的不等式是 （ ） Ａ. ()()032>+-x x Ｂ. ()02>-x Ｃ. ()()032<+-x x Ｄ. ()03>+x 3.不等式 02 2 ≤+-x x 的解集是 （ ） 、 Ａ. {}2|≤x x Ｂ. {}22|≤≤-x x Ｃ. {}22|≤<-x x Ｄ. {} 22|-<≥或x x x 4. 不等式02 5 ≥-+x x 的解集是 （ ） Ａ. {}2|-
高考数学 高次分式不等式解法
课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x 分式 摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二．利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 ： 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1 ，则有∑+=-n i m a a i i 1 ) (1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时， ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=，s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-，所以有：)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时, )1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数，求证： 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥+≥+1 11 由排序不等式得： ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（ b a c a c b c b a +++++）3≥，所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-= 例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2 2=+βα，不等式左边拆项得： ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2222=++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等 解分式不等式和高次不等式练习题 班级 姓名 学号 一.选择填空 1. 使不等式x x 1>成立的x 取值范围是（ ） A. )1(∞， B. )1(--∞， C. )1()01(∞-，，Y D. )1()1(∞--∞，，Y 2. 不等式 11 <-x ax 的解集为}21|{> 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 分式不等式的练习 Prepared on 24 November 2020 分式不等式的练习 一、分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为 ()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或() 0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()() 0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? ； 练习：解下列分式不等式： 1、 045<++x x 2、0232≤-+x x 3、03 21>+-x x 4、 1232<++x x 5、12 23≥+x x 6、 2323 5<-+x x 7、 222310372x x x x ++>-+ 8、31 13x x +>-- 9、22 23712x x x x +-≥-- 10、1 22x -≤ ≤ 作业： 1) 不等式 01 1 >-+x x 的解集是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ ） （Ａ） {}1|->x x （Ｂ） {}01|<<-x x （Ｃ） {}1|>x x （Ｄ） {}11|-<>或x x x 2) 与不等式 03 2 >+-x x 同解的不等式是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ ） （Ａ） ()()032>+-x x （Ｂ） ()02>-x （Ｃ） ()()032<+-x x （Ｄ） ()03>+x 3) 不等式 02 2 ≤+-x x 的解集是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ ） （Ａ） {}2|≤x x （Ｂ） {}22|≤≤-x x （Ｃ） {}22|≤<-x x （Ｄ） {}22|-<≥或x x x 4) 不等式 02 5 ≥-+x x 的解集是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ ） （Ａ） {}2|- （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 分式不等式的证明与方法 摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二．利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 ： 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(? ∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1，则有∑+=-n i m a a i i 1 )(1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时， ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=，s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-，所以有：)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时, )1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数，求证： 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥ +≥+1 11 由排序不等式得： ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（ b a c a c b c b a +++++）3≥，所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 11 ≥∑∑=-= 例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2 2 =+βα，不等式左边拆项得： ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 =++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等 分式不等式课堂同步练 习题 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 分式不等式课堂同步练习题 ①.分式不等式的解法： 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ； 一．选择题： 1.不等式 011>-+x x 的解集是（ ） Ａ. {}1|->x x Ｂ. {}01|<<-x x Ｃ.{}1|>x x Ｄ. {}11|-<>或x x x 2.与不等式 032>+-x x 同解的不等式是（ ） Ａ. ()()032>+-x x Ｂ. ()02>-x Ｃ. ()()032<+-x x Ｄ. ()03>+x 3.不等式 022≤+-x x 的解集是（ ） Ａ. {}2|≤x x Ｂ. {}22|≤≤-x x Ｃ. {}22|≤<-x x Ｄ. {}22|-<≥或x x x 4.不等式 025≥-+x x 的解集是（ ） Ａ. {}2|- 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ，乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意，得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式： 1 232 x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组） 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>，00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --（0<）?()()0f x g x >（0<） ； （2） ()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??. 分式不等式课堂同步练习 题 This manuscript was revised on November 28, 2020 分式不等式课堂同步练习题 ①.分式不等式的解法： 1）标准化：移项通分化为 ()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或() 0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()() 0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠?； 一．选择题： 1.不等式011 >-+x x 的解集是 （ ） Ａ. {}1|->x x Ｂ. {}01|<<-x x Ｃ.{}1|>x x Ｄ. {}11|-<>或x x x 2. 与不等式 03 2 >+-x x 同解的不等式是 （ ） Ａ. ()()032>+-x x Ｂ. ()02>-x Ｃ. ()()032<+-x x Ｄ. ()03>+x 3.不等式 02 2 ≤+-x x 的解集是 （ ） Ａ. {}2|≤x x Ｂ. {}22|≤≤-x x Ｃ. {}22|≤<-x x Ｄ. {}22|-<≥或x x x 4. 不等式02 5 ≥-+x x 的解集是 （ ） Ａ. {}2|- 1．不等式01 1≤-+x x 的解集是（ ） A ．]1,1[- B ．]1,1(- C ．)1,1[- D ． ),1(]1,(+∞--∞ 2．不等式123>+-x x 的解集是（ ） A ．),2(+∞- B ．)3,2(- C ．)2,(--∞ D ．),3()2,(+∞--∞ 3．不等式1213-≥--x x 的解集为( ) A ．]2,21[- B ．),2(]21,(+∞--∞ C ．)2,(-∞ D ．)2,2 1[-- 4．不等式x x 1>的解集是( ) A ．}1|{±>x x B ．),1()1,(+∞--∞ C ．)1,1(- D ．),1()0,1(+∞- 5．不论m 为任何实数，下列一元二次方程中，一定有两个不相等实数根的是( ) A ．012=++mx x B ．02=++m x x C ．012=-+mx x D ．02=-+m x x 7．3>x 是5>x 的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 8．不等式04122≥--x x 的解集为( ) A ．}22|{>- 1．不等式11≤x 的解集是 ． 2．不等式02112>-+x x 的解集是 ，不等式0)1(242>++x x 的解集是 ． 3．不等式21222-≤++-x x 的解集是 ． 4．不等式 07632>--+x x x 的解集是 ． 5．612>+-x x 的解集是 . 三、解答题 1．解下列分式不等式，并把解集在数轴上表示 （1）05825>+-x x ； （2）12143≤--x x （3）5411<-+x x （4）01 232≤--x x x 3．解不等式11212≥---x x x 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的 解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-040 1|{x x x }= φ∪{x|-4 不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或 （4）若，，则；若，，则。如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②； ③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A 、的最小值是2 B 、的最小值是 2 C 、的最大值是 D 、的最小值是（答：C ）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）； ,a b c d >>a c b d +>+,a b c d >-0,0a b c d >>>>ac bd >0,0a b c d >><0a b >>n n a b >0ab >a b >11a b <0ab 11a b >c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若, 0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b > >若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤- ≤3x y -137x y ≤-≤c b a >>,0=++c b a a c 12,2??-- ?? ?0,10>≠>t a a 且21log log 21+t t a a 和1a >11log log 22 a a t t +≤1t =01a <<11log log 22a a t t +≥1t =2a >12 p a a =+-2422-+-=a a q q p ,p q >3log x )10(2log 2≠>x x x 且01x <<43x > 3log x 2log 2x 413x <<3log x 2log 2x 43 x =3log x 2log 2x 1y x x =+ 2y =423(0)y x x x =-->2-423(0)y x x x =-->2-21x y +=24x y +,x y 21x y +=y x 11+3+分式不等式的解法
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