导数计算公式
导数计算公式 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
导数公式
一、基本初等函数的导数公式
已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1
x ；(5)y ＝f (x )＝x .
问题：上述函数的导数是什么
提示：（1）∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －fx Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝0.
2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ????
1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .
函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律
提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x
1
2
)′＝12
x
112
－＝
12x
，∴(x α)′＝αx α－1.
基本初等函数的导数公式
已知f (x )＝x ，g (x )＝1
x .
问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么
问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1
x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋
1x ＋Δx －? ????
x ＋1x ＝Δx ＋－Δx xx ＋Δx
，
∴Δy Δx ＝1－1xx ＋Δx ，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ??????1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1
x 2.
问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系
提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则
1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
′＝
f ′xgx －fx
g ′x
[gx ]2
(g (x )≠0)
题型一 利用导数公式直接求导
[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2
1log =； (4)y ＝4
x 3；(5)12cos 2sin 2
-??? ?
?
+=x x y .
[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝1
x ln 10；
(3)y ′＝
1
x ln 12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝344x ；(5)∵y ＝
? ????sin x
2＋cos x 22
－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x
2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
练习 求下列函数的导数：
(1)y ＝? ????1e x ；(2)y ＝? ????110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.
解：(1)y ′＝??????? ????1e x ′＝? ????1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x ；(2)y ′＝??????? ????110x ′＝? ??
?
?110x
ln 110＝－ln 10
10x ＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′
＝0；
(4)∵y ＝3lg 3
x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，
∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .
题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 3
·e x
；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2
＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1
.
[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－1
2cos x . (3)y ′＝(x 2
＋log 3x )′＝(x 2
)′＋(log 3x )′＝2x ＋1
x ln 3.
(4)y ′＝e x ＋1′e x －1－e x ＋1e x －1′e x －12＝e x e x －1－e x ＋1e x e x －12＝－2e x
e x －12.
练习 求下列函数的导数：
(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1
x 2.
解：(1)y ′＝? ????
cos x x ′＝cos x ′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－
x sin x ＋cos x
x 2
.
(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋
12x
.
(3)∵y ＝1＋x 21－x ＋1－x 21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝? ????
41－x －2′＝
－41－x ′1－x 2＝41－x 2
.
(4)y ′＝?
????lg x －1x 2′＝(lg x )′－? ????
1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 题型三 导数几何意义的应用
[例3] (1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．
[解析] (1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，
∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 2
0－10＝2，解
得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0
(2)(2,1)
练习若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，
∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：1 [典例]已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解]由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，
且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.
一、已知斜率，求切线方程．
此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．
例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．
解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．
故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
二、已知过曲线上一点，求切线方程．
过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．
例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，
因为f′(x)＝3x2－2，
所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0.
所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，
即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．
因为切线过点(1，－1)，
故－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)·(1－x0)
即2x30－3x20＋1＝0，
解得x0＝1或x0＝－1 2，
故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
三、已知过曲线外一点，求切线方程．
这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．
例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．
解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y0)．
则f′(x0)＝3x20－3，
故切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
又点A(0,16)在切线上，
所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 2
0－1)(0－x 0)，
化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，
故切线方程为9x －y ＋16＝0. 课后练习
1．给出下列结论：
①(cos x )′＝sin x ； ②? ????
sin π3′＝cos π3；
③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ； ④? ????
－1x ′＝12x x .
其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而? ????
32′＝0，所
以②错误；? ??
??1x 2′＝0－x 2
′x 4＝－2x x 4＝－2x －
3，所以③错误；
?
????
－1x ′＝－0－x 12
′x ＝12x
12
－x
＝1
2x
32
－
＝
1
2x x
， 所以④正确．答案：B
2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )
A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x
B ．y ′＝cos 2x －sin 2x
C ．y ′＝2cos x ·sin x
D ．y ′＝cos x ·sin x
解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.
解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：1
4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.
解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－6 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x ? ?
???x 2＋1x ＋1x 3；
(2)y ＝
1＋cos x x 2；
(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．
解：(1)∵y ＝x ? ?
???x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.
(2)y ′＝1＋cos x ′·x 2－1＋cos xx 2′x 4＝－x sin x －2cos x －2
x 3
.
(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.
法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.