量纲

量纲

基本物理单位是基本物理量的度量单位，例如长短、体积、质量、时间等等之单位。这些单位反映物理现象。物理现象或物理量的度量，叫做“量纲”。

物理定义

将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)。量纲又称为因次。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。

单位制度

在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是是L、M、T、I、Q、N和J。

国家标准

按照国家标准（GB3101—93），物理量Q的量纲记为dimQ，国际物理学界沿用的习惯记为[Q]。

量Q的量纲的一般形式为：

dimQ= L^αM^βT^γI^δΘ^εN^δJ^ε

量纲是物理学中的一个重要问题。它可以定性地表示出物理量与基本量之间的关系；

可以有效地应用它进行单位换算；可以用它来检查物理公式的正确与否；还可以通过它来推知某些物理规律。“在量制中，以基本量的幂的乘积表示该量制中一个量的表达式，这个表达式就是该量的量纲。”

比如——

速度...... v = ds/dt 量纲：L*T^(-1)

加速度.... a = dv/dt 量纲：L*T^(-2)

力........ F = ma 量纲：M*L*T^(-2)

压强...... P = F/S 量纲：M*L*T^(-2)*L^(-2) = M*T^(-2)*L^(-1)

量纲是检查公式推导过程中是否准确的判据，虽然不能保证正确，但可以找到错误。一个物理理论通常由以下几个部分组成：概念，通常是抽象的，不能直接感知的；关于这些概念的数学表示（物理量）的假定一个或一组方程，表示物理量之间的关系。在这后两部分中，量纲扮演着重要角色。

单位是计量的标准。

量纲是表达基本物理量的抽象的符号，而单位是具体物理量的量度。量纲用来描述物理量本身的性质，而单位是用来表达量的具体多少的基准。

有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理

无量纲化处理

有量纲的物理量都可以进行将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示

出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理在模型编制中，用无量纲化是为了什么?怎么进行无量纲化啊? 无量纲化出现在流体力学发展的

早期，当时的数学方法和数值计算水平都很有限，为了对一些流体现象做出理论分析(如机翼和船体附近边界层的流动现象)，需要将粘性流体控制方程加以简化，于是对目标流体赋予一个特征长度和特征速度。利用特征长度和特征速度(通常相对于边界层是一个较大的数)使得某些变量(如X，Y，V变成X/L《1或Y/L《1或V/U《1)这样就可以减少控制方程的变量数目。对于边界层外的流动则采用不考虑粘性势流模型求解，无须简化。所以说无量纲化在整个流体力学，尤其是空气动力学的发展历史中占有极为重要的地位在模型编制中，用无量纲化是为了什么?怎么进行无量纲化啊?无量纲化出现在流体力学发展的早期，当时的数学方法和数值计算水平都很有限，为了对一些流体现象做出理论分析(如机翼和船体附近边界层的流动现象)，需要将粘性流体控制方程加以简化，于是对目标流体赋予一个特征长度和特征速度。利用特征长度和特征速度(通常相对于边界层是一个较大的数)使得某些变量(如X，Y，V变成X/L《1或Y/L《1或V/U《1)这样就可以减少控制方程的变量数目。对于边界层外的流动则采用不考虑粘性势流模型求解，无须简化。所以说无量纲化在整个流体力学，尤其是空气动力学的发展历史中占有极为重要的地位。

在经济管理学中，无量纲化方法是综合评价步骤中的一个环节。

根据指标实际值和无量纲化结果数值的关系特征可以分为三大类：

一、直线型无量纲化方法：又包括阀值法、指数法、标准化方法、比重法

二、折线型无量纲化方法：凸折线型法、凹折线型法、三折线型法

三、曲线型无量纲化方法

目前常见的无量纲化处理方法主要有极值化、标准化、均值化以及标准差化方法,而最常使用的是标准化方法。但标准化方法处理后的各指标均值都为0,标准差都为1,它只反映了各指标之间的相互影响,在无量纲化的同时也抹杀了各指标之间变异程度上的差异,因此,标准化方法并不适用于多指标的综合评价中。而经过均值化方法处理的各指标数据构成的协方差矩阵既可以反映原始数据中各指标变异程度上的差异,也

包含各指标相互影响程度差异的信息。

第一节 量纲分析方法

第一节量纲分析方法 量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。 1.1量纲 当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。按照国家标准（GB3101—93），物理量?的量纲记为dim?，国际物理学界沿用的习惯记为[?]。

实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如： 速度v = ds/dt 量纲：[]V =1 LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2 []a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --== 压强P = F/S 量纲： 22[]P MLT L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此 时记为[][]1e π==。 有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的

量纲分析

1．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????? ???---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1 1 31ρπs v P -=， 1 1 3ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 2．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞 系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v , ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1， [ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()()(210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得 g v μρπ1 3--=. 3 ρ μλg v =∴，其中λ是无量纲常数.

量纲分析法

第三节 量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi 定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为 [][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v . 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， []η ξ ε δ γ β α J N I T M L q Θ= 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式 3 211αααλg l m t = ---------------（3.1） 其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 [][][][]3 2 1 α ααg l m t = 整理得：33 212αααα -+=T L M T --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有 ?? ? ??=-=+=1 200 3321αααα ---------------（3.3） 解得：,2 1 ,2 1 ,0321- == =ααα 代入（3．1）得 g l t λ= -------（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，

量纲分析法原理

量纲和谐原理 我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名称、记号和量纲如表所示。 表1 流体力学中常见物理量的量纲 速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。 动量是质量m 和速度v 之积。质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。 如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。 如果我们要写出一个流体微团的运动方程 F ma =∑v v 式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W v 、压力P v 、粘滞τv 、力弹性力E v 等；右边是微团的惯性力ma v 。于是得到 +++W P E ma t =v v v v v （5-1） 上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2 LMT -]。又如，关于理想流体的伯努利方程

2 ++=2v p z H g g r 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。 一个量纲齐次性的方程，可以化为无量纲方程，只要用方程中的任意一项除其他各项。例如，在式（5-1）中，用惯性力项遍除其他各项，于是各项都变成无量纲量，而各无量纲量之和等于1，即 +++1W P E ma ma ma ma τ=v v v v v v v v 由以上讨论可见，运用量纲可以更明显地指出物理量的性质。 不同量纲的物理量不能相加减，但它们可以根据某种需要进行乘除，从而导出另一量纲的物理量。 量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性和完整性，也可以用来确定公式中物理量的未知指数，还可以用来建立有关方程式。对于量纲齐次的方程，只要用方程的任一项量纲去除其余各项，就可以使方程的每一项都变成无量纲量，方程变为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有和谐原理，通过量纲分析和计算，将原来含有较多物理量的方程转化为含有比原物理量少的无量纲方程，使得为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。 量纲分析法原理 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法分为瑞利法和p 定理白金汉定理法。 为了简单地说明量纲分析法，我们先来讨论理论力学中熟悉的单摆周期，其关系式为 =2t π （5-2） 假设，我们先前只见过单摆的物理现象，而还不知这个表明单摆周期的关系式时，可以

量纲分析法原理

量纲与谐原理 我们经常遇到许多物理量,如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名称、记号与量纲如表所示。 表1 流体力学中常见物理量的量纲 速度表示单位时间内所经历的距离,它的单位就是[米/秒]。距离就是长度l ,它的量纲就是[L ],而时间t 的量纲就是[T ],故速度v 的量纲就是[1LT -]。 动量就是质量m 与速度v 之积。质量的量纲就是[M ],故动量的量纲就是[1MLT -]。 如果我们选定三个相对对立的,例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲,那么其她物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示,例如,加速度a 的量纲可表示为[2LT -],力F 的量纲可表示为[2LMT -]。当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时,用量纲表示就比较便利。 如果我们要写出一个流体微团的运动方程 F ma =∑v v 式子左边就是作用在微团的各力与,它可以包括:重力W v 、压力P v 、粘滞τv 、力弹性力E v 等;右边就是微团的惯性力ma v 。于就是得到 +++W P E ma t =v v v v v (5-1) 上式中的每项都就是力,所以各项的量纲都就是[2 LMT -]。又如,关于理想流体的伯努利方程 2 ++=2v p z H g g r 表示流管中三项能头之与保持常数,即等于总能头H 。每项的单位都就是米,故它们的量纲 都就是[L]。不仅如此,在力学上任何有物理意义的方程或关系式,每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲与谐性原理,又称为“量纲齐次性规律”。量纲与谐原理就是由傅里叶1822年提出来的,它就是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念,也就是量纲分析法的理论基础,并可具体表达成:只有相同类型的物理量才能相加减,也就就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小;不同类型的物理量相加减没有任何意义。例如,速度可以与速度相加减,但绝不可以加上粘性系数或压力。当然,相同量纲与不同单位的物理量之间就是可以相互加减与比较大小的,因为只要将其单位稍加换算即可完成。 一个量纲齐次性的方程,可以化为无量纲方程,只要用方程中的任意一项除其她各项。例如,在式(5-1)中,用惯性力项遍除其她各项,于就是各项都变成无量纲量,而各无量纲量之与

相似原理与量纲分析

第五章 相似理论与量纲分析 5．1基本要求 本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。 5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义， 量纲的定义。 5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。 5．2基本知识点 5．2．1相似的基本概念 为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即 n n l m m L d C L d == n m θθ= 相应有 222n n A l m m A L C C A L === 333n n V l m m V L C C V L === 2. 运动相似 两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。

n n u m m u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2 u u a t l C C C C C == 3. 动力相似 两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。 Im pn n In n Gn En F m m Gm pm Em F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 5．2．2相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。常用的相似准数为: 1. 雷诺数Re Re uL uL ρμν = = ，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。 2. 弗汝德数Fr 2 u Fr gL =，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。 3. 欧拉数Eu 2 p Eu u ρ?= ，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。 4. 斯特劳哈勒数St 2L u t St tu u L = =，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。 5．2．3模型律 1. 模型律的选择 动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也

相似原理与量纲分析

相似原理与量纲分析

对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N 倍，进行相应的实验，得到相应的规律， 来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安

装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高 能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以

量纲分析

第一节量纲分析方法 1.1量纲 当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 　 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲： 实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。 有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。 要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。 1.2 量纲齐次原则 当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一

量纲分析法

3、量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi 定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为 [][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v . 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， []η ξεδγβαJ N I T M L q Θ= 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式 3211αααλg l m t = ---------------（3.1） 其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 [][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T L M T --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有 ?? ???=-=+=12003321αααα ---------------（3.3） 解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 g l t λ= -------（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理， 定理：设n 个物理量n x x x ,,,21ΛΛ之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f ΛΛ --------------（3.5） [][]m x x ΛΛ1为基本量纲，n m ≤。1x 的量纲可表示为

量纲分析法

最纲分析法 量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一种有效的研究手段。量纲分析常用于： （1）物理量量纲的推导； （2）根据量纲和谐原理，校核由理论分析推导出的代数形式方程各项因次是否正确； （3）量纲分析基于表达自然现象的物理规律，不取决于所用量纲的单位，因而，在表达这些规律的公式中，可用无量纲组合的形式来表示，从而使方程形式简化； （4）用于确定模型实验的相似条件，指导整理实验资料、把无量纲数组合整理成含有待定系数的函数式，这个函数式可将模型参数换算、推广至原型，其中待定系数由实验确定。 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利（Rayleigh）法，适用于比较简单的问题；另一种称定理，是一种具有普遍性的方法。 一、瑞利法 瑞利法的基本原理是某一物理过程同n个物理量有关 其中的某个物理量可表示为其它物理量的指数乘积 （9-3） 写出量纲式为 dimq =K·dim() i 将量纲式中各物理量按式（9-1）表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数，就可得出表达该物理过程的方程式。

用瑞利法求力学方程，在有关物理不超过4 个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出量纲指数，建立方程。 二、定理 定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉（Buckingham）1915年提出，又称为布金汉定理。定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m）个无量纲项所表达的关系式来描述，即 （9-4） 由于无量纲项用表示，定理由此得名。定理可用数学方法证明。 定理的应用步骤： （1）找出物理过程有关的物理量 （2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动通常选取速度以及密度、特征长度三个基本量。 （3）基本量依次与其余物理量组成项 ………

量纲分析法

量纲分析法 3、量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是 在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则 可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l, 质量和时间的tm量纲作为基本量纲，记为 ,1,2,,,,; 而速度的量纲可表示为. v,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv，力f 在国际单位制中，有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和 物质的 ,量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。任一个物理 量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， ,,,,,,, ,,q,LMTI,NJ 量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系;先看一 个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 l例3—1: 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固 定，小m 球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。 mgt

t,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式 ,,,312t,,mlg ---------------(3.1) 1 其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取(3(1)式的量纲表达式 有 ,,,,,23 ,,,,，,,2,,1232331T,MLT 整理得: --------------(3.2) ,,,,,,,,t,mlg 由量纲齐次原则应有 ,,0,1,,,，,0 ---------------(3.3) ,23 ,,2,,13, 11l,,0,,,,,,,,解得: 代入(3(1)得 -------(3.4) t,,123g22 (3.4)式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理， 定理:设n个物理量之间存在一个函数关系 x,x,？？,x12n --------------(3.5) ，，fx,x,？？,x,012n 为基本量纲，m,n。的量纲可表示为 ,,,,x？？xx1m1 m,ij[x],[x]i,1,2,？？,n ij,,1j RankA,r,矩阵称为量纲距阵，若则(3.5)式与下式等价， A,(,)ijn，m F(,,？？,),012n,r 其中F为一个未定的函数关系，为无量纲量，且可表示为 ,,ss n(s),i,,x -----------(3.6) si,,1i (s)(s)(s)(s)T而为线性齐次方程组的基本解向量. ,,(,,？？,)A,,012n 利用Pi定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量, ,,？？,12n,r 作为量纲分析法的应用，下面我们介绍航船阻力的建模. 3(2 航船的阻力，

第四章 量纲分析和相似原理

第四章 相似原理与量纲分析 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。 §6—1 量纲分析 一、量纲、无量纲量 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。 是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。 ● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数 值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。 ● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲 基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。 基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。1） 1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量； 2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν； 3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ. ● 纯数 如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数22 1∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。 ● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。

量 纲 分 析 法 建 模

§5 量 纲 分 析 法 建 模 量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化． 一、量纲齐次原则 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长 度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT 表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律22 1r m m k f =中的引力常数k ，由 2 21m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲 记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2， [k]= 213--T M L . 对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )． 用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系 [6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子． 单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动

相似原理和量纲分析习题

第三节流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件： 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题： 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 第四节近似模拟试验 完全相似和不完全相似 动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。 例如： 粘滞力相似：由得 重力相似：由得 由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。 一、物理方程量纲一致性原则 第五节量纲分析 1、量纲 量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。 如：

量纲分析法

量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi 定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为 [][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v . 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， []ηξεδγβαJ N I T M L q Θ= 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式 3 211αααλg l m t = ---------------（3.1） 其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 [][][][]3 2 1 α ααg l m t = 整理得：3321 2αααα-+=T L M T --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有 ?? ? ??=-=+=1 200 3321αααα ---------------（3.3） 解得：,2 1 ,2 1 , 0321- == =ααα 代入（3．1）得 g l t λ= -------（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理， 定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）

量纲分析法

量纲分析方法 倪致祥主讲 为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。 一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，但是决不能用公斤或吨为单位。不同量纲的物理量之间有本质的区别，相互不能换算。说一根木头长度为2?10-16光年虽然很不合适，但是并没有原则性错误；如果说一根木头长度为100公斤，就要让人笑掉大牙。 通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量纲导出。例如，我们取基本的量纲为L、T 和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。 由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一致，这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律，我们可以导出力的量纲为MLT-2。在量纲一致的原则下，问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物理理论解决实际问题的一个有力工具，可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理，导出新知识和获得新信息。下面我们来看几个典型的例子： 例1. 真空中自由落体的速度 设物体的释放高度为h，自由降落的落地速度为v，不失一般性，我们假定v与物体的质量m、重力加速度g和h有关，即 v＝v ( m, g, h ) (1) 不做实验，你能求出上述关系式的具体形式吗？

量纲分析

量纲分析 1，试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q 的表达式。已知q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关。 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关系式表示为 2. 将q 写成H ，ρ，g 的指数乘积形式，即 3. 写出量纲表达式 4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为 5. L ：2=a-3b+c T ：-1=-2c ? M ：0=b 6. 代入指数乘积式，得 即 2求水泵输出 功率的表达式。已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关。 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关,用函数关系式表示为 2. 将N 写成γ ，Q ，H 的指数乘积形式，即 (,,)q f H g ρ=a b c q kH g ρ=dim dim () a b c q H g ρ=2132[][][][] a b c L T L M L LT ---=3/201/23/2q kH g k ρ= =3/23/2 q k ==g γρ=(,,,)0f N Q H γ=

3. 写出量纲表达式 4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为 5. L ：2=-2a+3b+c T ：-3=-2a-b ?M ：1=a 6. 代入指数乘积式，得 其中，k 为无量纲系数，通过实验来确定 相似准则 【例4.10】汽车高h p ＝1.5m ，最大行速为108km/h ，拟在风洞中测定其阻力。风洞的最大风速为45m/s ，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为1.50KN ，试求原型汽车所受得阻力。 解：把握两个方面：一是确定哪个是决定性相似准则；二是分清哪些量是模型上得量，哪些量是原型上得量。对于分析气体阻力问题，可按雷诺相似准则计算。雷诺准则为 由于 故 又因为阻力得比尺可写成： 由于此 a b c N k Q H γ=dim dim () a b c N Q H γ=232231[][][][]a b c L T M L T M L T L ----=N k QH γ=1l v υ λλλ=1v λ=1m l p υυλλυ==1081.5145 3.6p p m p l m h h h m υλυ===?=?22 P F l ρυλλλλλ==1,1/l ρυλλλ==22221 l P l l υλλλλλ===1.50P m P P KN ==

量纲分析法原理

量纲和谐原理 我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名称、记号和量纲如表所示。 表1 流体力学中常见物理量的量纲 速度v表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。距离是长度l，它的量纲是[L]，而时间t的量纲是[T]，故速度v的量纲是[1 LT-]。 动量是质量m和速度v之积。质量的量纲是[M]，故动量的量纲是[1 MLT-]。 如果我们选定三个相对对立的，例如长度l的量纲[L]、时间t的量纲[T]、质量m的量纲[M]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示，例如，加速度a的量纲可表示为[2 LT-]，力F的量纲可表示为[2 LMT-]。当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。 如果我们要写出一个流体微团的运动方程 ∑ = F ma 式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W、压力P、粘滞τ、力弹性力E 等；右边是微团的惯性力ma。于是得到 W P E ma（5-1） +++ LMT-]。又如，关于理想流体的伯努利方上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2 程

2 ++=2v p z H g g 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。 一个量纲齐次性的方程，可以化为无量纲方程，只要用方程中的任意一项除其他各项。例如，在式（5-1）中，用惯性力项遍除其他各项，于是各项都变成无量纲量，而各无量纲量之和等于1，即 +++1W P E ma ma ma ma τ= 由以上讨论可见，运用量纲可以更明显地指出物理量的性质。 不同量纲的物理量不能相加减，但它们可以根据某种需要进行乘除，从而导出另一量纲的物理量。 量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性和完整性，也可以用来确定公式中物理量的未知指数，还可以用来建立有关方程式。对于量纲齐次的方程，只要用方程的任一项量纲去除其余各项，就可以使方程的每一项都变成无量纲量，方程变为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有和谐原理，通过量纲分析和计算，将原来含有较多物理量的方程转化为含有比原物理量少的无量纲方程，使得为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。 量纲分析法原理 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法分为瑞利法和 定理白金汉定理法。 为了简单地说明量纲分析法，我们先来讨论理论力学中熟悉的单摆周期，其关系式为 =2t π （5-2） 假设，我们先前只见过单摆的物理现象，而还不知这个表明单摆周期的关系式时，可以