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2018年高考文科数学分类汇编:专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》

第九篇:解析几何

一、选择题

1.【2018全国一卷4】已知椭圆C :22

214

x y a +=的一个焦点为(20),

,则C 的离心率为 A .13

B .12 C

D

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2.【2018全国二卷6】双曲线

,则其渐近线方程为

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A .

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B .

C .

D . 3.

【2018全国二11】已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,

且,则的离心率为 A . B .

C

D

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4.【2018全国三卷8】直线分别与轴,轴交于A ,B 两点,点P 在圆

上,则面积的取值范围是

A .

B .

C .

D .

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5.【2018

全国三卷10】已知双曲线

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,则点到的渐近线的距离为 A

B .

C .

D .

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6.【2018天津卷7】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直

于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且126d d +=,则双曲线的方程为

A

22

1412x y -=

B

22

1124x y -= C

22

139

x y -=

D 22

193

x y -= 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>y =y =y =y =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=?C 1-

2120x y ++=x y ()

2

222x y -+=ABP △[]26,

[]48,

??22

221(00)x y C a b a b

-=>>:,(4,0)

C 22

7.【2018浙江卷2】双曲线2

21 3

=x y -的焦点坐标是

A .(0),0)

B .(?2,0),(2,0)

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C .(0,,(0

D .(0,?2),(0,2)

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8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25

x + 23y =1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )

A.2

B.2

C.2

D.4 二、填空题

1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =

________.

2.【2018北京卷10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线

段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.

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3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________.

4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.

5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点

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(,0)F c ,则其离心率的值是 . 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,

(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ?=,则点A 的横坐标

为 .

7.【2018浙江卷17】已知点P (0,1),椭圆24

x +y 2

=m (m >1)上两点A ,B 满足AP =2PB ,则

当m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大.

8.【2018上海卷2】2.双曲线2

214

x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足:221x y +=??,221x y +=??,21

2

x x y y +=

???,

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的最大值为__________

三、解答题

1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =:,点()20A ,

,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.

(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN =∠∠.

2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与

交于,两点,.

(1)求的方程;

(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.

3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.

(1)证明:; (2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:

4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>

的离心率为3

.

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斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .

(Ⅰ)求椭圆M 的方程;

(Ⅱ)若1k =,求||AB 的最大值;

(Ⅲ)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个

2

4C y x =:F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C k l 22

143

x y C +

=:A B AB (1,)(0)M m m >1

2

k <-

F C P C FP FA FB ++=02||||||FP FA FB =+

交点为D .若C ,D 和点71

(,)44

Q -共线,求k .

5.【2018天津卷19】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆

的离心率为

3

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,||AB = (I )求椭圆的方程;

(II )设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.

6.【2018江苏卷18】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1

3,)2,焦点

12(F F ,圆O 的直径为12F F .

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(1)求椭圆C 及圆O 的方程;

(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;

②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.

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7.【2018浙江卷21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在

不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上. (Ⅰ)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;

(Ⅱ)若P 是半椭圆x 2

+2

4

y =1(x <0)上的动点,求△P AB 面积的取值范围.

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8.【2018上海卷20】(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)

设常数t >2,在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (2,0),直线l :x=t ,曲线τ:

28y x =00x t y (≦≦,≧),l 与x 轴交于点A ,与τ交于点B ,P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.

(1)用t 为表示点B 到点F 的距离;

(2)设t =3,

2FQ =∣∣,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积; (3)设t =8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.

参考答案 一、选择题

1.C

2.A

3.D

4.A

5.D

6.C

7.B

8.C 二、填空题

1. 22

2.)0,1(

3.4

4.0222=-+x y x

5.2

6.3

7.5

8.x y 2

1

±= 9.32+

三、解答题

1.解:(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2).

所以直线BM 的方程为y =112x +或1

12

y x =--.

(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .

当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.

由2(2)2y k x y x

=-??=?,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2

k ,y 1y 2=–4.

直线BM ,BN 的斜率之和为 1221121212122()

22(2)(2)

BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=

+=++++.① 将112y x k =

+,222y

x k

=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 121221121224()88

2()0y y k y y x y x y y y k k

++-++++=

==.

所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM +∠ABN . 综上,∠ABM =∠ABN .

2.解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x –1)(k >0).

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).

由得. ,故.

所以.

2(1)4y k x y x

=-??=?2222

(24)0k x k x k -++=2

16160k ?=+=2122

24

k x x k ++=2122

44

(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=

由题设知

,解得k =–1(舍去),k =1. 因此l 的方程为y =x –1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为 ,即.

设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则

解得或 因此所求圆的方程为

或.

3.解:(1)设,,则,. 两式相减,并由得. 由题设知

,,于是. 由题设得,故. (2)由题意得F (1,0).设,则 .

由(1)及题设得,. 又点P 在C 上,所以,从而

2

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3=. 于是.

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同理.

所以.

故.

22

44

8k k +=2(3)y x -=--5y x =-+002

2

0005(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=+??,

0032x y =??=?,00

116.x y =??=-?,22(3)(2)16x y -+-=22(11)(6)144x y -++=11()A x y ,22()B x y ,2211143x y +

=22

22

143

x y +=1

2

12=y y k x x --1212043

x x y y k +++?=1212x x +=122y y m +=34k m

=-302m <<

1

2

k <-33()P x y ,331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=,,,,3123()1x x x =-+=312()20y y y m =-+=-<34m =

3

(1)2P -

1||22

x FA =-uu r 2||=22

x

FB -uu r 121

4()32

FA FB x x +=-+=u u r u u r 2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r

4.解:

(Ⅰ)由题意得2c =

,所以c =

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又c e a =

=

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,所以a =2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2

213

x y +=.

(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+,

由22

13

y x m x y =+???+=??消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2223644(33)48120m m m ?=-?-=->,即24m <,

设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,21233

4

m x x -=,

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则12|||2

AB x x =-=,

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易得当20m =

时,max ||AB =||AB

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(Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y , 则2

2

1133x y += ①,2

2

2233x y += ②, 又(2,0)P -,所以可设1

112

PA y k k x ==

+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122

(2)13

y k x x y =+???+=??消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=, 则2113211213k x x k +=-+,即2

1312

1

1213k x x k =--+,学科*网 又1112y k x =

+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+, 所以1111712(

,)4747x y C x x --++,同理可得22

22712(,)4747

x y D x x --++.

故3371(,)44QC x y =+

-,4471(,)44

QD x y =+-, 因为,,Q C D 三点共线,所以34437171

()()()()04444

x y x y +--+-=,

将点,C D 的坐标代入化简可得12

12

1y y x x -=-,即1k =.

5. 解:(I )设椭圆的焦距为2c ,由已知得2259

c a =,又由222

a b c =+,可得23a b =.

由||AB =

=从而3,2a b ==.

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所以,椭圆的方程为22

194

x y +=. (II )设点P 的坐标为11(,)x y ,点M 的坐标为22(,)x y ,由题意,210x x >>, 点Q 的坐标为11(,)x y --.由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,可得

||=2||P M P Q ,

从而21112[()]x x x x -=--,即215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=,

由方程组236,,

x y y kx +=??

=?消去y ,可得2632x k =+.

由方程组22

1,94,

x y y kx ?+

?=??=?

消去y

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,可得1x =. 由215x x =

5(32)k =+,两边平方,整理得2

182580k k ++=,解得

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89k =-,或12k =-.

当89k =-时,290x =-<,不合题意,舍去;当12k =-时,212x =,112

5

x =,符

合题意. 所以,k 的值为1

2

-.

6.解:(1)因为椭圆C 的焦点为1

2

() 3,0,(3,0)F F -,

可设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b +=>>.又点1)2在椭圆C 上,

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所以2222311,43,a b a b ?+=???-=?

,解得2

24,1,a b ?=??=??

因此,椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.

(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=, 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =-

-+,即000

3x y x y y =-+. 由22

0001,43,x y x y x y y ?+=????=-+??消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,

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所以222222000000()()( 24)(44364820)4x x y y y x ?=--+-=-=. 因为00,0x y >,所以001x y =. 因此,点P 的坐标为. ②因为三角形OAB , 所以1 2AB OP ?=,从而AB =. 设1122,,()(),A x y B x y ,

由(*)得001,2x =

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所以22

2

2

121()()x B y y x A =-+-2220002222

00048(2)(1)(4)x y x y x y -=+?+.

因为22003x y +=,

所以22

022

016(2)32

(1)49

x AB x -==+,即42002451000x x -+=, 解得22005(202x x ==舍去),则201

2

y =,因此P

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的坐标为. 综上,直线l

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的方程为y =+ 7.解:(Ⅰ)设00(,)P x y ,2111(

,)4A y y ,2

221(,)4

B y y . 因为PA ,PB 的中点在抛物线上,

所以1y ,2y 为方程2

02014()422

y x y y ++=?

即22

000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知1202

12

002,

8,y y y y y x y +=???=-?? 所以2221200013||()384

PM y y x y x =

+-=-

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,12||y y -= 因此,PAB △

的面积3

2212001||||4)24

PAB

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S PM y y y x =?-=-△. 因为2

200

01(0)4

y x x +=<,所以22

00004444[4,5]y x x x -=--+∈.

因此,PAB △

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面积的取值范围是. 8.解:(1)由抛物线的性质可知,抛物线x y 82=的准线为2-=x ,

抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离, 由题意知,点B 的横坐标为t ,则2+=t BF 。 (2)当3=t 时,)0,3(A 。

由曲线τ:x y 82

=)0,0(≥≤≤y t x 知:

点B 的纵坐标为6238=?,则)62,3(B 。

由于Q 在线段AB 上,则点Q 的纵坐标取值在]62,0[之间。 由题意)0,2(F ,2=FQ ,则Q 的纵坐标为31222=-, 故)3,3(Q ,OQ 的中点坐标为)2

3

,23(Q 。 由于

22

3

≠,由题意可知PF 的斜率存在,则可设直线PF 的方程为:)2(-=x k y , 所以将点)23,

23(Q 的坐标代入方程得)22

3

(23-=k , 解得3-=k ,则直线PF 的方程为)2(3--=x y 。 代入抛物线方程得3

2

=

P x 。 由于A 、Q 均在直线3=x 上,则AQP ?的AQ 边边长为303=-,

AQ 边上的高等于3

7323=-

=-P A x x , 则P AQP x AQ S -??=

?32136

737321=??=。 (3)存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上。 当8=t 时,)0,8(A ,点B 的纵坐标为888=?,则)8,8(B 。

设),8

(2

n n P ,80≤≤n 。

①若28

2

=n ,则点)4,2(P ,而点)0,2(F ,则x PF ⊥轴。 若以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 为矩形,则FQ PF ⊥, 则y FQ ⊥轴,故点)0,8(Q 。此时点)4,8(E ,由于4888≠=?, 则点E 不在τ上,此情况不成立。

②当28

2

≠n 时,直线PF 的斜率可以表示为16828

22-=-=n n n n k PF

由于FQ PF ⊥,则直线FQ 的斜率可以表示为n

n k FQ

8162-=。

所以直线FQ 的方程为)2(8162

--=

x n n y , 当8=x 时,)28(8162--=n n y n n 4)

16(32-=, 所以)4

)16(3,

8(2n Q -。 而在以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 中,F 、E 为不相邻的两个顶点, 则FE FQ FP =+。

而),28(2n n -=,)4)

16(3,

6(2n -=, 则)448

,

48(22n n n ++=。 故点)448

,

68(22n

n n E ++。 当点点E 在τ上时,有)68

(8)448(

2

22+=+n n n , 移项后去分母整理得48152

=n ,解得5

162

=

n 。 而80≤≤n ,则554=

n ,故)5

5

4,

52(P 。 综上所述,存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在τ上,此时点)5

5

4,52(P 。

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