知识讲解_ 一次函数和二次函数
一次函数和二次函数
【学习目标】
1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。 【要点梳理】
要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念
(1)深刻理解斜率这个概念．
①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．
②用运动的观点理解斜率k ．
函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．
③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．
当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．
①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．
②b 的取值范围：b ∈R ．
③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．
④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．
一次函数
(0)y kx b k =+≠
图象
性质
单调性
奇偶性
k ＞0
b ＝0
增函数 奇函数
b ≠0
增函数 非奇非偶函数
k ＜0 b ＝0
减函数 奇函数
b ≠0
减函数 非奇非偶函数
．
(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
(3)图象的特点：
①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．
②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：
①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ??
-
???
两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多
数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．
3．一次函数性质的应用
(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．
(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．
(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ??
-
???
，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：
一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-
，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ??
- ???
、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．
②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．
4．一次函数的最值问题
求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．
5．一次函数的保号性及应用
性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有
()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在
区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．
性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ 要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2 (0)y ax a =≠的图象和性质 关于二次函数2 (0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 单调性 最大(小)值 y ＝ax 2(a ＞0) 向上 (0,0) y 轴 在区间(,0]-∞上是减函数， 在区间[0,)+∞上是增函数 当x ＝0时， min 0y = y ＝ax 2(a ＜0) 向下 (0,0) y 轴 在区间(,0]-∞上是增函数， 在区间[0,)+∞上是减函数 当x ＝0时， max 0y = 要点诠释： 函数2 (0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响： (1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增； (2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减． 2．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠ 图象 a ＞0 a ＜0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =- ， 顶点坐标是24,24b ac b a a ?? -- ??? 对称轴是直线2b x a =- ， 顶点坐标是24,24b ac b a a ?? -- ??? 在区间,2b a ? ? -∞- ???上是减函数， 在区间,2b a ?? - +∞???? 上是增函数 在区间,2b a ? ? -∞- ??? 上是增函数， 在区间,2b a ?? - +∞???? 上是减函数 抛物线有最低点，当2b x a =- 时， y 有最小值，2min 44ac b y a -= 抛物线有最高点，当2b x a =- 时， y 有最大值，2max 44ac b y a -= (2)配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它． 对任何二次函数2 ()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为： 2 224()24b ac b y a x a x h k a a -? ?=++=-+ ?? ?． 其中2b h a =-，244ac b k a -=． (3)关于配方法要注意两点： ①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)． 3．二次函数的解析式 (1)一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠． (2)顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )． (3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠g ，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之． 要点诠释： ①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2 y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式． ②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式 2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0． ③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式 12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0． 4．二次函数的图象画法与平移 (1)二次函数2 y ax bx c =++的图象的画法： 因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下： (i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点． 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象． 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象． (2)二次函数的平移规律． 任意抛物线2 y ax bx c =++都可转化为2 ()y a x h k =-+的形式，都可由2 y ax =的图象经过适当的平 移得到，具体平移方法，如图所示． 即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解 二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解． (1)从函数的解析式来研究，对于2 y ax bx c =++，通过配方可化为2 ()y a x h k =-+的形式，再对 2()y a x h k =-+进行研究． 一般地，对于二次函数2 y ax bx c =++， 当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -?? =- ???； 当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -?? =- ??? ． (2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2 y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示． 当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是2 44ac b a -； 当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是2 44ac b a -． 6．二次函数的对称轴及其应用 根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知 (4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下： (1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴 为2 a b x += ． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ， ∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-． 要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义 （1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法. （2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组； ②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。 （3）待定系数法的理论根据是多项式恒等定理，即 如 果 1212012012n n n n n n n n a x a x a x a b x b x b x b ----+++???+=+++???+，那么 001122,,,,n n a b a b a b a b ===???=。 2．待定系数法求解题的基本步骤 (1)设出含有待定系数的解析式； (2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组； (3)解方程（组），求出待定系数的值，从而写出函数解析式. 【典型例题】 类型一：一次函数的图象和性质 例1．已知()f x 为一次函数且满足4(1)2(1)318f x f x x ---=+，求函数()f x 在[-1，1]上的最大值，并比较(2000)f 和(2011)f 的大小． 【思路点拨】设()f x kx b =+，根据题目条件求出k 和b ，然后去求(1)f 和(1)f -。 【答案】11 (2000)(2011)f f > 【解析】 解法一：设()(0)f x kx b k =+≠， 由已知可得， 4[(1)]2[(1)]318k x b k x b x -+--+=+． 整理得，662318kx k b x -++=+． ∴ 63,6218,k k b -=??+=? 解得1,2 21.2 k b ?=-????=?? ∴ 121 ()22 f x x =- +在[-1，1]上为减函数（在R 上也是减函数）． ∴ 函数()f x 在[-1，1]上的最大值为(1)11f -=且(2000)(2011)f f >． 解法二：∵ 函数为一次函数， ∴ ()f x 在[-1，1]上为单调函数， ∴ ()f x 在[-1，1]上的最大值为(1)f 与(1)f -中之一． 分别取x ＝0和x ＝2得4(1)2(1)18, 4(1)2(1)24,f f f f --=??--=? 解得(1)10f =，(1)11f -=． ∴ 函数()f x 在[-1，1]上的最大值为(1)11f -=． 又∵ (1)(1)f f <-， ∴ ()f x 在R 上是减函数． ∴ (2000)(2011)f f >． 【总结升华】求一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解．求一 次函数解析式时待定系数法是常用的方法． 举一反三： 【变式1】对于每一个x ，设)(x f 取14+=x y ，2+=x y ，42+-=x y 三个函数中的最小值，用分段函数写出)(x f 的解析式，并求)(x f 的最大值． 【答案】 3 8 【解析】 这是教材中的一道练习题．)(x f 取14+=x y ，2+=x y ，42+-=x y 三个函数中的最小值．于是)(x f 的解析式为： ??? ? ? ???? >+-≤ <+≤+=32,423231,231,14)(x x x x x x x f ， )(x f 的最大值为)32(f ＝3 8． 例2. 设函数f(x)=(3a-1)x+b-a ，x ∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a+b 的最大值. 【思路点拨】为使得函数在[0，1]上恒有f(x)≤1成立，只需使f(x)在区间[0，1]上的最大值不大于1即可，但解析式中一次项系数含字母，故需分情况讨论以确定自变量取何值时函数有最大值，最大值是多少. 【答案】5.3 【解析】为使区间[0，1]上的任意值都有f(x)≤1恒成立，只需让函数f(x)在区间上的最大值小于等于1即可. (1)当3a-1>0，即1 3 a >时，函数f(x)在[0，1]上是增函数. y max =f(1)=2a+b-1 由y max ≤1，即2a+b-1≤1且1533 a a b >+<得 (2)当3a-1=0，即13a =时，1()--3f x b a b ==，故在区间[0，1]上max 1 -3 y b = ∴为使f(x)≤1恒成立只需， 145-1333b b a b ≤≤+≤即此时，当41 ,33 b a ==时，等号成立. (3)当3a-1<0，即1 3a <时，f(x)=(3a-1)x+b-a 在区间[0，1]上为减函数 y max =f(0)=b-a ∴为使f(x)≤1恒成立，只要满足 -1 5133b a b a a ≤?? ?+ 综上所述，当14,33a b ==时a+b 有最大值5 .3 例3．（1）设函数1 3 y kx =+，当x 满足0≤x ≤1时，要使y ∈[0，1]，k 应取怎样的值？ （2）对任意的k ∈[-1，1]，函数2 ()(4)24f x x k x k =+--+的值恒大于零，求x 的取值范围． 【答案】（1）12,33 ??-???? （2）(-∞，1)∪(3，+∞) 【解析】 （1）此题等价于当0≤x ≤1时， 1()0,31()1,3f x kx f x kx ? =+≥??? ?=+≤?? ① ② ①②又由保号性得1(0)00,31(1)0,3 1(0)01, 31(1)1, 3f k f k f k f k ? =+≥?? ?=+≥???=+≤???=+≤? g g 解不等式组有1233k - ≤≤．∴ k 的取值范围应为12,33??-???? ． （2）当x ＝2时，()0f x =，∴ x ＝2不能满足()0f x >， 当x ≠2时，有2 2 ()()(4)24(2)(44)g k f x x k x k x k x x ==+--+=-+-+，k ∈[-1，1]． ()f x 的值（k ∈[-1，1]）恒大于零，也就是()([1,1])g k k ∈-恒大于零． 由一次函数的保号性得 (1)0,(1)0,g g ->??>?即2 2 (2)440, (2)440,x x x x x x ?--+-+>??-+-+>?? ∴ 2 2 560,320, x x x x ?-+>??-+>??(2)(3)0, (1)(2)0, x x x x -->?? -->? ∴ 32, 21, x x x x > >． ∴ 函数()f x 恒大于零时的x 的取值范围为(-∞，1)∪(3，+∞)． 【总结升华】 变更主元巧妙地构造一次函数是解决此类问题的关键，但最终的解决是运用一次函数的保号性．因此，在解决数学问题的过程中除了观察能力、分析能力之外，更重要的是对基础知识（如一次函数的性质）的深刻理解和掌握． 举一反三： 【变式1】 对于||2m ≤的一切m ，求使不等式2 21(1)x m x ->-都成立的x 的范围。 【答案】?? 【解析】由2 21(1)x m x ->-，得2 (1)(21)0,x m x ---< 令2 ()(1)(21)f m x m x =---，则此式是关于m 的一次函数形式 ||2m ≤Q 时，()0f m <恒成立 (2)0, (2)0, f f - 即2 2 2(1)(21)0,2(1)(21)0, x x x x ?--- 222210,2230, x x x x ?--?? x x x <<∴??<>?? 1122 x ∴ << ∴使不等式2 21(1)x m x ->-都成立的x 的范围为?? 。 【总结升华】已知一字母m 的取值范围，求式中另一字母x 的范围，则可构造关于m 的函数()f m ，利用保号性解决，但要注意，式子中知道哪个字母的范围，就将该字母看作主元。 类型二：二次函数的图象及性质 例4．已知二次函数2 y ax bx c =++与x 轴相交于点A (-3，0)，对称轴为x ＝-1，顶点M 到x 轴的距离为2，求此抛物线的解析式． 【答案】21322y x x =- -+或21322 y x x =+- 【解析】 解法一：∵ 二次函数的对称轴是x ＝-1，顶点M 到x 轴距离为2， ∴ 顶点的坐标为M (-1，2)或M ′(-1，-2)． 故设二次函数的解析式为2 (1)2y a x =++， 或2 (1)2y a x =+-， 又∵ 抛物线经过点A (-3，0)， ∴ 2 0(31)2a =-++或2 0(31)2a =-+-， 分别解出12a =- 或12 a =， ∴ 所求函数的解析式是21(1)22y x =- ++21322x x =--+或22113 (1)2222 y x x x =+-=+-． 解法二：∵ 点A (-3，0)在抛物线上， ∴ 0＝9a -3b+c ， ① 又∵ 对称轴是x ＝-1， ∴ 12b a - =-， ② ∵ 顶点M 到x 轴的距离为2， ∴ 2424ac b a -=或2 424ac b a -=-． ③ 解由①②③组成的方程组： 2 930,1,2424a b c b a ac b a ??-+=??- =-???-=?? 或2 930,1,242,4a b c b a ac b a ??-+=??-=-?? ?-=-? ? 分别解得1,21,32a b c ?=-??=-???=? 或1,21,3, 2a b c ? =?? =???=-? ∴ 所求函数的解析式是： 21322y x x =--+或213 22 y x x =+-． 解法三：∵ 抛物线的对称轴是x ＝-1， 又∵ 图象经过点A (-3，0)， ∴ 点A (-3，0)关于对称轴x ＝-1对称的对称点A ′(1，0)， ∴ 设函数解析式为y ＝a (x+3)(x -1)， 由题意得抛物线的顶点M 的坐标为(-1，2)或(-1，-2)， 分别代入，得 2＝a (-1+3)(-1-1)或-2＝a (-1+3)(-1-1)， 解关于a 的方程，12a =- 或12 a =， 得所求函数解析式为：1 (3)(1)2 y x x =-+- 21322x x =--+，或2113(3)(1)222 y x x x x =+-=+-． 【总结升华】 二次函数的解析式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式．解题时要根据题目的条件灵 活选择，比较以上三种解法，可以看出解法一和解法三比解法二简便． 例5．(1)已知二次函数()f x 满足(2)1f =-，(1)1f -=-，且182f ?? = ??? ，试求此二次函数的解析式； (2)已知二次函数()f x 对任意实数t 满足关系f (2+t )＝f (2-t )且()f x 有最小值-9．又知函数()f x 的图象与x 轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数()f x 的解析式． 【思路点拨】（1）由(2)1f =-，(1)1f -=-知，()10f x +=的两根为21-和，用交点式设出 ()1(2)(1)f x a x x +=-+可解。 （2）由题意知图象的对称轴为2x =，设图象与x 轴的两个交点横坐标为12,x x ，所以1223,23x x -=-=，得121,5x x =-=，可设交点式解得。 【答案】（1）2 ()447f x x x =-++（2）2 ()45f x x x =-- 【解析】 (1)由(2)(1)1f f =-=-，知()10f x +=的两根为2和-1， 可设()1(1)(2)(0)f x a x x a +=+-≠， 即2 ()21f x ax ax a =---， ∵ 182f ?? = ? ?? ，∴ 1121842a a a ---=， 解得a ＝-4， ∴ 2 ()447f x x x =-++． (2)∵ 函数图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且又知x ＝2为其对称轴，由|AB |＝6，知x 1＝2-3＝-1，x 2＝2+3＝5，于是可设()(1)(5)f x a x x =+-，由二次函数图象的性质知，当x ＝2时，min ()9f x =-，故以f (2)＝a (2+1)(2-5)＝-9，解得a ＝1，因此，2 ()45f x x x =--． 【总结升华】本题的(1)，(2)小题巧妙地找出了两个交点，然后设出交点式．此方法不易掌握，有难度． 举一反三： 【变式1】已知二次函数)(x f 满足)2(f ＝－1，)1(-f ＝－1，且)(x f 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解析】 解法一：利用二次函数一般式 ，设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ， 由题意得 ??? ? ??? =--=+--=++84411242a b ac c b a c b a 解之得 ?? ? ??==-=744 c b a ∴ 所求二次函数为744)(2 ++-=x x x f ． 解法二：利用二次函数顶点式，设n m x a x f +-=2 )()(， ∵ )2(f ＝)1(-f ＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为x ＝ m =2 1 . ∴ 2 1 = m ，又根据题意函数有最大值为8=n ， ∴ 8)2 1()(2 +-=x a x f ∵ )1(-f ＝－1，∴ 4-=a ∴ 8)2 1(4)(2 +--=x x f 7442 ++-=x x . 解法三：利用两根式 由已知，)(x f ＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设)(x f ＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即)(x f ＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即a a a a 4)12(42 -+- ＝8， 解之得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴所求函数解析式为)(x f ＝7442 ++-=x x . 例6．作出下列函数图象并写出其值域． （1）2 |2|y x x =-； （2）224||3(33)y x x x =---<<． 【答案】（1）[0，+∞)（2）[-5，3) 【解析】 （1）由2 20x x -≥得x ≤0或x ≥2； 由2 20x x -<得02x <<． 由2 2 2(02),(2)(02). x x x x y x x x ?-≤≥?=?--< （2）2 2 2 2(1)5(03),24||32(1)5(30), x x y x x x x ?--≤ 【总结升华 】 （1）()|()|x x y f x y f x =?????????→=保留轴上方的图象 把轴下方的图象对称到上方 ． ()()y y y f x y f x a =?????????→=-保留轴上方的图象 把右边的图象对称到轴左边． (0)||(0) ()()b b b b y f x y f x b ><=????????→=+向上平移个单位向下平移个单位． (2)小题是偶函数，只需画出0≤x ＜3的图象，然后利用对称性即可画出y 轴左边的图象．只要是二次函数问题，一般按下列步骤操作：①配方；②画图象；③截取定义域规定部分．特别是与二次函数的值域有关的问题，在定义域规定部分是否包括抛物线的顶点，这是最容易出错的地方，而通过画出函数的图象，能够直观地观察出二次函数的值域，避免了错误的发生． 例7．求二次函数2 ()22f x x x =-+在[t ，t+1]上的最值． 【思路点拨】因为区间[t ，t+1]在运动，所以讨论动区间的两个端点与定轴的大小关系，得到函数在区间[t ，t+1]上的单调性，从而求出函数的最值。 【答案】 【解析】 22 22(1)1y x x x =-+=-+，对称轴x ＝1， ∵ 区间[t ，t+1]不固定，要讨论： ①当t+1≤1，即t ≤0时，函数在[t ，t+1]上为单调减函数， 当x ＝t+1时，()f x 有最小值22 min ()(1)(1)2(1)21f x f t t t t =+=+-++=+， 当x ＝t 时以()f x 有最大值2 max ()()22f x f t t t ==-+； ②当1112t t + <<+，即1 02 t <<时， 2max ()()22f x f t t t ==-+，min ()(1)1f x f ==； ③当t ≤1≤12t + ，即1 2 ≤t ≤1时， 2max ()(1)1f x f t t =+=+，min ()(1)1f x f ==； ④当t ＞1时，区间在对称轴的右侧，此时函数在[t ，t+1]上是单调增函数， 当x ＝t 时，2 min ()()22f x f t t t ==-+， 当x ＝t+1时，2 max ()(1)1f x f t t =+=+． 综上所述：当t ≤0时， 2min ()1f x t =+，2max ()22f x t t =-+； 当1 02 t << 时， min ()1f x =，2max ()22f x t t =-+； 当 1 2 ≤t ≤1时， min ()1f x =，2max ()1f x t =+； 当t ＞1时， 2min ()22f x t t =-+，2max ()(1)1f x f t t =+=+． 【总结升华】解这类题的关键：抓住“三点一轴”．三点即区间两端点及区间中点，一轴即为对称轴． 举一反三： 【变式1】求函数2 21y x ax =--在[0，2]上的值域． 【解析】 由已知可知，函数()f x 的对称轴为x ＝a ． ①当a ＜0时，min (0)1y f ==-．max (2)44134y f a a =---=-，所以函数的值域为[-1，3-4a ]． ②当0≤a ≤1时，2 min ()(1)y f a a ==-+．max (2)34y f a ==-，所以函数的值域为[-(a 2+1)，3-4a ]． ③当l ＜0≤2时，2 min ()(1)y f a a ==-+．max (0)1y f ==-，所以函数的值域为[-(a 2+1)，-1]． ④当a ＞2时，min (2)34y f a ==-，max (0)1y f ==-，所以函数的值域为[3-4a ，-1]． 综上所述，当a ＜0时，值域为[-1，3-4a ]；当0≤a ≤1时，值域为[-(a 2+1)，3-4a ]；当1＜a ≤2时，值域为[-(a 2+1)，-1]；当a ＞2时，值域为[3-4a ，-1]． 【总结升华】定区间动对称轴的二次函数求最值或值域关键是分类讨论并借助图象，从图象上直观地看出在何处取最小值和最大值．然后代入计算即可． 类型三：待定系数法 例8．已知直线AB 过x 轴上的一点A (2，0)且与抛物线y ＝ax 相交于B (1，-1)、C 两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)问抛物线上是否存在一点D ，使OAD OBC S S =△△？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2y x =- 2 y x =-（2）3)D -或(3)D - 【解析】 (1)设直线的解析式为y ＝kx+b ，∵ 直线过点A (2，0)，B (1，-1)， ∴ 20,1,k b k b +=?? +=-? 解得1, 2. k b =??=-? ∴ 直线的解析式为2y x =-． 又∵ 抛物线2 y ax =过点B (1，-1)，∴ a ＝-1． ∴ 抛物线的解析式为2 y x =-． (2)直线与抛物线相交于B 、C 两点，故由2 2, y x y x =-??=-? 解得C 点坐标为C (-2，-4)． 由上图可知，OBC OAC OAB S S S =-△△△11 |4|2|1|2322 = -?--?=． 假设抛物线上存在一点D ，使OAD OBC S S =△△， 设D (m ，-m 2)，∴ 221 22 OAD S m m =??=△， ∴ 2 3m =，3m = 或3m = 即存在这样的点3,3)D -或(3,3)D --，使OAD OBC S S =△△． 【总结升华】 本题考查用待定系数法求函数的解析式，对于判定是否存在一点使得条件成立，可以先假设存在，并设出相应的点，然后根据条件列出等式．若等式成立，则存在相应的点；若等式不成立，则不存在相应的点． 二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二 二次函数知识点详解（最新原创助记口诀） 内含 <全文看完后 再决定下不下载> 十二个知识点 最新原创助记口诀 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考高分 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 二次函数知识点整理： １.二次函数的图象特征与a ，b ，c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 （1）字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小；决定二次函数有最大值或最小值. a ＞0时开口向上，函数有最小值； a ＜0时开口向下，函数有最大值； a 相同，抛物线形状相同，可通过平移、对称相互得到； a 越大，开口越小. （2）字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 （a ≠0，b=0）， 对称轴为y 轴； ab ＞0（a 与b 同号），对称轴在y 轴左侧； ab ＜0（a 与b 异号），对称轴在y 轴右侧. （3）字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0， 抛物线经过原点； c ＞0，抛物线与y 轴正半轴相交； c ＜0，抛物线与y 轴负半轴相交. （4）ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0，抛物线与x 轴有唯一交点（顶点）； ac b 42-＞0抛物线与x 轴有两个不同的交点； ac b 42-＜0抛物线与x 轴无交点. ２.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到，具体平移方法如 下： 【注意】 二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. ３.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选不同的设法 （1）设一般式：c bx ax y ++=2 （a ，b ，c 为常数、a ≠0） 若已知条件是图象上的三点，将已知条件代入所设一般式，求出a,b,c 的值 （2）设顶点式：()k h x a y +-=2 （a,h,k 为常数，a ≠0） 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），将已知条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式. （3）设两点式：()()21x x x x a y --=（a ≠0，a 、1x 、2x 为常数） 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ，将第三点（m,n ） 的坐标（其中m ，n 为已知数）或其他已知条件代入所设交点式，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式. ４. 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 （1）二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）中，当y=0时，就变成了一元二次方程02=++c bx ax （2）一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. （3）二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. （4）在它俩的关系中，判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△＞0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△＜0 ５.二次函数应用 包括两方面 （1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； （2）用二次函数解决最大化问题即最值问题.二次函数知识点大全
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