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【恒心】【好卷速递】上海市长宁区2012年高考二模数学理试题

2012年长宁区高三质量检测试卷数学理

一、填空题:(本大题满分56分,每小题4分)本大题共有14小题,考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1、已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ,若向量→

a 与

b 垂直,则m 等于._______ 2、已知3(,2),cot 2,2

παπαα∈=-则sin = 3、不等式11

11x x

+-1≤的解集为._______ 4、已知球的表面积为20π2cm ,则该球的体积为 ___ 3

cm .

5、函数)(x f y =的反函数为)0(1)1(log 2>++=x x y ,则=)(x f ._______

6、圆的极坐标方程为θθρsin cos 2-=,则该圆的半径为________.

7、二项式5

??? ?

?+x m x 的展开式中3x 的系数为10,则实数m 等于___ . 8、在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若222b c a b c +=-,4AC AB ?=- 且,

则ABC ?的面积等于 ___ .

9、如图,在半径为r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内 切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设n s 为前n 个圆的面积之和,则

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lim n →∞

n s = . 10、已知关于x 的实系数一元二次方程01||2=+-x z x )(C z ∈有实数

根,则|1|i z +-的最小值为___ .

11、对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题:

①若)(x f 是奇函数,则)1(-x f 的图象关于点A (1,0)对称

②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称,则)(x f 为偶函数

③若对R x ∈,有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期为

④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称.

其中正确的命题是___ .(写出所有正确命题的序号)

12、从集合{}2,1,1-=A 中随机选取一个数记为k ,从集合{}2,1,2-=B 中随机选取一个数记为b ,则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 ___

.

13、设定义域为R 的函数???≤-->=,0

,20|,lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(3)(22+-=x f x f y 的零点的个数为___ .

14、如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥

M P A B -、 三棱锥M P B C -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2

f M x y =,且18a x y

+≥恒成立,则正实数a 的最小值为________.

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二、选择题:(本大题20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分。

15、设R x ∈,则“1|1|>-x ”是“3>x ”的 ( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

16、如图给出的是计算11113519

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S =++++ 的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ( )

A .10>i

B .10

C .9i >

D .9i <

17、已知向量(2,0)OB = ,2||=→CA ,(2,2)OC = ,则OA 与

OB 夹角的最小值和最大值依次是 ( ) A.4

,0π B.125,4ππ C. 125,12ππ D.2,125ππ 18、已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆)1(122>=+m y m

x 和双曲线)0(122

>=-n y n x ,P 是它们的一个交点,则ΔF 1PF 2的形状是 ( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .随n m ,变化而变化

三、解答题(本大题共5小题,满分74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

19、(本题满分12分)

小明购买一种叫做“买必赢”的彩票,每注售价10元,中奖的概率为2%,如果每注奖的奖金为300元,那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元?

20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。

如图,已知四棱锥P —ABCD ,底面ABCD 为矩形,AB AD AB PA 2,2===,PA ⊥平面ABCD , E ,F 分别是BC ,PC 的中点。 (1) 求异面直线PB 与AC 所成的角的余弦值;

(2) 求三棱锥EFD A -的体积。

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21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。

已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,公差为d ,n S 为其前n 项和,且满足 221n n a S -=,n *N ∈.数列{}n b 满足1

11+-=n n n a a b ,n T 为数列{}n b 的前n 项和. (1)求1a 、d 和n T ;

(2)若对任意的n *N ∈,不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立,求实数λ的取值范围;

22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。

定义:对函数)(x f y =,对给定的正整数k ,若在其定义域内存在实数0x ,使得

)()()(00k f x f k x f +=+,则称函数)(x f 为“k 性质函数”

。 (1) 判断函数x

x f 1)(=

是否为“k 性质函数”?说明理由; (2) 若函数1lg )(2+=x a x f 为“2性质函数”,求实数a 的取值范围; (3) 已知函数x y 2=与x y -=的图像有公共点,求证:22)(x x f x +=为“1性质函数”。

23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第

3小题满分8分其中①6分、②2分。

设抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ,过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线交于21,P P 两点,已知8||21=P P .

(1)求抛物线C 的方程;

(2)设0>m ,过点)0,(m M 作方向向量为)3,1(=→

d 的直线与抛物线C 相交于B A ,两点,求使AFB ∠为钝角时实数m 的取值范围;

(3)①对给定的定点M )0,3(,过M 作直线与抛物线C 相交于B A ,两点,问是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由。

②对)0)(0,(>m m M ,过M 作直线与抛物线C 相交于B A ,两点,问是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明)

2012年长宁区高三数学检测试卷答案

一、填空题(共14题,每题4分,共56分)

1、2

2、55-

3、)0,1[-

4、(理)π3

520 (文)121--x 5、(理))1(121>--x x (文)20- 6、(理)25 (文)4 7、(理)2 (文)1,0,2- 8、(理)32 (文)8 9、(理)24r π(文)2 10、(理)22- (文)24r π

11、(理)①②③④ (文)4 12、

9

2 13、(理)7 (文)1 14、1 二、选择题(共4题,每题5分,共20分)

15、B 16、A 17、(理)C (文)D 18、B

三、解答题

19、(本题满分12分) (理)解:?-=)10300(ξE 2%+(-10)?98%……………………

8分 =-4(元) …………………………….

10分 答:所求期望收益是-4元。 …………………………….

12分 (文)解:由条件bc a c b -=-+222,2

12cos 222-=-+=∴bc a c b A ,0120=∴A 。 ………………………….

4分

4120cos ||||0-==?→→→→AB AC AB AC ,8||||=∴→

→AB AC , ……………………………. 8分

32120sin ||||2

10==∴→→AB AC S 。 ……………………………. 12分

20、(本题满分14分,第(1)小题8分,第(2)小题6分)

(理)解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则)0,0,2(),2,0,0(B P , )0,4,2(C ,)0,4,2(),2,0,2(=-=∴→

→AC PB ,……………………………. 4分 设→PB 与→AC 所成的角为θ,10

1052224

cos =?=θ,…………………. 6分 ∴异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为

1010。…………………. 8分 (2)3

4124213131=????=??==?--h S V V AED AED F EFD A 。 ……………………………. 14分

(文)解: (1)ABC PA 平面⊥ ,3π

=∠=∠∴PCA PBA ,

1==AC AB ,2,3===∴PC PB PA ,…………………….

2分 中点为BC D ,BC PD ⊥∴,

21522=-=∴BD PB PD ,…………………………. 3分

4

153421512131212+=??+???=∴侧S ,…………………. 5分 4131==?PA S V ABC ………………. 6分

(2)取AC 中点E ,连接DE,则AB DE //,

PDE ∠∴为异面直线PD 与AB 所成角(或其补角)。………………….8分 PDE ?中,2

13,21==PE DE ,…………………………. 10分 设θ=∠PDE ,则10

152cos 222=?-+=DE PD PE DE PD θ,……………………. 12分

因此异面直线PD 与AB 所成角的大小为10

15arccos 。 ……………………………. 14分

21、(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)

解:(1)1,0,111121=∴≠==a a a S a .……………………………. 1分 321322a a a S a ++==,2,1,33)1(2-=∴+=+∴d d d ,当1-=d 时,02=a 不满足条件,舍去.因此2=d .……………………………. 4分

12-=n a n ,121121+--=∴n n b n ,1

221211+=+-=∴n n n T n 。 ……………………………. 6分

(理)(2)当n 为偶数时,)1782(212)8)(12(,8122++=++<∴+<+?n

n n n n n n n λλ, 882≥+n n ,当2=n 时等号成立,)1782(21++∴n n 最小值为2

25, 因此2

25<λ。 ……………………………. 9分 当n 为奇数时,)1582(212)8)(12(--=-+

n n n n λ, n n 82- 在1≥n 时单调递增,1=∴n 时)1582(21--n n 的最小值为2

21-, 2

21-<∴λ。 ……………………………. 12分 综上,2

21-<λ。 ……………………………. 14分 (文)(2))1782(212)8)(12(,8122++=++<∴+<+?n

n n n n n n n λλ, …………………………. 8分

882≥+n

n ,当2=n 时等号成立, …………………………. 10分 )1782(21++∴n n 最小值为2

25, …………………………. 12分 因此2

25<λ。 ………………………. 14分

22、(本题满分16分,第(1)小题4分,第2小题6分,第3小题6分) (理)解:(1)若存在0x 满足条件,则k

x k x 11100+=+即02020=++k kx x , ……………………………. 2分

034222<-=-=?k k k ,∴方程无实数根,与假设矛盾。x x f 1)(=∴不能为 “k 性质函数”。 ……………………………. 4分

(2)由条件得:5

lg 1lg 1)2(lg 2020a

x a x a ++=++,…………………. 5分 即)

1(51)2(202

220+=++x a x a ()0>a ,化简得

0554)5(02

0=-++-a ax x a ,……………………………. 7分

当5=a 时,10-=x ;……………………………. 8分

当5≠a 时,由0≥?,

0)1)(5(20162≥---a a a 即025302≤+-a a ,

2101521015+≤≤-∴a 。 综上,]21015,21015[+-∈a 。

……………………………. 10分

(3)由条件存在m 使m m -=2,即02=+m m 。…………………….11分

2010)1(2)1(0++=++x x f x ,32)1()(2

000++=+x f x f x ,

321222)1()()1(2

00200000---+++?=--+∴x x x f x f x f x x

……………………………. 12分

)]1(2[222201000-+=-+=-x x x x ,……………………………. 14分 令10+=m x ,

则0)2(2)1()()1(00=+=--+m f x f x f m ,………………………. 15分 )1()()1(00f x f x f +=+∴,22)(x x f x

+=∴为“1性质函数”。

……………………………. 16分

(文)解:(1)由)1()()1(00f x f x f +=+得222001+=+x x , (2)

220=∴x ,10=∴x 。 ………………. 4分

(2)若存在0x 满足条件,则k

x k x 11100+=+即02020=++k kx x , ……………………………. 7分

034222<-=-=?k k k ,∴方程无实数根,与假设矛盾。x

x f 1)(=∴不能为 “k 性质函数”。 ……………………………. 10分

(3)由条件得:5lg 1

lg 1)2(lg 2020a x a x a ++=++,…………………. 11分 即)

1(51)2(202

220+=++x a x a ()0>a ,化简得 0554)5(020=-++-a ax x a , ……………………………. 13分

当5=a 时,10-=x ; …………………………….

14分

当5≠a 时,由0≥?, 0)1)(5(20162≥---a a a 即025302≤+-a a ,

2101521015+≤≤-∴a 。 综上,]21015,21015[+-∈a 。……………………………. 16分

23、(本题满分18分,第(1)小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 解: (1)由条件得82=p ,∴抛物线C 的方程为x y 82=;

…………………………….

4分

(理)(2)直线方程为)(3m x y -=代入x y 82=得03)86(322=++-m x m x , 设)0,2(),,(),,(2211F y x B y x A ,则),2(),,2(2211y x FB y x FA -=-=→→, 22121,3

86m x x m x x =+=+。……………………………. 6分 AFB ∠ 为钝角,0)2)(2(,02121<+--∴

0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ,

034))(32(422121<++++-∴m x x m x x ,

……………………………. 8分

因此3

21418321418,043632+<<-∴

<--m m m ,………………. 9分 综上得)3

21418,2()2,321418(+?-∈m 。 ……………………………. 10分

(文)(2)直线方程为)3(-=x a y 代入x y 82=,02482=--∴a y ay ,

……………………………. 6分

096642>+=?a 恒成立。设),(),,(2211y x B y x A ,则24,82121-==+y y a

y y , ……………………………. 7分 2221462||642||||21a a a y y MF S +=+=-?=?,……………………. 9分 ),62(+∞∈∴?S 。……………………………. 10分

(理)(3)①设过M 所作直线方程为)3(-=x k y 代入x y 82=得

02482=--k y ky , (11)

设),,(),,(2211y x B y x A 则24,82121-==+y y k y y , 342,4222121+=+=+∴k

x x k y y ,AB ∴中点)8,34(2k k +,…………………. 12分

2

2

22126414||11||k k k y y k AB +?+=-+=。………………………. 13分

设存在直线0x x =满足条件,则2

2

2026412|34|k k k x k +?+=-+, ……………………………. 14分 16402416)3(8)3(2420420++=+-+-∴k k k x k x 对任意k 恒成立, ???=-=-∴40

)3(8,24)3(020x x 无解,∴这样的直线不存在。 …………………. 16分

②当2=m 时,存在直线2-=x 满足条件;………………………….17分

当2≠m 且0>m 时,直线不存在。 …………………………….18分 (文)(3)设所作直线的方向向量为)1,(p d =→,则直线方程为m x py -=代入x y 82=

得0882=--m py y ,设),(),,(2211y x B y x A ,m y y p y y 8,82121-==+.

…………………………….

12分 又)0,2(F ,则),2(),,2(2211y x FB y x FA -=-=→→,AFB ∠ 为钝角,

0)2)(2(,02121<+--∴

→y y x x FB FA ,……………………………. 14分

即084)(22121<-++-m x x x x , 084]2)([264

)(212

21<-+++-m m y y p y y 2216412p m m <+-∴,该不等式对任意实数p 恒成立,……………….16分 因此,04122<+-m m 246246+<<-∴m .

…………………………….

17分 又2≠m ,因此,当)246,2()2,246(+?-∈m 时满足条件。

…………………………….

18分