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近五年(06-10)福建高考数学理科试卷

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题

福建卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是

（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=

（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于

（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

（3）已知3(,),sin ,2

παπα∈=则tan()4

α+等于

（A ）

（B ）7 （C ）17

（D ）7-

（4）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U A B e等于

（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-

（5）已知正方体外接球的体积是323

π，那么正方体的棱长等于

（A ）（B ）

（C ）

（D ）

（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

928

（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n

（C ）若,m n αα?∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n

（8）函数2log (1)1

x y x x =>-的反函数是

（A ）2

(0)21x

x y x =>- （B ）2

(0)21x

x y x =<-

（C ）21(0)2

x x

y x -=

> （D ）21(0)2

y x -=

（9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??

-???

?上的最小值是2-，则ω的最小值等于

（A ）

（B ）

（C ）2 （D ）3

（10）已知双曲线

222

1(0,0)x

a b a b

=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与双曲线的右

支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

（11）已知1,.0,O A O B O A O B === 点C 在A O C ∠30o

= 设(,)O C m O A nO B m n R =+∈

，则

m n

等于

（A ）

（B ）3 （C

）

（D

（12）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：

2121||.AB x x y y =-+-

给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在A B C ?中，若90,o C ∠=则2

;AC

C B

③在A B C ?

中，.AC CB AB +>

其中真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置

（13）251()x x

展开式中4

x 的系数是（用数字作答）

（14）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = （15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2 将这个小正方体抛掷2次，则向上的数

111,A B C ?又

（16）如图，连结A B C ?的各边中点得到一个新的

连结111A B C ?的各边中点得到222A B C ?，如此无限继续下去，得到一系列三角形：A B C ?，111A B C ?，222A B C ?，...，这一系列三角形趋向于一个点M 已知(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M 的坐

标

是

三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本小题满分12分）

已知函数22

()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈

（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？

（18）（本小题满分12分）如图，四面体

ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2.C

C D

B D

===

== （I ）求证：A O ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

（III ）求点E 到平面ACD 的距离

（19）（本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

138(0120).128000

y x x x =

+<≤已知甲、乙两地相距100千米

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆

12x

y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段

AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围

（21）（本小题满分12分）

已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t

（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由（22）（本小题满分14分）

已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{b n }滿足121

(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；

（Ⅲ）证明：

122

1...().232

n n a a a n n n N a a a +-<

∈

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

敞

新王疆新屋

小子学

头源

福建卷敞

新王疆新屋

小子学

头源

源头学子小屋

一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算每小题5分，满分60分（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）B （12）B

1．,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D.

2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B. 3．已知3(

,),sin ,2

απα∈=

则3tan 4

α=-

，tan()4

α+

1tan 11tan 7

αα

-，选A.

4．全集,U R =且{}|12{|1或3},A x x x x x =->=<->{}2|680{|24},B x x x x x =-+<=<< ∴ ()U A B e=(2,3]，选C. 5．正方体外接球的体积是

323

π，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4

，棱长等于

，选

6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同从中摸出3个球，至少摸到2个

黑球的概率等于213

353

C C C P C

，选A

7．对于平面α和共面的直线m 、,n 真命题是“若,m n αα?∥,则m ∥n ”，选C. 8．对于x>1，函数221log log (1)1

x y x x ==+

-->0，解得

1211

x =--，1121

x =

+-=

-，∴ 原

函数的反函数是2

(0)21

x y x =

>-，选A.

9．函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??-????上的最小值是2-，则ωx 的取值范围是,34ωπωπ??

-???

?， ∴ 32

ωπ

≤或34

ωπ

π≥

，∴ ω的最小值等于32

，选B.

10．已知双曲线

222

1(0,0)x y a b a

=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与双曲线的右支

有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a

，∴

b a

≥3，离心率

e 2

222

c a b

≥4，∴ e ≥2，选C

．已知1,.0,O A O B O A O B ==

点C 在AB 上，且A O C ∠30o

= 设A 点坐标为(1，0)，B 点

的坐标为(0，3)，C 点的坐标为(x ，y)=(34

)，(,)O C m O A nO B m n R =+∈ ，则∴ m=43，n=41

，

=3，选B.

12．对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：

2121||.AB x x y y =-+-

①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，

y 0在y 1、y 2之间，

则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-=

③在A B C ?中，

01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->

01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+-

=2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在A B C ?中，若90,o C ∠=则

;AC C B AB +=明显不成立，选B.

二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题4分满分16分

（13）10 （14）

（15）

（16）52

(,)33

13．25

1()x x

展开式中，4

x 项为2

3151()()10T C x x x

+=?-

=，该项的系数是10.

14．已知直线10x y --=与抛物线2y a x =相切，将y=x －1代入抛物线方程得210ax x -+=，∴

140a =-= ，a =

15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2 将这个小

正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则11111

333333

3(0)4

C C C C C C

P C C ξ++==

，

221166

1(1)9C C P C C ξ==

=，1111

2112

116

1(2)9

C C C C P C C

ξ+==

，11

11116

1(4)36

C C P C C

ξ==

=，

∴ 12

9369

E ξ=++

16．如图，连结A B C ?的各边中点得到一个新的111,A B C ?又连结111A B C ?的各边中点得到222A B C ?，如

此无限继续下去，得到一系列三角形：A B C ?，111A B C ?，222A B C ?，...，这一系列三角形趋向于一个点M 已知(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M 的坐标是A B C ?的重心，∴ M=52(,)33

三．解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力满分12分

解：（I

）1cos 2()2(1cos 2)2

f x x x -=

i n 2

c o s 2

s i n (2).

62x x x π=

++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2

T π

π== 由题意得222,,262k x k k Z πππ

ππ-≤+≤+∈

即 ,.36k x k k Z ππ

ππ-≤≤+∈

()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ?

?-+∈????

（II ）方法一：

先把sin 2y x =图象上所有点向左平移

个单位长度，得到sin(2)6

y x π

的图象，再把所得图象

上所有的点向上平移32

个单位长度，就得到3sin(2)62

y x π

=++

的图象

方法二：

把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3

sin(2)62

y x π=++的图象

（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分12分方法一：（I ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥

,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥

在A O C ?

中，由已知可得1,AO C O ==

而2,AC = 2

AO CO AC ∴+= 90,o

AOC ∴∠=即.A O O C ⊥

,BD OC O = A O ∴⊥平面BC D

（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在O M E ?中，

11,1,222

EM AB O E D C =

O M 是直角A O C ?斜边AC 上的中线，11,2

O M A C ∴=

cos ,4

O EM ∴∠=

∴异面直线AB 与CD

所成角的大小为arccos

（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h

,11 (3)

E AC D A C D E AC D C D E V V h S AO S --??=∴=

在A C D ?

中，2,C A C D AD ===

122

AC D S ?∴=

而2

11,22

C D E AO S ?==

1.7

C D E

AC D

AO S h S ???∴=

= ∴点E 到平面ACD

的距离为

方法二：

（I ）同方法一

（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -

10),(0,0,1),(,

0),(1,0,1),(1,0).22C A E BA C D =-=-

.cos ,4BA C D BA C D BA C D

∴<>==

∴异面直线AB 与CD

所成角的大小为arccos

（III ）解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =

则

.(,,).(1,0,1)0,

.(,,1)0,

n A D x y z n A C x y z ?=--=??=-=??

x z z +=??∴-= 令1,y =

得(n =

是平面ACD 的一个法向量

又1(,,0),22

EC =- ∴点E 到平面ACD 的距离

.7EC n h n

===

（19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分12分

解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

=小时，

要耗没3

13(

40408) 2.517.5128000

?+?=（升）

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升，

依题意得3

131********()(8).

(0120),128000

1280

h x x x x x x

-<≤

80080

'()(0120).640640x

x h x x x x

-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数

∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升

（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力满分12分

解：（I ）22

2,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-

圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12

x =-

上

设1(,),2

M t -

则圆半径

13()(2).2

r =-

--=

由,O M r =

得3,2

解得t =

∴

所求圆的方程为22

()(.2

x y +

+±

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠

代入

21,2

y +=整理得2222

(12)4220.k x k x k +++-=

直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y

则2

122

4,21

x x k +=-

A B ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k

-=-

令0,y =得

0022

211

.21

4210,0,

G G k

x x ky k k k k k x =+=-

++++≠∴-

∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-

（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质

的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力满分12分

解：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+

当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，

()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++

当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f == 当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减， 2

()()8.h t f t t t ==-+

综上，22

67,3,

()16,34,8,4

t t t h t t t t t ?-++

=≤≤??-+>?

（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点

()86ln ,

286

2(1)(3)

'()28(0),

x x x x m x x x x x x x x x x

φφ=-++-+--∴=-+

==>

当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数；当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ=

()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值

当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

()70,

()6ln 3150,

x m x m φφ=->???

=+-

所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为

(7,156ln 3).-

（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力满分14分

（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n

n a ∴+=

即 2*21().n a n N =-∈ （II ）证法一：1

44 (4)

(1).n n k k

k k

n a ---=+

12(...)42.n

n k k k n nk

+++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=

21(1)20.n n nb n b ++-++=

③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=

即 2120,n n n b b b ++-+=

211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列

证法二：同证法一，得 1(1)20n n n b nb +--+= 令1,n =得1 2.b =

设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立

（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么

2[2(1)]2[(1)1].1

k k k k

b b k d k d k k k k +=

+--

=++-----

这就是说，当1n k =+时，等式也成立

根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*

n N ∈都成立

{}1,n n n b b d b +-=∴ 是等差数列

（III ）证明：

21211,1,2,...,,12

2(2)

k k k

k a k n a ++--=

<=--

12231 (2)

n n a a a n a a a +∴

++<

11111

.,1,2,...,,2

2(2

3.222

k k k

k k a k n a +++-==-

=-≥

=--+-

1222311111111...(...)(1),2

322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥

+++=-->-

1...().2

n n a a a n n n N a a a +∴

<∈

2007年高考数学试题福建卷（理工）

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数

1(1)

i +等于

A ．

B ．－

C ．

i D ．－

2．数列{n a }的前n 项和为S L ，若1(1)

n a n n =

+，则5S 等于

A ． 1

B ．

C ．

1 D ．

130

3．已知集合A ＝{|}x x a <，B ＝{|12}x x <<，且R ()A B R = e，则实数a 的取值范围是

A ．a ≤1

B ．a<1

C ．a ≥2

D ．a>2 4．对于向量，a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是

A ．若a ·b=0，则a=0或b=0

B ．若λa=0，则λ=0或a=0

C ．若a 2=b 2，则a=b 或a=-b

D ．若a ·b=a ·c ，则b=c 5．已知函数()sin()(0)3

f x x π

ωω=+

>的最小正周期为π，则该函数的图象

A ．关于点（

，0）对称 B ．关于直线x

＝对称

C ．关于点（

，0）对称 D ．关于直线x

＝对称

6．以双曲线

=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是

A ．x 2+y 2-10x+9=0

B ．x 2+y 2-10x+16=0

C ．x 2+y 2+10x+16=0

D ．x 2+y 2+10x+9=0 7．已知f （x ）为R 上的减函数，则满足1(|

|)(1)f f x

<的实数x 的取值范围是

A ．（-1，1）

B ．（0，1）

C ．（-1，0）（0，1）

D ．（-∞，-1）（1，+∞）

8．已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A ．,,m n αα??m ∥β，n ∥β?a ∥β

B ．a ∥β，,m n αβ???m ∥n

C ．m ⊥a,m ⊥n ?n ∥a

D ．n ∥m,n ⊥a ?m ⊥a

9．把2

1(1)(1)(1)n

x x x +++++???++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim

n n n a a →∞

--等于

A ．

1 B ．

1 C ．1 D ．2

10．顶点在同一球面上的正四棱柱A B C D －''''A B C D 中，AB ＝1

，'AA =

A 、C 两点间的球面距离为

A ．

B ．

．

11．已知对任意实数x 有f （-x ）=-f （x ），g （-x ）=g （x ），且x ＞0时，'()0f x >，'()0g x >，则x ＜0时

A ． '()0f x >，'()0g x >

B ．'()0f x >，'()0g x <

C ．'()0f x <，'()0g x >

D ．'()0f x <，'()0g x <

12．如图，三行三列的方阵有9个数ij a （i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是

121321222331

3233a a a a a a a a a ?? ? ? ???

A ．

3 B ．

C ．

114

D ．

1314

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．已知实数x 、y 满足2

203x y x y y +≥??

-≤??≤≤?

，则z=2x-y 的取值范围是__________。

14．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_______。 15．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ=_______。

16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a ∈A ，都有a ～a ；（2）对称性：对于a ，b ∈A ，若a ～b ，则有b ～a ；（3）传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a ～b ，b ～c 则有a ～c

则称“ ”是集合A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：___________________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，1tan 4

A =

，3tan 5

B =

。

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若△ABC

最大边的边长为 18．（本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A-A 1D-B 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离。 19．（本小题满分12分）

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2万件。

（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）。 20．（本小题满分12分）

如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且Q P Q F F P F Q ?

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知12,M A AF AF BF λλ==

，求12λλ+的值。

21．（本题满分12分）

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =+

，39S =+

（I ）求数列{n a }的通项n a 与前n 项和为n S ；（II ）设n n S b n

（*n N ∈），求证：数列{n b }中任意不同的三项都不可能成为等比数列。

22．（本小题满分14分）

已知函数()x

f x e kx =-，x ∈R

（Ⅰ）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若k>0，且对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试求实数k 的取值范围；

（Ⅲ）设函数F （x ）=f （x ）+f （x ）+f （-x ），求证：1

2(1)(2)()(2)n

n F F F n e +???>+（*n N ∈）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．B 12．D

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．[-5，7] 14

1 15．

16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）解：

（Ⅰ）∵C=π-（A+B ）,

∴tanC=-tan （A+B ）=-

34511314

5+=--

又∵0

π。

（Ⅱ）∵C=

π,

∴AB 边最大，即

. 又∵tanA

A B π

∈、

∴角A 最小，BC 边为最小边。

由22sin 1tan ,cos 4

sin cos 1,

A A A A A ?

==?

??+=?

且(0,)2A π∈,

得sin 17A =

由

sin sin AB BC

得：

sin sin A

B C A B C

所以，最小边BC =18．（本小题满分12分）

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。解法一：

（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ．

∵正三棱柱ABC-A 1BC 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1

连结B1O ，在正方形BB 1C 1C 中，O 、D 分别为BC 、CC 1的中点， ∴B 1O ⊥BD, ∴AB 1⊥BD ．

在正方形ABB 1A 1中，AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ．

（Ⅱ）设AB 1与A 1B 交于点G 1在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得AB 1⊥平面A 1BD ， ∴AF ⊥A 1D ，

∴∠AFG 为二面角A-A 1D-B 的平面角. 在△AA 1D

中，由等面积法可求得5

AF =

又∵112

A G A

B =

∴sin 4

AG AFG AF

∠=

（Ⅲ）△A 1BD

中，111A BD BD A D A B S ?===∴=

S △BCD =1

在正三棱柱中，A 1到平面BCC 1B 1

设点C 到平面A 1BD 的距离为D ．由11A B C D V V C A B D -=-

得

111,3

B C D S S A B D d ?=

∴12

BC D A BD

d S ??=

∴点C 到平面A 1BD

的距离为2

，

解法二：

（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ．

∵在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1.

取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，1,,OB OO OA

的方向为x 、y 、z 轴的正方面建立空间直角坐标系，则B （1，0），D （-1，

1，0），A 1（0，2

），B 1（1，2，0），

∴1(1,2,AB = ，(2,1,0)BD =-

，1(1,2,BA =- .

∵12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=

， ∴111,,AB BD AB BA ⊥⊥

∴AB 1⊥平面A 1BD ．

（Ⅱ）设平面A 1BD 的法向量为n=（x,y,z ）

(1,1,AD =-

，1(0,2,0)AA = . ∵1,n AD n AA ⊥⊥

∴10,0,

n A D n A A ?=??=??

∴0,

20,

x y y ?-+-=??

=??

∴0,.

y x =???

=??

令z=1

得(0,1)n =为平面A 1AD 的一个法向量.

由（Ⅰ）知AB 1⊥平面A 1BD,

∴1AB

为平面A 1BD 的法向量

111

cos ,4n A B n A B n A B <>==

∴二面角A-A 1D-B

的大小为arccos

（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB

为平面A 1BD 法向量.

∵1(2,0,0),(1,2,BC AB =-=

∴点C 到平面A 1BD

的距离11

2BC AB d AB ===

. 19．（本小题满分12分）

本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。解：

（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为： L=（x-3-a ）（12-x ）2,x ∈[9,11]

（Ⅱ）()()()()2

122312L x x x a x '=-----

=（12-x ）（18+2a-3x ）

令0L '=得263

x a =+

或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5，∴228863

a ≤+≤

在263

x a =+

两侧L '的值由正变负.

所以（1）当28693

a ≤+<即932

a ≤<

时,

(9)(93)(129)9(6)m ax L L a a ==---=-

（2）228963

a ≤+

≤

即

952a ≤≤时

2221(6)(63)[12(6)]4(3)3

m ax L L a a a a a =+

=+---+=-

所以3

99(6),

()194(3),5

a a Q a a a -≤

=?-?

≤≤?

答：若932

a ≤<

，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9（6-a ）（万元）；若952

a ≤≤，

则当每件售价为2(6)3

a +

元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3

1()4(3)3

Q a a =-

（万元）

20．（本小题满分12分）

本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和

综合解题能力.满分14分. 解法一：

（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由Q P Q F FP FQ =

得：

(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2

:4C y x =.

（Ⅱ）设直线A B 的方程为：

1(0)x my m =+≠.

设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ??

???

，，联立方程组241y x x m y ?=?=+?，

，

，消去x 得：

440y my --=，2

(4)120m ?=-+>，故

121244y y m y y +=??

=-?，

．由1M A AF λ= ，2M B BF λ=

得：

1112y y m

λ+

=-，2222y y m

λ+

=-，整理得：

21m y λ=--

，22

21m y λ=--

，

12122112m y y λλ??

∴+=--

+ ???

121222y y m y y +=--

2424

m m =--

- 0=

解法二：

（Ⅰ）由Q P Q F FP FQ = 得：()0F Q P Q P F +=

，

()()0PQ PF PQ PF ∴-+=

，

0PQ PF ∴-= ，

PQ PF ∴=

所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2

4y x =.

（Ⅱ）由已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=

，得120λλ< .

则：1

M A AF M B BF

λλ=-

.…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，

则有：11M A AA AF

M B BB BF == .…………②

由①②得：12AF

BF BF

λλ-=

，即120λλ+=.

21．（本题满分12分）

本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数

学思想方法以及推理和运算能力。满分12分解：

（Ⅰ）由已知得111339a a d ?=??+=+??，

2d ∴=，

故21(n n a n S n n =-+

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n n =

假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2

q p r b b b =．

即2

((q p r +

+．

()(20q pr q p r ∴-+--=

p q r *

∈N ，，，

2020q pr q p r ?-=∴?--=?

，

()02p r pr p r p r +??∴=-=∴= ???

，

，．与p r ≠矛盾．

所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 22．（本小题满分14分）

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归

以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力，满分14分。解：

（Ⅰ）由k=e 得()e e x

f x x =-，所以()e e x

f x '=-．

由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．

于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x

f x k '=-=得ln x k =．

①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x

f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．

当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：

由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．

依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，

．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e

F x f x f x -=+-=+ ，

12()()F x F x ∴=12

1212

()

e e

2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，

(1)()e

2n F F n +∴>+，

(2)(1)e 2

()(1)e

n n F F n F n F ++->+>+

由此得，

[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e

2)n n

F F F n F F n F F n F n F +=->+

故1

2(1)(2)()(e

2)n

n F F F n n +*

>+∈N ，。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建理科）

数学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为 A.1

B.2

C.1或2

D.-1

(2)设集合A={x |1

x x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若a 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为 A.63

B.64

C.127

D.128

(4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3

B.0

C.-1

D.-2

(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45

,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率

是

16625

96625

192625

256625

(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为

52 C.

(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A.14

B.24

C.28

D.48

(8)若实数x 、y 满足 x-y+1≤0，则y x

的取值范围是