1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
(这份试题共八道大题,满分120分第九题是附加题,满分10分,
不计入总分)
一.(本题满分15分)本题共有5小题,每小题都给出代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写
在题后的圆括号内每一个小题:选对的得3分;不选,选错或者选出
的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内),一律得负1分
1.数集X={(2n+1)π,n 是整数}与数集Y={(4k ±1)π,k 是整数}之间的关系是 ( C ) (A )X ?Y (B )X ?Y (C )X=Y (D )X ≠Y
2.如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点,那么( C ) (A )F=0,G ≠0,E ≠0. (B )E=0,F=0,G ≠0. (C )G=0,F=0,E ≠0. (D )G=0,E=0,F ≠0. 3.如果n 是正整数,那么)1]()1(1[8
1
2---n n 的值 ( B ) (A )一定是零 (B )一定是偶数
(C )是整数但不一定是偶数 (D )不一定是整数
4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 ( A ) (A )]1,0(∈x (B ))0,1(-∈x
(C )]1,0[∈x (D )]2
,0[π∈x
5.如果θ是第二象限角,且满足,sin 12
sin 2cos θ-=θ
-θ那么2θ
(A )是第一象限角 (B )是第三象限角 ( B ) (C )可能是第一象限角,也可能是第三象限角
(D )是第二象限角
二.(本题满分24分)本题共6小题,每一个小题满分4分只要求
直接写出结果)
1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积
答:.84
π
π或
2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数? 答:x <-2.
3.求方程2
1)cos (sin 2=+x x 的解集
答:},12
|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π
-=?∈π+π= 4.求3)2|
|1
|(|-+x x 的展开式中的常数项 答:-20
5.求1
321lim +-∞→n n
n 的值 答:0
6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算)
答:!647?P
三.(本题满分12分)本题只要求画出图形
1.设?
?
?>≤=,0,1,
0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象
2.画出极坐标方程)0(0)4
)(2(>ρ=π
-θ-ρ的曲线
解:
四.(本题满分12分) 已知三个平面两两相交,有
三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行
证:设三个平面为α,β,γ,且.,,a b c =γ?β=γ?α=β?α
.,,,α?α?∴=γ?α=β?αb c b c
从而c 与b 或交于一点或互相平行
1.若c 与b 交于一点,设;,,.β∈β?∈=?P c c P P b c 有且由
a P P
b b P =γ?β∈γ∈γ?∈于是有又由.,,
∴所以a ,b,c 交于一点(即P 点)
2.若c ∥b,则
由
a
c c b ,.//,且又由有=γ?ββ?γγ?所以a ,b,c 互相平行
五.(本题满分14分)
设c,d,x 为实数,c ≠0,x 为未知数讨论方程1log
)
(-=+x x
d
cx 在什么情
况下有解有解时求出它的解
解:原方程有解的充要条件是:
2.
4
π
O 1 2 X
1. Y 1 0 O 1 X
P b αβ a γ c
b α β
a
γ c
????
?
????=+≠+>+>-(4)
)((3)
,0(2)
,0(1)
,01
x x d cx x d cx x d
cx x 由条件(4)知1)(=+x
d
cx x ,所以12=+d cx 再由c ≠0,可得
.12c d x -=
又由1)(=+x d cx x 及x >0,知0>+x
d
cx ,即条件(2)包含在条件(1)
及(4)中
再由条件(3)及1)(=+x
d cx x ,知.1≠x 因此,原条件可简化为以下的等价条件组:
???
?
???
-=≠>(6) .1x (5)
1,x (1)
,02c d x 由条件(1)(6)知.01>-c
d
这个不等式仅在以下两种情形下成立: ①c >0,1-d >0,即c >0,d <1; ②c <0,1-d <0,即c <0,d >1. 再由条件(1)(5)及(6)可知d c -≠1
从而,当c >0,d <1且d c -≠1时,或者当c <0,d >1且d c -≠1时,原方程有解,它的解是c
d
x -=1 六.(本题满分16分)
1.设0≠p ,实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1,Z 2求以Z 1,Z 2为焦点且经过原点的
椭圆的长轴的长(7分)
2.求经过定点M (1,2),以y 轴为准线,离心率为2
1的椭圆的左顶点的轨迹方程(9分)
解:1.因为p,q 为实数,0≠p ,z 1,z 2为虚数,所以
0,04)2(22>><--p q q p
由z 1,z 2为共轭复数,知Z 1,Z 2关于x 轴对称, 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点,
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,
焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+
2.因为椭圆经过点M (1,2),且以y 轴为准线,所以椭圆在y 轴右侧,长轴平行于x 轴
设椭圆左顶点为A (x,y ),因为椭圆的离心率为2
1, 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的2
1, 从而左焦点F 的坐标为),2
3(
y x
设d 为点M 到y 轴的距离,则d=1
根据
2
1
||=d MF 及两点间距离公式,可得 1
)2(4)3
2(9,)2
1
()2()123(
22
222=-+-=-+-y x y x 即
这就是所求的轨迹方程
七.(本题满分15分)
在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b,c ,且c=10,
3
4
cos cos ==a b B A ,P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值
解:由
a
b
B A =cos cos ,运用正弦定理,有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A A
B
B A =∴=∴= 因为A ≠B ,所以2A=π-2B ,即A+B=2
π
由此可知△ABC 是直角三角形
由c=10,.8,60,0,3
4222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及
如图,设△ABC 的内切圆圆心为O ',切点分别为D ,E ,F ,则 AD+DB+EC=.12)6810(2
1=++但上式中AD+DB=c=10, 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系, 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为
(x,y),则.
48876443764])2()2[(3100
121633)6()8(||||||22222
222222
22x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-?=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上,所以
40≤≤x ,
S 最大值=88-0=88, S 最小值=88-16=72
Y B (0,6) D E O ' P (x,y) X O C (0,0) A (8,0)
解二:同解一,设内切圆的参数方程为
),20(sin 22cos 22π<α≤??
?α
+=α
+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=
α
-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(2
2
2222
因为πα20<≤,所以 S 最大值=80+8=88, S 最小值=80-8=72
八.(本题满分12分)
设a >2,给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()
1(221 =-=+n x x x n n
n 求证: 1.);2,1(1,21
=<>+n x x x n
n n 且
2.);2,1(21
2,31 =+
≤≤-n x a n n 那么如果 3..3,3
4lg 3lg
,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果
1.证:先证明x n >2(n=1,2,…)用数学归纳法
由条件a >2及x 1=a 知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k(k ≥1)时成立
当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知
,0)2(044222
1>-?>+-?>+k k k k x x x x
再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立,所以不等式21>+k x 也成立从
而不等式x n >2对于所有的正整数n 成立
(归纳法的第二步也可这样证:
2)22(2
1]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x
所以不等式x n >2(n=1,2,…)成立)
再证明
).2,1(11
=<+n x x n
n 由条件及x n >2(n=1,2,…)知 ,21)1(211>?<-?<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x
n
n 也成立 (也可这样证:对所有正整数n 有
.1)1
21
1(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证:对所有正整数n 有
,0)1(2)2(1>--=
-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x
n
n )
2.证一:用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k(k ≥1)时成立
当n=k+1时,由条件及2>k x 知
,
0)]21
2()[2(0)2
12(2)212(2)2
12)(1(221112
2
1≤+--?≤+++-?+-≤?+
≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x
再由2>k x 及归纳假设知,上面最后一个不等式一定成立,所以不等式k k x 2121+
≤+也成立,从而不等式1
2
1
2-+≤n n x 对所有的正整数n 成立
⌒
证二:用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法:
由条件知)1
1
1(2
11-+
+=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=??
?
???+++≤
-+ 3.证:先证明若.4
3
,31<>+k k k x x x 则
这是因为 .4
3
)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当3
4lg 3lg
a
n >时,有,31≥+k x 则由第1小题知
.3121≥>>>>+n n x x x x
因此,由上面证明的结论及x 1=a 可得
,)4
3
(31231211n n n n a x x x x x x x x ???
=≤++ 即3
4lg 3lg
a
n <,这与假设矛盾所以本小题的结论成立
九.(附加题,本题满分10分,不计入总分)
如图,已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ,一动
点P 自切点A 沿直线L 向右移动时,取弧AC 的长为AP 3
2
,直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=
4
3π
时,点P 的速度为V 求这时点M 的速度
⌒ 解:作CD ⊥AM ,并设AP=x ,
AM=y
,∠COD=θ由假设, AC 的长为x AP 3
232
=, 半径OC=1,可知θx 3
2=
考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ,DC
DM
AP AM =∴
而.)43()843(2,,43])3
2sin ()
32
cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([
/.32sin )
32
cos 1(.3
2sin )
32
cos 1(,32sin ),32cos 1(2
22
v dt dy M v dt
dx x dt
dx x x x x x x x x x x dt dy x
x x x y x x y x
y x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=
--=
∴=--=点的速度
代入上式得时当解得
M O 1 D θ C A P L
普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题:本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合, , 则 A . B . C . D . 2. A . B . C . D . 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4.若, 则 A . B . C . D . 5.的展开式中的系数为 A .10 B .20 C .40 D .80 6.直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A . B . C . D . 7.函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =, ,A B =I {}0{}1{}12,{}012, ,()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26,[]48 , ??42 2y x x =-++
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A .0.7 B .0.6 C .0.4 D .0.3 9.的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A . B . C . D . 10.设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A . B . C . D . 11.设是双曲线 ()的左, 右焦点, 是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线, 垂足为.若, 则的离心率为 A B .2 C D 12.设, , 则 A . B . C . D . 二、填空题:本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ,,a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ,, ,ABC △D ABC -12F F ,22 221x y C a b -=:00a b >>, O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+
历年高考真题(数学文化) 1.(2019湖北·理)常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数, 如他们研究过图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能表示成三角形, 将其称为三角形数;类似地, 称图2中的1, 4, 9, 16…这样的数为正方形数, 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.(2019湖北·文)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 A .1升 B .6667升 C .4447升 D .3337 升 3.(2019湖北·理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 升. 4.(2019?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径, “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V , 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据π =3.14159…..判断, 下列近似公式中最精确的一个是( ) A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.(2019?湖北)在平面直角坐标系中, 若点P (x , y )的坐标x , y 均为整数, 则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点, 则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S , 其内部的格点数记为N , 边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形, 对应的S=1, N=0, L=4. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S , N , L 分别是________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a , b , c 为常数.若某格点多边形对应的N=71, L=18, 则S=________(用数值作答). 6.(2019?湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周, 令相乘也, 又以高乘之, 三十六成一, 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h , 计算其体积
高考理科数学试题及答案 (考试时间:120分钟试卷满分:150分) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i - 2. 设集合{}1,2,4A =,{} 2 40x x x m B =-+=.若{}1A B =,则B =() A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百 八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某 几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π 5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ,则2z x y =+的 最小 值是() A .15- B .9- C .1 D .9 6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共 有() A .12种 B .18种 C .24种 D .36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀, 2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
2015 年四川省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的。 1.( 5 分)( 2015?四川)设集合A={x| ( x+1 )( x﹣ 2)< 0} ,集合 B={x|1 < x< 3} ,则 A ∪B= () A . { x|﹣ 1< x< 3} B . { x|﹣ 1<x< 1}C. { x|1< x< 2} D . { x|2< x< 3} 考点:并集及其运算. 专题:函数的性质及应用. 分析:求解不等式得出集合A={x| ﹣ 1< x< 2} , 根据集合的并集可求解答案. 解答:解:∵集合 A={x| (x+1 )( x﹣2)< 0} ,集合 B={x|1 < x< 3} , ∴集合 A={x| ﹣ 1< x< 2} , ∵A∪ B={x| ﹣ 1< x< 3} , 故选: A 点评:本题考查了二次不等式的求解,集合的运算,属于容易题. 2.( 5 分)( 2015?四川)设 i 是虚数单位,则复数i 3 ﹣ =() A .﹣ i B .﹣3i C. i D . 3i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析: 通分得出,利用 i 的性质运算即可. 解答: 解:∵ i 是虚数单位,则复数 i 3 ﹣, ∴===i , 故选; C 点评:本题考查了复数的运算,掌握好运算法则即可,属于计算题. 3.( 5 分)( 2015?四川)执行如图所示的程序框图,输出s 的值为()
A . B .C.﹣ D . ﹣ 考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k 的值,当 k=5 时满足条件k> 4,计算并输出S 的值为. 解答:解:模拟执行程序框图,可得 k=1 k=2 不满足条件k> 4, k=3 不满足条件k> 4, k=4 不满足条件k> 4, k=5 满足条件k> 4,S=sin=, 输出 S的值为. 故选: D. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题. 4.( 5 分)( 2015?四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数 是() A . )B. y=sin (2x+ ) y=cos( 2x+ C. y=sin2x+cos2x D . y=sinx+cosx 考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质.
2015年高考数学试卷 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(5分)(2015?原题)复数i(2﹣i)=() A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 2.(5分)(2015?原题)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为() A.0 B.1 C.D.2 3.(5分)(2015?原题)执行如图所示的程序框图输出的结果为() A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8) 4.(5分)(2015?原题)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,“m∥β“是“α∥β”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5分)(2015?原题)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()
A.2+B.4+C.2+2D.5 6.(5分)(2015?原题)设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 7.(5分)(2015?原题)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是() A.{x|﹣1<x≤0} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|﹣1<x≤2} 8.(5分)(2015?原题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是() A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是() 新农村建设后,种植收入减少 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 新农村建设后,养殖收入增加一倍 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ, 在整个图形中随机取一点, 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则()
历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. m },B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则
B C 2014年普通高等学校招生全国统一考试理科(四川卷) 参考答案 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1.已知集合2 {|20} A x x x =--≤,集合B为整数集,则A B ?= A.{1,0,1,2} -B.{2,1,0,1} --C.{0,1}D.{1,0} - 2.在6 (1) x x +的展开式中,含3x项的系数为 A.30B.20C.15D.10 3.为了得到函数sin(21) y x =+的图象,只需把函数sin2 y x =的图象上 所有的点 A.向左平行移动 1 2 个单位长度B.向右平行移动 1 2 个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度 4.若0 a b >>,0 c d <<,则一定有 A. a b c d >B. a b c d
参考公式:如 果事件A、B互斥,那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立,那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A={1.3.m},B={1,m},A B=A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点,焦距为4一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中,AB=2,CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点,则直线AC 1 1 A2B3C2D1 (5)已知等差数列{a}的前n项和为S,a =5,S=15,则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 (6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则
(A) (B ) (C) (D) 3 (7)已知α 为第二象限角,sin α +sin β = ,则 cos2α = (A) - 5 3 (B ) - 5 5 5 9 9 3 (8)已知 F1、F2 为双曲线 C :x 2-y 2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 (B ) 5 (C) 4 (D) 5 1 (9)已知 x=ln π ,y=log52, ,则 (A)x <y <z (B )z <x <y (C)z <y <x (D)y <z <x (10) 已知函数 y =x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c = (A )-2 或 2 (B )-9 或 3 (C )-1 或 1 (D )-3 或 1 (11)将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有 (A )12 种(B )18 种(C )24 种(D )36 种 7 (12)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE =BF = 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入 射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若 x ,y 满足约束条件 (14)当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时,x=___________。 (15)若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 的系数为 _________。 (16)三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos (A-C )+cosB=1,a=2c ,求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(四川卷) 参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k )=C k n p k (1-p )n - k (k =0,1,2,…,n ) 球的表面积公式 S =4πR 2 其中R 表示球的半径 球的体积公式 V = 43 πR 3 其中R 表示球的半径 第一部分 (选择题 共60分) 本部分共12小题,每小题5分,共60分. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.)(1+x )7的展开式中x 2的系数是( ) A .42 B .35 C .28 D .21 2.复数 2 (1i)2i -=( ) A .1 B .-1 C .i D .-i 3.函数29 3()3ln(2)3x x f x x x x ?- =-??-≥? ,,,在x =3处的极限( ) A .不存在 B .等于6 C .等于3 D .等于0 A .101 B .808 C .1 212 D .2 012 4.如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至 E ,使AE =1,连结EC ,ED ,则sin ∠CED =( ) A B C .10 D .15 5.函数y =a x -1 a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( ) 6.下列命题正确的是( ) A .若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B .若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C .若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D .若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 7.设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 |||| =a b a b 成立的充分条件是( ) A .a =-b B .a ∥b C .a =2b D .a ∥b 且|a |=|b | 8.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M
全国卷历年高考真题汇编 三角 1(2017全国I 卷9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ,则下面结论正确的是() A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度,得到曲线2C B .把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度,得到曲线2C C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度,得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =,22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理. 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω, 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x . 【解析】注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+ x 平移至π 3 +x , 【解析】根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π 12 2 (2017全国I 卷17题)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC △的 面积为2 3sin a A . (1)求sin sin B C ; (2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC △的周长. 【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】(1)∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. },B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1= E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (A) (B ) (C) (D)
2015年四川省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 1.(5分)(2015?四川)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=() A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 2.(5分)(2015?四川)设i是虚数单位,则复数i3﹣=() A.﹣i B.﹣3i C.i D.3i 3.(5分)(2015?四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为() A. ﹣B.C. ﹣ D. 4.(5分)(2015?四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是() A. y=cos(2x+)B. y=sin(2x+) C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx 5.(5分)(2015?四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的 两条渐近线于A、B两点,则|AB|=() A.B.2C.6D.4
6.(5分)(2015?四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有() A.144个B.120个C.96个D.72个 7.(5分)(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足 ,,则=() A.20 B.15 C.9D.6 8.(5分)(2015?四川)设a、b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的()A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 9.(5分)(2015?四川)如果函数f(x)=(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间 []上单调递减,那么mn的最大值为() A.16 B.18 C.25 D. 10.(5分)(2015?四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是() A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。 11.(5分)(2015?四川)在(2x﹣1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).12.(5分)(2015?四川)sin15°+sin75°的值是. 13.(5分)(2015?四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时. 14.(5分)(2015?四川)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.
全国高考理科数学历年试题分类汇编 (一)小题分类 集合 (2015卷1)已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A ?B 中的元素个( )(A ) 5 (B )4 (C )3 (D )2 1. (2013卷2)已知集合M ={x|-3<x <1},N ={-3,-2,-1,0,1},则M∩N =( ). A .{-2,-1,0,1} B .{-3,-2,-1,0} C .{-2,-1,0} D .{-3,-2,-1} 2. (2009卷1)已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A ?B= A .{3,5} B .{3,6} C .{3,7} D .{3,9} 3. (2008卷1)已知集合M ={ x|(x + 2)(x -1) < 0 }, N ={ x| x + 1 < 0 },则M∩N =( ) {A. (-1,1) B. (-2,1) C. (-2,-1) D. (1,2) 复数 1. (2015卷1)已知复数z 满足(z-1)i=1+i ,则z=( ) (A ) -2-i (B )-2+i (C )2-i (D )2+i 2. (2015卷2)若a 实数,且 i ai ++12=3+i,则a=( ) B. -3 C. 3 D. 4 3. (2010卷1)已知复数() 2 313i i z -+= ,其中=?z z z z 的共轭复数,则是( ) A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量
1. (2015卷1)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= ( ) (A ) (-7,-4) (B )(7,4) (C )(-1,4) (D )(1,4) 2. (2015卷2)已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. (2013卷3)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60度,()0,1=?-+=t t 且,那么t= 程序框图 (2015卷2)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入的a,b 分别为14,18,则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 (2011卷1)在下列区间中,函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 (2010卷1)已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ,若啊a,b,c,互不相等,且()()()c f b f a f ==, 则abc 的取值范围是( )
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 (2019全国2卷文)8.若x 1=4π,x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= A .2 B .3 2 C .1 D . 1 2 答案:A (2019全国2卷文)11.已知a ∈(0, π 2),2sin2α=cos2α+1,则sin α= A .15 B C D 答案:B (2019全国2卷文)15.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =___________. 答案:4 3π (2019全国1卷文)15.函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________. 答案:-4 (2019全国1卷文)7.tan255°=( ) A .-2 B .- C .2 D . 答案:D (2019全国1卷文)11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ,4 1cos -=A ,则b c =( ) A .6 B .5 C .4 D .3 答案:A (2019全国3卷理) 18.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin 2 A C a b A +=.
(1)求B ; (2)若△ABC 为锐角三角形,且1c =,求△ABC 面积的取值范围. (1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sin sin 2 A C B +=. 由180A B C ++=?,可得sin cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222 B B B =. 因为cos 02 B ≠,故1 sin =22B ,因此60B =?. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积ABC S ?. 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+. 由于△ABC 为锐角三角形,故090A ?<,090C ?<. 由(1)知120A C +=?,所以3090C ?<,故122 a < 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 (这份试题共八道大题,满分120分 第九题是附加题,满分10分,不计入总分) 一.(本题满分15分)本题共有5小题,每小题选对的得3分;不选,选错或多选得负1分1.数集X = {(2n +1)π,n 是整数}与数集Y = {(4k ±1)π,k 是整数}之间的关系是 ( C ) (A )X ?Y (B )X ?Y (C )X =Y (D )X ≠Y 2.如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点,那么( C ) (A )F =0,G ≠0,E ≠0. (B )E =0,F =0,G ≠0. (C )G =0,F =0,E ≠0. (D )G =0,E =0,F ≠0. 3.如果n 是正整数,那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 ( B ) (A )一定是零 (B )一定是偶数 (C )是整数但不一定是偶数 (D )不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 ( A ) (A )]1,0(∈x (B ))0,1(-∈x (C )]1,0[∈x (D )]2 ,0[π∈x 5.如果θ是第二象限角,且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ ( B ) (A )是第一象限角 (B )是第三象限角 (C )可能是第一象限角,也可能是第三象限角 (D )是第二象限角 二.(本题满分24分)本题共6小题,每一个小题满分4分 1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积 答:.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数? 答:x <-2. 3.求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答:},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4.求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答:-205.求1 321lim +-∞→n n n 的值 答:0 6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算) 答:!647?P 三.(本题满分12分)本题只要求画出图形 1.设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2.画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解(1) (2) 2008年四川省高考数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)(2008?四川)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,4,5},则集合?U(A∩B)=() A.{3} B.{4,5} C.{3,4,5} D.{1,2,4,5} 2.(5分)(2008?四川)复数2i(1+i)2=() A.﹣4 B.4 C.﹣4i D.4i 3.(5分)(2008?四川)(tanx+cotx)cos2x=() A.tanx B.sinx C.cosx D.cotx 4.(5分)(2008?四川)直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为() A.B.C.y=3x﹣3 D. 5.(5分)(2008?四川)若0≤α≤2π,sinα>cosα,则α的取值范围是()A.(,)B.(,π)C.(,)D.(,) 6.(5分)(2008?四川)从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有() A.70种B.112种C.140种D.168种 7.(5分)(2008?四川)已知等比数列{a n}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1]B.(﹣∞,0)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) 8.(5分)(2008?四川)设M,N是球心O的半径OP上的两点,且NP=MN=OM,分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:() A.3,5,6 B.3,6,8 C.5,7,9 D.5,8,9 9.(5分)(2008?四川)设直线l?平面α,过平面α外一点A与l,α都成30°角的直线有且只有() A.1条B.2条C.3条D.4条 10.(5分)(2008?四川)设f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,则f(x)是偶函数的充要条件是() A.f(0)=1 B.f(0)=0 C.f′(0)=1 D.f′(0)=0最新史上最难的全国高考理科数学试卷
2008年 四川省高考数学试卷(理科)