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黑龙江省哈尔滨市2013届高三第一次模拟考试数学试卷(文)

黑龙江省哈尔滨市2013届高三第一次模拟考试数学试卷(文)
黑龙江省哈尔滨市2013届高三第一次模拟考试数学试卷(文)

黑龙江省哈尔滨市2013届高三第一次模拟考试

数学试卷(文史类)

考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.做答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效.

3.做答第Ⅱ卷时,请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持答题卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.集合}1,0,1{},2|{-==∈=B y R y A x

,则下列结论正确的是( ) (A )}1,0{=B A (B )),0(+∞=B A (C ))0,()(-∞=B A C R (D )}0,1{)(-=B A C R

2.若复数z 满足i z i 31)3(+-=-(其中i 是虚数单位),则z 的实部为( )

(A )6 (B )1 (C )1- (D )6-

3.某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试,则一班和二班分别被抽取的人数是( ) (A )8,8 (B )9,7 (C )10,6 (D )12,4

4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图可能为:

①长、宽不相等的长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 其中正确的是( )

3 侧视图

正视图

2

2 2

(A )①② (B )②③ (C )③④ (D )①④ 5.函数x

x x f 1

ln )(-

=的零点所在区间是( ) (A )1(0,)2

(B )1(,1)2

(C )(1,2) (D )(2,3)

6.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出S 的 值为( )

(A )4 (B )8 (C )10 (D )12

7.对于命题p :双曲线

)0(1422

2>=-b b y x 的离心率为2;命题q :椭圆

)0(12

22>=-b y b

x 的离心率为

2

3

,则q 是p 的( ) (A ) 充要条件 (B ) 充分不必要条件 (C ) 必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件

8. 在ABC ?中,角C B A ,,所对的边为c b a ,,,若2

22a bc c b =-+,且

3=b

a

,则角C 的值为( )

(A )?45 (B )?60 (C )?90 (D )?120

9.已知首项是1的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,08462=-a a a ,则

=2

4

S S ( ) (A )5 (B )8 (C )8- (D )15

10.已知函数x e x f x

+=)(,b ax x g +=)((0>a ),若对]2,0[1∈?x ,]2,0[2∈?x ,使得)()(21x g x f =,则实数a ,b 的取值范围是( )

(A )2102+≤

02+≤

(C )212+≥e a ,1≥b (D )2

1

2+≥e a ,1≤b

11.已知函数①x x y cos sin +=,②x x y cos sin 22=,则下列结论正确的是( ) (A )两个函数的图象均关于点(,0)4

π

-

成中心对称 (B )两个函数的图象均关于直线4

x π

=-成轴对称 (C )两个函数在区间(,)44

ππ

-

上都是单调递增函数 (D )两个函数的最小正周期相同

12. 函数2

cos sin )(x x x x x f ++=,则不等式)1()(ln f x f <的解集为( )

(A )),0(e (B )),1(e (C )),1(e e (D )),1(),1(e e e

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.已知数列}{n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若279=S ,则423a a -等于 . 14.设c b a ,,是单位向量,且c b a +=,则向量b a ,的夹角等于____________.

15.已知抛物线)0(2:2

>=p px y C 的准线为l ,过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相

交于点A ,与C 的一个交点为B ,若MB AM =,则p 等于____________. 16.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,

使点B 与点C 间的距离为1,此时四面体

ABCD 外接球表面积为____________.

B C

D A

B C

A

D

三、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

函数)2

||,0,0)(sin()(π

?ω?ω<>>+=A x A x f 的一段图象

如图所示.

(1)求函数)(x f 的解析式;

(2)求函数)(x f 的单调减区间,并求出)(x f 的最大值及取到最大值时x 的集合;

(18)(本小题满分12分)

某校从参加高三一模考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分),数学成绩分组及各组频数如下:

分组

频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[

3 0.06 )70,60[ 1

4 0.28 )80,70[ 1

5 0.30 )90,80[ )100,90[

4 0.08 合计

(1) 请把表中的空格都填上,并估计高三学生成绩在85分以上的比例和平均分; (2)为了帮助成绩差的同学提高成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从)100,90[成绩中选两名同学,共同帮助)50,40[中的某一位同学。已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率

(19)(本小题满分12分)

如图所示,在四棱锥ABCD P -中,四边形ABCD 为菱形,PAD ?为等边三角

形,平面⊥PAD 平面ABCD ,且2,60=?=∠AB DAB ,E 为AD 的中点. (1)求证:PB AD ⊥; (2)求点E 到平面PBC 的距离.

(20)(本小题满分12分)

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为32,过焦点且垂直于长轴的直线被

椭圆截得的弦长为1,过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点),当3

||=

AB 时,求实数t 的值.

(21)(本小题满分12分)

已知函数x

e x g x x

f ==)(,ln )( (1)若函数1

1

)()(-+-

=x x x f x ?,求函数)(x ?的单调区间; (2)设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线,证明:在区间)

,1(+∞上存在唯一的0x ,使得直线l 与曲线)(x g y =相切.

请考生在题(22)(23)(24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,AB 是⊙O 的直径,弦CA BD ,的延长线相交于点E ,EF 垂直BA 的延长线于点

F .

求证:(1)2

CE CE AC DE BE =?+?; (2)B C F E ,,,四点共圆.

(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为???-=--=t

y t

x 322(t 为参数),直线l 与

曲线

1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点

(1)求||AB 的长;

(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为

)4

3,

22(π

,求点P 到线段AB 中点M 的距离.

(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= (1)当5=a 时,求函数)(x f 的定义域;

(2)当函数)(x f 的值域为R 时,求实数a 的取值范围.

哈六中2013届第一次高考模拟考试文科数学参考答案

一、选择题

1D 2A 3B 4D 5 C 6B 7C 8C 9A 10 D 11C 12C 二、填空题 13、6- 14、3

π

15、2 16、313π

三、解答题:

17.解(1)解(1)由图知ππ

π4

15

4

44

3,3=

-==T A , ∴π5=T ,∴52=

ω,∴)5

2

sin(3)(?+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π,∴)5

8sin(33?π

+=-, ∴

Z k k ∈-=+,2258ππ?π,∴Z k k ∈-=,10

212ππ?, ∵2

||π?<

,∴10

π?-

=,∴)10

5

2

sin(3)(π

-

=x x f …… 6分

(2)由Z k k x k ∈+≤-≤

+

,2

3210522

2ππππ

π 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++

],45,2

35[πππ

π,…… 9分 函数)(x f 的最大值为3,取到最大值时x 的集合为},2

35|{Z k k x x ∈+=π

π .…… 12分 18解:(1)

分组

频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[ 3 0.06 )70,60[

14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[ 12 0.24 )100,90[

4 0.08 合计

高三学生成绩在85分以上的比例约为0.2;

8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=?+?+?+?+?+? 估计平均分约为8.73分 …… 6分

(2)将)100,90[中的4人记为,,,321a a a 甲;)50,40[中的2人记为b 和乙

则所有的分组结果为乙),,(),,,(2121a a b a a ,乙),,(),,,(3131a a b a a ,

甲,乙)甲,(,(),,11a b a ,乙),,(),,,(3232a a b a a ,甲,乙)甲,(,(),,22a b a ,甲,乙)甲,(,(),,33a b a ,共12种,

甲乙恰好在一组的结果有甲,乙),(1a ,甲,乙),(2a ,甲,乙),(3a 3种, 设“甲乙恰好在一组”为事件A ,则4

1

123)(==

A P …… 12分 19.解(1)证明:连接PE ,E

B ,因为平面⊥PAD 平面ABCD ,PAD ?为等边三角形,E 为AD 的中点,所以⊥PE 平面ABCD ,AD PE ⊥ …… 2分

因为四边形ABCD 为菱形,且?=∠60DAB ,E 为AD 的中点,所以AD BE ⊥…… 4分

E BE PE = ,所以⊥AD 平面PBE ,所以PB AD ⊥ …… 6分

(2)过E 作PB EF ⊥

由(1)知⊥AD 平面PBE ,∵AD ∥BC ∴⊥BC 平面PBE

平面PBC ⊥平面PBE,又 平面PBC∩平面PBE =PB,故⊥EF 平面PBC

2

6

=?=

PB EB PE EF …… 12分

20解(1) 由已知32c e a ==,所以2234c a

=,所以2222

4,3a b c b ==

所以22

2214x y b b

+= …… 1分

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为2

21b a

= 所以1b = …… 3分

所以2

214

x y += …… 4分

(2)设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y

设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得

2

2

(3)14

y k x x y =-???+=??

整理得2222

(14)243640k x k x k +-+-=

24222416(91)(14)0k k k ?=--+> 得215

k <

22121222

24364

,1414k k x x x x k k

-+=?=++ …… 6分

1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2

2

24(14)k t k +

[]12122

116()()6(14)

k

y y y k x x k t t t k -=+=+-=+

由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++2

222

1444(14)

k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分

又由34)(1||212212

=-++=x x x x k

AB , 所以2212(1)()3k x x +-<

2

(1)k +3]41)436(4)41(24[2

22242=+--+k

k k k 解得812

=k …… 10分 由2

2

2

36(14)k t k =+得22

22

369

91414k t k k

==-++ 所以3±=t (12)

21解:(1)2

22)

1(1

)1(21)(-+=-+='x x x x x x ? …… 2分 1,0≠>x x ,0)(>'∴x ?,增区间为(0,1)和(1,+∞) …… 4分

(2),1)(,1)(00x x f x x f ='∴=

' 切线方程为)(1ln 00

0x x x x y -=-① ……6分

设)(x g y l =与切于点),,(11x e x 010

ln ,1

,)(1

x x x e

e x g x x

-=∴=

∴=' l ∴方程0

0001ln 1x x x x x y ++=

,② …… 8分 由①②可得1

1

ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=

-x x x x x x x , 由(1)知,1

1

ln )(-+-

=x x x x ?在区间),1(+∞上单调递增, 又01211ln )(<--=-+-=e e e e e ?,01

311ln )(222

22

2>--=-+-=e e e e e e ?, 由零点存在性定理,知方程0)(=x ?必在区间),(2

e e 上有唯一的根,这个根就是0x ,故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ,使得直线l 与曲线)(x g y =相切 …… 12分 22证明:(1),~CDE ABE ?? DE AE CE BE ::=∴,

∴2CE CE AC DE BE =?+? …… 5分

(2) AB 是⊙O 的直径,所以?=∠90ECB ,BE CD 2

1

=

∴, BF EF ⊥,BE FD 2

1

=

∴,∴B C F E ,,,四点与点D 等距,∴B C F E ,,,四点共圆 …… 10分 23解(1)直线l 的参数方程为标准型???

?

???

+=+-=t y t x 232212(t 为参数) …… 2分

代入曲线C 方程得01042

=-+t t

设B A ,对应的参数分别为21,t t ,则421-=+t t ,1021-=t t , 所以142||||21=-=t t AB …… 5分

(2)由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-, …… 6分 所以点P 在直线l , …… 7分

中点M 对应参数为

22

2

1-=+t t , 由参数t 几何意义,所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分 24解(1)当5=a 时,求函数)(x f 的定义域,即解05|5||1|>--+-x x 不等式

…… 2分

所以定义域为21|{<

x x 或}2

11

>x …… 5分 (2)设函数)(x f 的定义域为A ,因为函数)(x f 的值域为R ,所以A ?+∞),0(…… 7分

由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| …… 9分 所以04≤-a

所以4≥a …… 10分

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