2010年新课程高考试题解析几何模块

2010年新课程高考试题解析几何模块

考查特点及趋势

扶风高中刘军鹏

2010年作为新课程改革的首批接受高考检验的学生和教师，对我省高考试题感触波多，作为一名高中数学教师，自然对数学试题特别关注，也进行了深刻的研究，细致的分析和认真的总结，也和同行们就如何在2011年高考复课中贯彻今年高考试题中体现出来的新思路、新要求、新特点进行了探讨和研究，得出了好多值得借鉴和反思的东西，收益匪浅。

下面从我个人角度就2010年新课程高考试题解几模块考查特点和趋势谈一些不太成熟的观点和看法，仅供同仁们参考，以期达到管中窥豹，抛砖引玉的目的。

一、2010年课改省份数学试题分析（以陕西卷为例）

2010年陕西高考数学卷解几模块命制了一个选择题（第8题），一个填空题（第15题，3选1），一个解答题（第22题），这和往年命题方式和题量大小是一致的，与其他课改省份基本一致，在这方面没有太多变化，比较稳定，具体题目如下：

选择第8题，已知抛物线y2=2px（p>0）的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为（）（答案C）（分值5分）

A、1/2

B、1

C、2

D、4

这道题考查二次曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，属于基础题和送分题，也是常规题型，这是对学生解几模块考查基本的要求。

填空题第15题（三选一）已知圆C

的参数方程为x cos y=1+sin α

α

=α为参数，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 极坐标方程为ρsin θ=1，则直线L 与圆C 的交点的直角坐标为

[答案（-1，1）和（1，1）][分值4分]

这是今年试题中一大特点，也是一大变化，是近年来所不具有的，具有鲜明的课改特色，它考查了曲线方程形式的特征，目的是要求能正确理解曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程之间的区别和联系。

解答题，第20题，如图：椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>，顶点为A 1A 2B 1B 2，焦点为F 1，F 2，11||A B =11222A B A B S = 112

2B F F B S （1）求椭圆C 的方程。

（2）设n 是过原点的直线，L 与n 垂直相交于p 点与椭圆相交于A 、B 两点的直线，|OP |=1，是否存在上述直线L 使1AP PB ?=成立？若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由。

解：（1）由11||A B =知a 2+b 2=7

①由11222A B A B S = 1122B F F B S 知a=2c

②又由b 2=a 2-c 2③

由①②③解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程

为22143x b +=（2）设A、B 两点的坐标分别为（x 1、y 1），

（x 2，y 2），

假设使1AP PB ?=成立的直线L 存在。

①当L 不垂直于x 轴时，设直线L 的方程为y=kx+m，由于L 与n 垂直第20题图

相交于P 点，且|OP

1=，即m 2=b 2+1∵1AP PB ?=|OP |=1∴()()OA OB OP PA OP PB OP OP PB PA PB

∴?=++=+?+?=1+0+0-1=0即x 1x 2+y 1y 2=0

将y=kx+m 代入椭圆方程，得（2+4K 2）x 2+8km+（4m 2-12）=0由根与系数关系可得122834km

x x k =-+④

2122

41234m x x k -=+⑤0=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+m）（kx 2+m）

=x 1x 2+k 2x 1x 2+k（x 1+x 2）+m 2

将④⑤代入上式并化简得7m 2-12k 2-12=0⑥

将m 2=1+k 2代入⑥并化简得-5（k 2+1）=0矛盾

即此时直线L 不存在。

②当L 垂直于x 轴时，满足|OP|=1的直线L 的方程为x=1或x=-1，当x=1时，A、B、P 的坐标分别为33(1,22-∴3

3(0,),(0,)22

AP PB =-=-∴91AP PB ?=±与题设矛盾当x=-1时，同时可得1AP PB ?≠与题设矛盾

即此时直线L 不存在。综上可知，使1AP PB ?=成立的直线L 不存在[分值，13分]

这道题浓缩了解几模块大部分知识点和解题方法，对学生能力的考查上升到了一个更高的高度，能否正确解答此题是学生数学成绩高低的一个分水岭，更是尖子生的能否顺利进行名牌大学的一块试金石，解几模块在高中数学中以直线和二次曲线方程的求解和性质的研究与应用为核心，这

道题很好地体现出了这一点，同时解题中常用的方法、技巧如（1）待定系数法；（2）设而不解；（3）整体代换；（4）分类讨论；（5）数形结合等也都有所体现，这些都和历年命题的思想一脉相承，保证了高考对解几知识考查的延续性和平稳性，同时今年这道题运用向量运量去进行处理，大大简化了运算量，从而保证了解题正确性的进一步提高。

下面再看看2009-2010年部分省市解机模块试题。

2009海南（宁夏卷）（理科）

4、双曲线22

1412x y +=的焦点到渐近线的距离为（）

A

、B 、2C

D 、1[5分]

13、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线L 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线L 的方程为。（5分）

20、已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xoy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离是7和1。

（1）求椭圆C 的方程。

（2）若Ｐ为椭圆Ｃ上的动点，Ｍ为过Ｐ且垂直于x 轴的直线上的一点，||||OP OM λ=，求点Ｍ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

[12分]

2010年天津（理科）

5、已知曲线22

22|1(0,0)x y a b a b -=>>

的一条渐近线方程为y =，它的一

个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（）

A 、22

136108x y -=B 、221927x y -=C 、22110836x y -=D 、22

1279x y -=[5分]

13、已知圆C 的圆心是直线1x t y t =??=+?（t 为参数）与x 轴的交点，且圆

C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程是[4分]

20、已知椭圆221(0)x y a b +=>>的离心率

3e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

（1）求椭圆的方程。

（2）设直线L 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0），点Q （0，y 0）在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ?=，求y 0的值。[12分]

二、2011年解几模块复课中的一些建议和作法

通过对10年试题的分析，结合学生实际和历年来自己在解几复课中积累的经验和教训，为了更好地提高解几模块的复课效率，使学生成绩能有一个普遍提升，我认为应该做好以下几个方面的工作。

对学生（1）理清基本概念、基本公式，牢固掌握直线，二次曲线方程的特征，相应的几何性，千万不能轻视学生对这些知识点的理解和掌握。如直线倾斜角的定义与变化范围，倾斜角和斜率之间的关系。直线的方向向量对直线几何性质的刻画，用几何法研究直线和二次曲线位置关系等。

（2）要有扎实高效的运算能力，针对解几大题知识内容量大，运算过于复杂，繁琐的特点，在平时复课中，一定要有意识地对运算能力和方法加以磨炼。从历年解几失误的原因上分析，由于计算问题导致大部分学生得不了分，基础好点的学生也仅能从第1问上得到可怜的2-3分；第2问题便不知所措，再加之平时解几问题运算量普遍较大，所用知识点太多，学生都不愿意去面对，更有甚者，有些学生主动放弃，这些都对学生成绩的提升是有百害无一利的，是万万要不得的。

（3）要注重数形结合思想的体现和运用

解析几何就是用代数的方法去研究几何图形性质的，对这门学科学生一定要明白它首先是一门几何，那么它就离不开作图，好多解析几何问题解决的思路都是通过对相应正确图形分析而得到的，那么不注意作图，作出相应的精确图形，就可能使问题最终完美解决失去一半的可能性。

（4）要注意解析几何知识与其他数学知识的紧密结合。

解析几何有二大任务。

其一：根据条件求曲线方程。

其二：利用方程研究曲线几何性质

其一是基础，其二是目的。学生通过平时的训练都认为完成这二大任务无非是解方程，解不等式，代数运算等。不太注意把问题与其他数学知识联系，如数列知识，平面向量等，特别是近年来平面向量与解析几何问题的联系越来越紧密，陕西2009年和2010年解几大题都体现出了这一点。

（5）要有意识消除去解几问题解决的恐惧心理。

平时和历次考试学生对解几尽管都花了大量时间和气力，就是得不了分，从而造成学生对这个模块的恐惧，一看到这类题，不是主动放弃，便是敷衍应对，始终静不少心来，这也是为什么解几高考成绩历年上不去的一个主要原因。

对教师，（1）帮助和督促学生理顺知识体系，抓住知识主干，解决学生在解几问题中容易出现的错误，弄清原因，制定出相应的改进措施。如求直线方程，学生都一开始就把直线方程设为y=kx+b，这样就把有可能直线没有斜率的可能性排除了，从而造成的结果不完整。

（2）注意解题方法和技巧的培养。

解几大题相当一部分学生都能理出一个解题思路，但往往顺着这个思

路不是运算量太大，便是作不少去。造成这个局面的原因就是解题方法单一，解题思想不够灵活，技巧性不够强，因此在这方面要求我们教师要下大气力引导学生去复习、总结、掌握一些常见的方法技巧。如：设而不懈、整体代换、分类讨论、待定系数法、反证法等，特别是设而不解方法的应用（近几年解几大题都体现出了这个方法应用），这一项工作实际上最终取决于我们复课成败。

（3）注意对解析题型的归类训练。

近几年来高考解几模块始终是二小一大三个题，二小题主要考查直线和圆锥曲线方程求解、几何性质的简单应用，都属于基础题目，也是送分题目，在平时复习和训练时一定要保证学生完成的正确率，万不可丢分。一个大题是对解几知识和其他数学知识及数学综合能力的考查，难度大，得分率普遍较低，但这个题目一般有几问，而前面（1）到（2）问也属于基础题，一定要求学生认真完成，切不可失误（否则，后面只能是一错再错），在解决后面问题时都要以前面的结果作基础。或以前面解决方法作辅垫，引出思路，形成一个由简到难，由特殊到一般的知识体系。这些都是历年来对这道大题考查的普遍规律，希望在复课时有意识加强对学生方面意识的训练和培养。

（3）注意其他数学知识在解几题型中的巧妙运用，由于新课标增加了平面向量知识，而利用平面向量知识研究平面图形的性质可以是以前的研究方法更简单，运算量大大简化，这一点在平时训练时学生们都有所体会，况且近几年高考对解几问题的考查与平面向量结合越来越紧密，这从近几年其他课改省份高考试题中很能说明这一点，所以加强借助平面向量解决解几问题的训练就显得越来越重要。

（4）注意学生解几学习兴趣的培养，帮助他们树立正确解决解几问

题的必胜信心。

历年来高考试题最后的质量分析表明解几模块是数学成绩上不去的一个重要因素，加之平时学生训练时，对这方面知识不是做错，便是无从下手。又由于题目所涉及知识点太多，运算量过大且过于繁琐，以至于好多学生对这方面问题从心底就有一种恐惧和畏难情绪，从而产生厌学情绪，针对以上原因，在平时训练时要加强学生心理疏导。从选题上要严格把握，太难太偏的题不要选，简单但运算过于繁琐的题目不要选，重复题型不要选，每次对这块知识的考查力争让学生都能感到有所收获，从而产生成就感，以激励学生学习的热情和兴趣。

（5）要特别强调运算能力的培养，解几问题，特别是哪道大题，如果没有一个扎实高效的运算能力，即是思路和方法再对头，也是没有意义的。近几年来因计算出错导致解几大题失分，甚至不得分的例子实在是太多太多了，所以在知识体系完整、方法得当、思路正确的前提下一定要加强运算能力的训练，否则一切努力都会失去意义。

三、对2011年陕西高考数学卷解几模块考查趋势的预测

2010年高考已成为过去，2011年才是我们今年工作的目标和方向，为了更好地完成2011年高考复课工作，除了认真学习《新课程标准》《考试说明》和扎实地搞好复课工作外，还有必要根据近几年高考对解几模块考查的范围、特点、难度等作一下预测（特别是2010年试题）。

1、题量和考查范围

纯碎解几题目仍会沿用二小一大模式，不会有所增加，也不可能减少，命题的范围基本和以往保持一致，这样才会保持试题的平稳与连贯性。

2、试题的难度

二小题仍以曲线方程求解，曲线性质的简单应用为目的，不会太难，

一大题以二次曲线与直线的位置关系为依托，从而把常见的解几知识渗透进去，把常用的数学方法和思想体现出来，从而达到预期的目标，有一定的难度。

3、试题的结构与考查方式

由于解几在高考试卷中所占比例有限，不可能面面俱到，只能有所侧重，2009年和2010年二小题都以直线与圆锥曲线方程的求解，简单的直线与圆锥曲线位置关系为主，2010年在3选1中考查了曲线方程形式之间的转化，2011年二小题基本和前几年不会有太大变化，只不过形式上可能有所变化与更新。如选修内容再考解几知识，有可能考查直线的标准式参数方程中参数的几何意义的应用。一大题的知识容量大，但直线与圆锥曲线位置关系仍是考查的主旋律，借助于圆锥曲线几何性质（大有可能仍是椭圆，因为抛物线与圆太简单，而双曲线太复杂）研究有限制条件曲线方程或方程的存在性。

上面从三个方面谈了自己对2010年高考课改省份解几模块命题的一些看法，对2011年高考复课解几模块复习的一些建议，以及对2011年高考解几模块命题的预测，有好多不过是自己的一知半解，甚至是错误的，这在同行们看来也许有点班门弄斧之嫌，但只要这些东西对我们迎接2011年高考有所帮助，那我也知足了。

最后，感谢各位老师，感谢领导给了我这次学习的机会。

谢谢大家！