【高考数学真题解三角形】专题5 四边形突破-教师版
四边形突破 【典例1】（2018·全国高考真题（理））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2）若 DC =，求BC . 【答案】（1）5 ；（2）5. 【解析】（1）在ABD ?中，由正弦定理得 sin sin BD AB A ADB =∠∠. 由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以sin 5 ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin 5 BDC ADB ∠=∠=.在BCD ?中，由余弦定理得 2222cos 2582525BC BD DC BD DC BDC =+-???∠=+-??=. 所以5BC =. 【典例2】（2014·湖南高考真题（理））如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC （1）求cos ∠CAD 的值； （2）若cos ∠BAD ，sin ∠CBA ，求BC 的长． 【答案】(1)cos CAD ∠= 3
【解析】（I ）在ADC 中，由余弦定理得cos CAD ∠= (II)设,BAC BAD CAD αα∠==∠-∠则 72cos CAD cos BAD sin CAD sin BAD sin α∠=∠=∴∠=∠= ∴= 在ABC 中，由正弦定理， sin sin BC AC CBA α=∠，故3BC = 【典例3】（2014·全国高考真题（文））四边形 的内角与互补，． （1）求和； （2）求四边形 的面积． 【答案】（1）060C =， BD =；（2 ） 【解析】（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-?．① 2222cos BD AB DA AB DA A =+-? 54cosC =+．② 由①②得1cosC 2= ，故060C =， BD =． （2）四边形的面积 11sin sin 22 S AB DA A BC CD C =?+? 0111232sin6022S ??=??+?? ??? =． 【典例4】（2014·湖南高考真题（文））如图4，在平面四边形ABCD 中，
第26讲 解三角形【教师版】
第26讲 解三角形 夯实基础 【p 55】 【学习目标】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力． 【基础检测】 1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝ 3 2 且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D .3 【解析】由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b ＜c ，∴b ＝2. 【答案】C 2．在△ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，若B ＝30°， c ＝23，b ＝2，则C ＝( ) A .π3 B .π3或2π3 C .π4 D .π4或5π4 【解析】由正弦定理b sin B ＝c sin C 得212＝ 23sin C sin C ＝ 3 2，∴C ＝π3或2π3 . 【答案】B 3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，则B ＝( ) A . π 6 B . π 4 C . π 3 D . 3π4 【解析】由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－ b 2＝a c ，即cos B ＝1 2，所以B ＝π3 . 【答案】C 4．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22 3，a ＝2，该三角形的面积为2， 则b 的值为( )
高中数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)
高中数学解三角形的实际应用举例综合测 试题(含答案) 解三角形的实际应用举例同步练习 1．在△ABC中，下列各式正确的是（） A. ab ＝sinBsinA B.asinC＝csinB C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B) 2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2 ，则这个三角形的最大角是（） A.135 B.120 C.60 D.90 3．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C 岛成60的视角，从B岛望A岛和C岛成75角的视角，则B、C间的距离是（） A.52 nmile B.103 nmile C. 1036 nmile D.56 nmile 4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A.、a、b B.、、a C.a、b、 D.、、 5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为，风速为. 6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝. 7．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯
塔的距离是. 8．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是. 9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进103 米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是米. 10．在△ABC中，求证：cos2Aa2 －cos2Bb2 ＝1a2 －1b2 . 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得CAB＝45，CBA＝75，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m） 12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？ 答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．东南2 a 6．40 7．103 8．203 ，203 3 9．15 10．在△ABC中，求证：cos2Aa2 －cos2Bb2 ＝1a2 －1b2 . 提示：左边＝1－2sin2Aa2 －1－2sin2Bb2 ＝(1a2 －1b2 )－2(sin2Aa2 －sin2Bb2 )＝右边. 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标
最新数学三角函数与解三角形解答题100题(教师版)
最新数学三角函数与解三角形解答题100题 一、解答题 1．（2020·山西高三期末（理））在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()sin cos 2sin sin cos B A C A B =-. （1）求B ; （2）若5b =，且AC 边上的中线长为3，求ABC ?的面积. 【答案】（1） 3π；（2 2．（2018·江苏高三期末（理））已知ABC ?中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C sin cos +C c B c =， （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11 tan tan A C +的值. 【答案】(1)3 B π = ； . 3．（2020·广东高一期末）已知02 π α<< ，且5 13 sin α= ． ()1求tan α的值； ()2求 ()222222sin sin sin cos sin απαα παα --? ?++ ?? ?的值． 【答案】(1) 512；(2) 717 4．（2020·广东高三期末（理））在ABC n 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 sin sin sin sin c B A a b B C -=+-. （1）求角A ； （2 ）若3,cos a B == ，求ABC n 的面积. 【答案】（1）60A ?=；（2 ）ABC S = △
5．（2017· 江苏高考模拟）已知向量) ,1m x =-r ，()2sin ,cos n x x =r . （1）当3 x π = 时，求m n ?r r 的值； （2）若0, 4x π??∈???? ，且12 m n ?=-r r ，求cos2x 的值. 【答案】（1） 12（2 ） 6 6．（2016·安徽高一期末）若函数2 cos 2sin y x p x q =++有最大值9，最小值6，求实 数,p q 的值. 【答案】 ， . 7．（2017·广西南宁三中高一期末（理））已知向量a r ＝(cos 32x ，sin 32 x )，b r ＝(－sin 2x ，－cos 2x )，其中x ∈[2 π ，π]． （1）若|a r ＋b r | x 的值； （2）函数f(x)＝ a r · b r ＋|a r ＋b r |2，若() c f x >恒成立，求实数c 的取值范围． 【答案】（1） 712π或1112 π；（2）()5,+∞． 8．（2020·四川高一期末）已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα?? --- ? ?? = ?? --- ??? . (1)化简()f α； (2)若α是第三象限角，且()1 sin 5 απ-= ，求()f α的值. 【答案】(1)()cos f αα=- ;(2) 5 . 9．（2019·上海市南洋模范中学高一期末）已知小岛A 的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计
解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．
解三角形应用举例教学设计
解三角形应用举例（第一课时） 【教材分析】 本节课选自人教A版《必修五》第一章第二节（第一课时），是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。【学情分析】 本节课的教学对象是高二年级的学生。 1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。 2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。 【课型】 实际应用课 【教学方法】 自主探究，合作探究 【教学准备】 多媒体设备，天宫二号成功发射视频，三封信件 【教学目标】 1.知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义 ②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法 2.过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架 ②通过解三角形应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用 3.情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 【教学难点】 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 【教学过程】（含时间分配） 一、创设情境，明确目标（5分钟） 观看视频。提出：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 【学生活动】感受生活中的数学，体会了生活中测量距离的现实需要． 【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．数学方法是解决实际问题的一大途径。实际问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。 【设计意图】通过视频，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣． 二、实际问题，建立数学模型（25分钟） 例1、如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=?51，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：?ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。 解：根据正弦定理，得 ACB AB ∠sin =ABC AC ∠sin AB=ABC ACB AC ∠∠sin sin =ABC ACB ∠∠sin sin 55=) 7551180sin(75sin 55?-?-?? =??54sin 75sin 55≈ 65.7(m)
几何证明选讲解三角形排列组合(教师版)
几何证明选讲练习 姓名_______________ 1．如图，在中，， ，过作的外接圆的切线，，与外接圆交于点，则的长为__________． 【答案】 2．如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD //AC ． 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ． 若AB = AC ， AE = 6， BD = 5， 则线段CF 的长为______． 【答案】 83 3．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC =_________． 【答案】 4．如图， 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ， 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ． 已知PD =2DA =2， 则PE =_____． 【答案】.6 ABC 090C ∠=060,20A AB ∠==C ABC CD BD CD ⊥BD E DE 5 . A E D C B O 第15题图
5．如图2， O 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为____________． 【答案】2 3 6．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CE EO 的值为___________． 【答案】8 7．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ．若PA=3，916PD DB =：：，则PD=_________；AB=___________． 【答案】95 ；4 解三角形练习 1．如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC= 点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______． 【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题． 【解析】（法1）过A 作AE ⊥BC,垂足为E ，∵AB=AC=2，BC=∴E 是BC 的中点，且EC=O D E B A C
2解三角形-教师版(文科)全国卷(1,2,3)解答题分类汇编
解三角形 1、【2015数学全国1】17．（12分）（2015全国一文）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且a = 求ABC ?的面积． 【解析】（I ）由题设及正弦定理可得：22b ac =． 又a b =，可得2,2b c a c ==． 由余弦定理可得：2221cos 24 a c b B a c +-==． （II ）由（I ）知 22b ac =．因为90B =，由勾股定理得222a c b +=．故222a c ac +=，得c a =． 所以ABC ?的面积为1． 2、【2015数学全国2】17．（12分）.2,DC BD BAC AD BC D ABC =∠?平分上的点，是中， （Ⅰ）求 ;sin sin C B ∠∠ （Ⅱ）若.,60B BA C ∠?=∠求 【解析】（Ⅰ）由正弦定理得,sin sin AB AC C B =∠∠ 再由三角形内角平分线定理得∴==，21BD DC AB AC .21sin sin =∠∠C B （Ⅱ）?=∠+∠∴?=∠120,60C B BAC sin 11.sin 2B C ∠=∠由（）得sin 2sin ,sin(120)2sin ,C B B B ∴∠=∠∴?-∠=展开得 t a n ,30. B B ∠=∴∠=? 3、【2014数学全国2】17．（12分）（2014?新课标II 文）四边形ABCD 的内角A 与 C 互补，2,3,1====DA C D BC AB ． （1）求C 和BD ； （2）求四边形ABCD 的面积． 【解析】（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-?1312cos C =-．① 2222cos BD AB DA AB DA A =+-?54cosC =+．②
专题8 解三角形(教师版)
实用文档 专题8 解三角形 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是 2A B =的（ A ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2 tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤+
实用文档 值，则（） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _ 和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［ 3 2，1) 6．在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线BD=5，求sinA. 【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且 3 6 221== AB DE ，
解三角形的教学设计 高三公开课
《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。四、教学方法： 探究式教学、讲练结合
五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程 教学环节教学内容师生活动设计意图 高考定位明确方向 课题：解三角形 【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识 和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题. 【重难点】三角形中的两解问题、边 角互化、恒等变换问题． 教师引导,把 握高考方向， 强调复习重 难点。 通过高考考 纲，让学生熟 悉本节课高 考考点，以便 更好的备考 高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用 1.【2015高考北京，文11】在C ?AB中， 3 a=，6 b=， 2 3 π ∠A=，则∠B=． 2.【2016高考全国I卷】△ABC的内角 考点1是正 余弦定理的 简单运用，学 生课前完成， 教师课堂上 学生课前完 成例1，目的 是让学生提 前梳理公式， 而课堂上要
解三角形应用举例易错点最新衡水中学自用精品教学设计
解三角形应用举例易错点 主标题：解三角形应用举例易错点 副标题：从考点分析解三角形应用举例易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角，易错点 难度：3 重要程度：5 内容： 【易错点】 1．测量距离问题 (1)海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10n mile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是5 6 n mile.(√) (2)如图1，为了测量隧道口AB 的长度，测量时应当测量数据a ，b ，γ. (√) 图1 图2 2．测量高度问题 (3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×) (4)如图2，B ，C ，D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α＜β)，则可以求出A 点距地面的高度AB .(√) 3．测量角度问题 (5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系， 其范围均是???? ??0，π2. (×) (6)若点A 在点C 的北偏东30°方向，点B 在点C 的南偏东60°方向，且AC ＝BC ，则点A 在点B 北偏西15°方向． (√) [剖析]
1．一个区别 “方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方 向角大小的范围一般是???? ??0，π2. 2．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
解三角形的教学设计高三公开课
解三角形的教学设计高 三公开课 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法： 探究式教学、讲练结合
五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程 教学环节教学内容师生活动设计意图 高考定位明确方向 课题：解三角形 【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理，并 能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题. 【重难点】三角形中的两解问题、 边角互化、恒等变换问题． 教师引导,把 握高考方 向，强调复 习重难点。 通过高考考 纲，让学生 熟悉本节课 高考考点， 以便更好的 备考高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用考点1是正 余弦定理的 学生课前完 成例1，目
高中数学 正余弦定理解三角形 教师版
【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形 中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（SSS SAS ASA AAS ，，，） ，只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理. 知识切片 我会解三角形 你会么？
在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边分别用a b c ， ，表示： 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c A B C == ． 【教师备案】 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC △的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以不如这时给学生讲了. 利用三角形中的线段关系证明正弦定理： ①在R t ABC △中（如图），有sin sin a b A B c c ==，， 因此 sin sin a b c A B ==，又因为sin 1C =，所以sin sin sin a b c A B C == ②在锐角ABC △中（如图），作CD AB ⊥于点D ，有sin CD A b =，即sin CD b A =；sin CD B a =，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a c A C =，因此 sin sin sin a b c A B C == ③在钝角ABC △中（如图），作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则sin CD A b =，即sin CD b A =；()sin 180sin CD B B a =-=，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a c A C =，因此 sin sin sin a b c A B C == 利用平面几何知识证明正弦定理： 如图所示，设O 为ABC △的外接圆的圆心，连BO 并延长交O 于A '，连A C '，则A A '= 或πA A '=-， ∴sin sin 2BC a A A A B R '== ='，即2sin a R A =，同理可证2sin sin b c R B C ==，故有2sin sin sin a b c R A B C === 当ABC △是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理： ①当ABC △是锐角三角形时，过A 点作单位向量i 垂直于AB ， 如图，∵AC AB BC =+, ∴() i AC i AB BC i AB i BC i BC ?=?+=?+?=?， ∴()()cos 90cos 90b A a B -=-，得sin sin b A a B =， 1.1正弦定理与其在解三角形中的应用 知识点睛 i C A c b a D C B A c b a D C B A C B A c b O A ' C A
