数学创新题的能力导向

高效课堂之创新能力的导向

仙游金石中学 数学学科 林良枝

创新的主核心是培养学生的创造意识和构建能力，激发学生独立思考和创新的思维，这是一种新的教育理念的具体体现.教材中的例题与习题具有示范性、典型性和探究性，是知识的精髓，极具教学价值的题目.在新课标的背景下，高考数学试卷中有相当数量的试题源于课本，高于课本。因此，在数学教学中，如何培养学生的创新能力？ 培养学生运用数学解决实际问题，其实关键是把实际问题抽象为数学问题的能力导向.首先通过观察分析、建立起实际问题的数学模型，然后把数学模型回归某知识领域中去处理，这里就要体现学生不但具有一定的抽象能力，而且还有相当的观察、分析、综合与类比能力.学生的能力的培养不是一朝一夕的事情，我们要把数学建模意识贯穿在教学的始终，期间要不断的引导学生用发散的思维去观察、分析问题的内涵关系、空间关系及数学信息，从复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，然后通过建立数学模型来解决实际问题，慢慢地使数学建模能力成为学生思考问题的方法和习惯的一种导向. 创新型数学问题大致可分为两大类：一是创建新定义问题，二是创建新背景问题．新定义问题是指试题中自定义一个概念、一种运算、一个规定等，再提出一个与此相关的问题，然后要求结合所学数学知识进行解答；创建新背景问题是指给出一个陌生的数学背景，要求在深刻、准确理解题意的基础上，运用所学数学知识解决相关问题，这类试题的设问方式多种多样，具有开放性和探索性．

例1（2012高考广东卷理科第8题）对任意两个非零的平面向量 α和β，定义β

ββαβα??=o .若平面向量 α，β满足| α|≥|β|>0， α与β的夹角)4,0(πθ∈，且βαo 和αβo 都在集合?

?????∈Z n n 2中，则βαo =( ) A ．12 B.1 C. 32 D. 52

例2：对于定义域为[]1,0的函数)(x f ，如果同时满足以下三个条件：)1(对任意的

[]1,0∈x ，总有0)(≥x f ；

（2）1)1(=f ；（3）若,1,0,02221≤+≥≥x x x x 都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则称函数)(x f 为理想函数。

(1)若函数)(x f 为理想函数，求)0(f 的值；

(2)判断函数[])1,0(12)(∈-=x x g x 是否为理想函数，并予以证明；

（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在[],1,00∈x 使得[]1,0)(0∈x f ，且[]00)(x x f f =，求证：00)(x x f =.

解析：（1）取021==x x 可得)0()0()0(f f f +≥所以0)0(≤f ，又有条件（1）0)0(≥f 得0)0(=f

（2）由于函数[])1,0(12)(∈-=x x g x 显然满足条件（1），也满足条件（2）.若,1,0,02221≤+≥≥x x x x 则 []

[]0

)12)(12()12()12(12)()()(1221212121≥--=-+---+=+-+x x x x x x x g x g x x g 即满足条件(3)，所以)(x g 是理想函数

（3）证明：有条件(3)知，任给[]1,0,∈n m 当n m <时,由n m <知[]1,0∈-m n 所以)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=

若),(00x f x <则[]000)()(x x f f x f =≤.前后矛盾

若),(00x f x >则[]000)()(x x f f x f =≥前后矛盾.

所以00)(x x f =

在上述例题中，对于（1），(2)的解题可用新定义中的条件进行判断与讨论求解；在（3）中由条件出发进一步分析函数的性质，创新性的解决问题.

教学中的导向 解决这类问题，其关键在于平时概念教学时，注意发现知识的形成过程，提高阅读理解能力，教会学生全面把握新概念的内涵与外延，体会从抽象到一般的转化能力。以实际问题为背景，编制出设计类型的试题，用于探究性学习，可以培养学生创新精神和实践能力。创新意识是理性思维的高层次体现，在解决数学问题时，“观察、猜想、抽象、概括、证明”是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的回归与转化、组合与整合的程度越高，显示出的创新意识就越强，因此提高解决创新题的能力，关键是提高自己观察、猜想、抽象、概括、证明的能力，提高自己对知识的转化迁移能力．

例3：如图，在平面直角坐标系xoy 中， 点F 为椭圆E ：122

22=+b y a x （0>>b a ）的左顶点，N M ,在椭圆E 上，若四边形OFMN 为菱形，则椭圆E 的离心率等于 .

本例题中以椭圆和菱形

为背景，考察了椭圆，菱形的基本性质及运算求解能

力.解题的关键是根据图形的对称性得出点N 的横坐标为2

c ，从而求的点N 坐标（2c ，2

3c ），进而求的NF 的长度，结合椭圆的定义求得离心率. 变式训练1：如图，在平面直角坐标系xoy 中， 点A 为椭圆E ：2

22+a x （0>>b a ）的左顶点，C B ,在椭圆E 上，若四边形OABC 为 平行四边形，且?

=∠30OAB ，则椭圆E 的离心率等于 .

教学中的导向构建背景试题时，常常利用知识的交汇为衬托，形成较为新颖的题目.着重考察学生的审题能力，捕获信息的能力，迁移能力，分析问题和解决问题能力，从新的背景下转化与化归，利用已有的知识找出问题的本质，最终突破重围，求的真解.

随着课标课程改革的不断深入，如何进行高效的课堂能力导向？已经是我们一个新的课题研究.特别是如何培养学生创新思维的能力，解决数学问题中的创新型题目.总之，要提高学生创新思维的能力，需要我们老师基于平时的教学过程如何做到能力的导向.帮助学生养成良好的学习习惯，学会分析综合性的问题，提升解决问题的思维高度。