高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2
课时余弦定理练习含解析新人教A 版必修5
1.1 正弦定理和余弦定理 第2课 时余弦定理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2
＋3AC ?AC ＝1，选A. 答案：A
2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得
a ·
b 2＋
c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab
，
化简得a 4
－2a 2b 2
＋b 4
＝c 4
，即(a 2
－b 2)2
＝c 4
. 所以a 2
－b 2
＝c 2
或a 2
－b 2
＝－c 2
. 故△ABC 是直角三角形． 答案：B
3．在△ABC 中，有下列结论：
①若a 2
＞b 2
＋c 2
，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2
＝b 2
＋c 2
＋bc ，则∠A 为60°； ③若a 2
＋b 2
＞c 2
，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＜0，所以A 为钝角，正确；
②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1
2
，所以A ＝120°，错误；
③cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；
④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A
4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则cos A ＝( )
A.310
10
B.1010
C ．－
1010
D ．－31010
解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2
＋DC 2
＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，
知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD
＝－10
10，故选C.
答案：C
5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等边三角形
解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 2
2ac
·a ＝c ，
所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题
6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2
＋c 2
－a 2
＝－bc ， 所以cos A ＝－1
2，A ＝120°.
答案：120°
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1
4
a ，2sin B ＝3sin
C ，则cos A 的值为________．
解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝3
2c .
又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝1
4
a ，即a ＝2c .由余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c
23c 2＝－1
4
.
答案：－1
4
8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．
解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2
＋25x 2
－14
2
80x
2
，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．
故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积
S ＝12
×16×10×sin 60°＝40 3.
答案：40 3 三、解答题
9．在△ABC 中，已知sin 2
B －sin 2
C －sin 2
A ＝3sin A sin C ，求
B 的度数． 解：因为sin 2
B －sin 2
C －sin 2
A ＝3sin A sin C ， 由正弦定理得：b 2
－c 2
－a 2
＝3ac ，
由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－3
2
，
又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.
10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1
(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．
解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝ －cos(A ＋B )＝－1
2，且C ∈(0，π)，
所以C ＝2π
3
.
(2)因为a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根， 所以??
?a ＋b ＝23，
ab ＝2.
所以AB 2
＝b 2
＋a 2
－2ab cos 120°＝(a ＋b )2
－ab ＝10， 所以AB ＝10.
B 级 能力提升
1．在△ABC 中，sin 2 A 2＝c －b 2c
，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
解析：因为sin 2
A 2
＝
1－cos A 2＝c －b
2c
， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
，
所以a 2
＋b 2
＝c 2
，故△ABC 为直角三角形． 答案：B
2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．
解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝2
2
，
所以sin C ＝
22
. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案：3
3．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．
解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2
＝AD 2
＋BD 2
－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，
有142
＝102
＋x 2
－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0. 所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16， 在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD
sin ∠BCD
，
可得：BC ＝16
sin 135°
·sin 30°＝8 2.
解三角形(1)---正弦定理
解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ （2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？ 如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数 中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况） 如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===， 同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D
解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)
解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
必修五解三角形正弦定理和余弦定理
学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b
4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求
2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R
1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求； （2 ）求的周长的取值范围． 【答案】（1 ）；（2 ）. 所以： 中，利用正弦定理得：
由于： 则： ，， 由于：，则：， 得到：， 所以的周长的范围是：. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1
正弦定理余弦定理解三角形
第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 （1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b
解三角形之正弦定理
1.1.1 解三角形之正弦定理2 2015.03.17 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题 1．在△ABC 中，若∠B ＝135°，AC ＝2，则BC sin A ＝ ( ) A ．2 B ．1 C ． 2 D ．2 2 2．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433 ，则∠A 的大小为 ( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 3．已知△ABC 的面积为3 2，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝ ( ) A ．32 B ．12 C ．34 D ． 3 4．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为 ( ) A ．22 B ．24 C ．32 D ．3＋14 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为 ( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 6．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝ ( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶6 7．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 *8．[2013·辽宁理，6]在△ABC 中，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a >b ，则B ＝ ( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π 6 二、填空题 9．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，cos A ＝5 5，则sin A ＝________；a ＝________． 10．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________； (2)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________． 11．(1)在△ABC 中，若b ＝a cos C ，则△ABC 是___________三角形； (2)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是______________三角形；
正弦定理和余弦定理(解三角形)
解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长.
利用正余弦定理解三角形资料
复习课: 解三角形 枣庄十八中 秦真 教学目标 重点：能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积，形状有关的问题。 难点：如何选择适当的定理，公式，方法解决有关三角形的综合问题. 能力点：定理公式方法的适当选取，培养学生自主解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，2 2 2 2cos b a c ac B =+- ，2 2 2 2cos c a b ac C =+- ， 222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 3.111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?= == 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+
6.三角形内角的诱导公式 （1）sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，tan tan()C A B =+，cos sin 22 c A B +=，sin cos 22 C A B +=，... 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及 sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ，由2 2 2 2cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理 sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由 sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： 8. 三、【范例导航】 题型（一）：正、余弦定理 1正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以 计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角． 例1．在?ABC 中，已知a =c = ，45B =o ，求b 及A ；
正弦定理解三角形
利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。 例题设计一： 已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。 （1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一： 设计意图：巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.
解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二： 已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1） （1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理 知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°； 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】 1．正弦定理和余弦定理 (1)S＝1 2a·h a(h a表示边a上的高)； (2)S＝1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A. (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【考点突破】 考点一、利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π 4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上， AD＝BD，求AD的长． [解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC
＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4 ＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝b sin∠BAC a＝ 3 310 ＝ 10 10， 由题设知0＜B＜π 4， 所以cos B＝1－sin 2B＝1－1 10＝ 310 10. 在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得 AD＝AB·sin B sin(π－2B)＝ 6sin B 2sin B cos B＝ 3 cos B＝10. 【类题通法】 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 【对点训练】 1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为() A．30°B．45° C．60°D．120° [答案]A
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式． 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 知识点清单 一. 正弦定理： 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半 径） sin A sinB sinC 2. 变 形：1) a b c a b c sin sin sinC sin sin sinC 2）化边为 角： a:b:c sin A:sin B: sinC ； a sin A; b sin B a sin A b sinB c sinC c sin C 3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC 4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A a sin B b sinC c sinC c 5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c 2R2R2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A ; 求出 b 与c c sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边 a,b,A, 解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边 c sinC 4. △ABC中，已知锐角A，边b，则 ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；
正余弦定理、三角形的一些公式
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有：为外接圆的半径 三角形的面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状： 为锐角三角形 ，为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有： 形为正三角形 成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式： α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式：
解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案
解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
正弦定理、解三角形
解三角形 [前言 ] 1.三角形的构成要素是三条边与三个角，所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用，却只关注边且为不 三角形，即根据已知条件求边的长短与角的大小； 等关系，没有体现角；多数情况中，该性质作为判 求解的方法，不再是传统意义上的尺规测量，而是 段三角形构成的条件； 借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用，尽管同时涉及角 长度，正是“解铃还须系铃人”； 与边，但体现的是不等关系； ④⑤⑥这几条性质不能推广，针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质，常见的可概括为以下几条： 角形适用； ①内角和定理：三个内角相加之和为180°； ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题，往往不在 ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解三角形的范畴 ③大角对大边，小边对小角； 综括上述性质的特征： ④勾股定理：a 2+b 2=c 2； 解三角形所采用的性质必须满足四点要求：(1)对 ⑤在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半 所有的三角形均适用；(2)必须为等式；(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形 角的参与；(4)必须有边的参与.满足四点要求的性 三条边相等，三个角相等； 质有正弦定理与余弦定理，即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，斜边长 为外接圆的直径； 3.所谓角已知，不见得已知角的度数，凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之 弦值、余弦值、正切值已知，即为角已知；在解三 和等等； 角形中，求角的大小，也不见的求角的度数，可以 比较上述性质： 是角的某一个三角函数值，原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用，但只体现了角 不囿于锐角或者特殊角. 的关系，不能解决有关边的问题； [正弦定理] 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即 a sinA = b sinB = c sinC 其中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形，同理可证. 2.几何意义：对任意一个?ABC 中，均有：
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理学案文
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和 余弦定理学案文 [知识梳理] 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2 ab sin C . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( ) (3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2 ＋c 2 －a 2 >0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2 ＋c 2 － a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当 b 2＋ c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) (4)在△ABC 中，若sin A sin B 2018年高考试题 训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，0 90=∠ADC ， 045=∠A ，2=AB ，5=BD 。 （Ⅰ）求ADB ∠cos ； （Ⅱ）若22=DC ，求BC 。 本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。 如下图所示： 根据正弦定理得到： A A B ADB BD ADB AB A BD sin sin sin sin ?=∠??∠= 5 2522 2sin sin =? =?= ∠?BD A AB ADB 。 根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADB ADB ∠-=∠2 2 sin 1cos 25 23 2521= - =。 根据大边对大角得到：ADB ADB A ADB BC AB ∠?<∠?<∠?<0 45 为锐角5 23cos 0cos = ∠?>∠?ADB ADB 。 （Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。 在BCD Rt ?中：5=BD ，22=CD ，ADB BDC ∠-=∠0 90 )90cos(cos 0 ADB BDC ∠-=∠?。 诱导公式：0 90终边在y 轴正半轴ADB ∠-?0 90是第一象限角 cos ?在第一象限为正，0 90是0 90的奇数倍cos ?名称改为sin 名称。 5 2sin )90cos(cos 0 = ∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。 根据余弦定理得到：BDC BD DC BD DC BC ∠???-+=cos 22 2 2 5258335 2 5222258=?=-=? ??-+=BC 。 训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ?的面积为 。 本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。 边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的 边全部转化为对角正弦，保持次数不变。 C B A B C C B C B a B c C b sin sin sin 4sin sin sin sin sin sin 4sin sin =+?=+ 621sin sin 21sin sin sin 4sin sin 2π=?= ?=?=?A A A C B A C B 或6 5π = A 根据余弦定理得到：A bc bc bc a c b A ?>==-+= 04282cos 222是锐角6 π =?A ， 33 82 346cos 446cos 4cos = ==?=?= ππbc bc bc A 。 3 3 22133821sin 21=??== ?A bc S ABC 。 训练三：2018年高考数学新课标Ⅱ卷理科第6题文科第7题：在ABC ?中， 5 5 2cos =C ，1=BC ， 5=AC ，则=AB （ ） A 、24 B 、30 C 、29 D 、52 本题解析：本题目是二倍角公式和余弦定理已知两边和夹角的综合经典题型。 根据三角函数二倍角公式得到：5 3 151212cos 2)22cos(cos 2-=-?=-=? =C C C 。 根据余弦定理得到：)5 3 (512251cos 22 2 2 -???-+=???-+=C AC BC AC BC AB 课题:正弦定理 授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动。A 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____ （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 R C c B b A a 2sin sin sin ===。 （R 为外接圆半径） 3. 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . 4. 三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2 ca sin B . 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 余弦定理的公式： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 正弦、余弦定理及解三角形 【考纲要求】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、三角形中的边与角之间的关系 约定：ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系： (1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>； 两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ?中，2 2 2 90a b c C +=?=?. 2．角的关系： ABC ?中，A B C π++=,222C B A ++=2 π （1）互补关系： sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=- （2）互余关系： sin sin()cos 2222A B C C π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-= tan tan()cot 2222 A B C C π+=-= 3．直角三角形中的边与角之间的关系 Rt ABC ?中，90C =?（如图） ，有： c c C c b B c a A ==== 1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b a A B C c c ===. 要点二、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： 应用 解三角形 正弦定理 余弦定理2018年高考试题：正余弦定理解三角形
正弦定理
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