球的内切和外接专题练习与答案

球的内切和外接

知识点回顾：

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球

内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

题型一：求正方体的外接球的有关问题

例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为？

题型二：求长方体的外接球的有关问题

例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为？

题型三：三棱椎构造法

例3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为1，则其外接球的表面积是？

题型四：正四面体的内切圆和外接圆

正四面体（棱长为a ）的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。 外接球半径：a R 46=。内切球半径：a r 12

6= 方法一：构造法外接圆

方法二：等体积法内切圆

A BCD O ABC O BCD O CDA O DA

B V V V V V -----=+++

课后练习：

1、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为？

2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。

3、已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为

323

π，则正方体的棱长为

4、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） ππππ6)33)4)3)D C B A

5、 如果三棱锥的每条侧棱长和底面边长都是a ，那么这个三棱锥的外接球的体积是（ ）

（A ）386a π （B ）32762a π （C ）3968a π （D ）36

6a π 6、正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版))解析

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 （4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠? AB AC SA BAC 则该四面体的外接 球的表面积为（ ） π11.A π7.B π310. C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 图2 图3 S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤： 第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半 径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2 1 1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 2 2 )2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=； ②2 12 2 OO r R +=?2 12OO r R += 2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等? 三棱锥ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 图6 P A D O 1 O C B 图7-1 P A O 1 O C B 图7-2 P A O 1 O C B 图8 P A O 1 O C B 图5 A D P O 1O C B

高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 24368 936 ?? ???= =213 x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 2 22c b a R ++=

高中语文 处理球的 内切 外接 问题新人教版

高中语文 处理球的 内切 外接 问题新人教版 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。 解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的 对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积223434a a S =?=表． 正四面体的体积222212 34331BE AB a AE a V BCD A -=??=- 322212 233123a a a a =???? ??-= BCD A V r S -=?表31 ，a a a S V r BCD A 12631223323=?==∴-表 在BEO Rt ?中，222EO BE BO +=，即22233r a R +??? ? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥ 设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2， 得截面图MEF ?及内切圆O 不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ?的内心. 设球O 的半径为r ，则MF EM EF S r MEF ++=?2，设a EF AD ==,1=?AMD S . 图2 图1

空间几何体的外接球和内切球问题说课材料

空间几何体的外接球和内切球问题

空间几何体的外接球和内切球问题 类型1 外接球的问题 1.必备知识： (1)简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. (2)构造正方体或长方体确定球心. (3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法 1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径 例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.32π D.36π 训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2 ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773 π B.2873π C.19193π D.76193 π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234π C.64π D.643π 类型2 内切球问题 1.必备知识： (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.

高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和 外接球问题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2， 则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦 定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，

高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习

高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020

内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再

【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题

【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 2436893 6 ?????==213x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3= d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 222c b a R ++=

外接球与内切球问题

立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱 球径公式：2 22h R r ? ? =+ ??? ， （r 为底面外接圆半径） 球包正方体 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球 包直锥 三棱锥 四棱锥 r 速算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：()2 2 2 h R r R -+=22 22 202h r h hR r R h +?-+=?=， （h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________． （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________． （3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________． 例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ． B ． C ． D ． π34 π2 π4 π

内切球和外接球问题专题复习

内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

与内切球外接球半径相关的问题

与内切球外接球半径相关的问题 有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。 我们就这部分问题，尽量总结全面。 1． 内切球和外接球的基本定义; 立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。 基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。 2.长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为2 22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2 2 22c b a R ++= 3.正方体的外接球： 正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 4.正四面体的内切球、外接球 （1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 （2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =，内切球半径14 r h = 5. 直棱柱的外接球： 直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 （1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 （2） 直棱柱的体对角线2=底面图形的外接圆直径2+侧棱（即高）2 6.正棱锥的外接球： 正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。 一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222 ()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的23 ，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 7.补体法： （1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。 （2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补

(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

*创作编号：GB8878185555334563BT9125XW* 创作者：凤呜大王* 2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222 R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各 个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? ，球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱

四 棱 锥 r 速 算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥 例：1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB． 3 4 π C． 2 π D． 4 π 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1 h=，1 R=，底 面半径为r，则由 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? 2 222 13 1 24 r r ?? =+?= ? ?? ，2 3 4 V r h π π ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

微专题2 与球有关的内切、外接问题

微专题2 与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________. 答案 14π 解析 因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. (2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为3，则这个球的体积为________. 答案 4π3 解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有????? 6x ＝3，98＝6×34x 2 h ，∴????? x ＝12， h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝1 2， 球心到底面的距离d ＝ 32 . ∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π 3 . 反思感悟 本题运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体 例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 答案 A 解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

外接球内切球问题标准答案

1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ． 22 B ．1 C ．212 + D ．2 1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的 棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 2l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3

1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体

空间几何的外接球和内切球 优质专题

空间几何体的外接球与内切球 专题 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （ 2）933342=++=R ，ππ942==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心， ∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36 （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?AB AC SA BAC 则该四面 体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π3 10 . C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ?中，7120cos 2222=??-+= BC AB AB AC BC ， 7=BC ，ABC ?的外接球直径为3 7 22 37sin 2= =∠= BAC BC r ， ∴340 4)3 72( )2()2(2222= +=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则 (3)题-2 A

几何体的外接球与内切球问题归纳

几何体的外接球与内切球问题归纳 2020.9.10 课前测验： 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 2..正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（） A．4πB．16πC．D． 3.一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（） A．24πB．C．D．12π 4.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．πD．π 5.在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′＝，AB＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A．7πB．C．D．8π 例1、在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，且P A，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（） A．4πB．8πC．16πD．2π 变式训练：已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为（） A．144πB．72πC．100πD．64π 例2、已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC ＝，则球O的体积为（） A．B．C．D． 变式训练：已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AB ＝AC＝2，则球O的表面积为（） A．4πB．C．20πD．36π 例3、已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（）A．16πB．C．64πD．

高中必备比例及外接球内切球问题(含答案)

高考必背比例 1. 三角形重心(中线的交点)分各条中线的比是2:1(这个在证明和计算题中可直接用,不会扣分) 2.圆的内接四边形对角互补 3.正方体的体对角线长a 根3(正方体边长a) 4.还有圆的相交弦定理在与球体有关的计算题中很有用处 5.正三角形四心共点(中心,重心,内心,外心) 外接球内切球问题 外接球半径：四分之根号六 正四面体 r=(a 根6)/12 R=(a 根6)/4 h=(a 根6)/3 正八面体 r=(a 根6)/6 R=(a 根2)/2 1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若 12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A ．3 B ．13π C ．23 π D ．3 5.已知正方体外接球的体积是 π332，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3 34 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱