考研数学公式(高数-线代-概率)40923

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2

22212211cos 12sin u

du

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22

=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C

x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

22

22

2C a

x

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβ

αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x

x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x x

x -+=-+±=++=+-=

=+=

-=

----11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x

x

x x x x

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

2

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理：R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()())(()()(ξξξ

多元函数微分法及应用

α

ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=

-=

-=-=-==

z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y

v

dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

时，，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0

),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

u

F v u

G F J v u y x G v u y x F v

u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=???== 隐函数方程组：

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n

n n q q q q q n n 1

312112

)1(3211111

2

+++++=

++++--=

++++-

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=???

??=><=??

?

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1

113214321,0lim )0,(+∞

→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ 级数： 收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ

函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ

一些函数展开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m 欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix

ix ix

ix ix

e e x e e x x i x e 或 三角级数：

。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )

sin cos (2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y

y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(??? 一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--n y x Q y x P dx

dy

e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy

n dx

x P dx

x P dx

x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u

y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(2

2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy

x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

概率公式整理

1．随机事件及其概率

吸收律：A

AB A A

A A =?=??Ω

=Ω?)( A

B A A A A

A =???

=??=Ω?)(

)(AB A B A B A -==-

反演律：B A B A =? B A AB ?=

n i i

n i i

A A 1

1

=== n

i i

n i i

A A 1

1

===

2．概率的定义及其计算

)(1)(A P A P -=

若B A ? )()()(A P B P A B P -=-?

对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-

加法公式：对任意两个事件A , B , 有

)()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤?

)()

1()()

()()(211

111

1

n n n

n

k j i k

j

i

n

j i j

i

n

i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++

-

=∑∑∑

3．条件概率

()=A B P

)

()

(A P AB P

乘法公式

())

0)(()()(>=A P A B P A P AB P

()()

)

0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P

全概率公式

∑==n i i AB P A P 1

)()( )()(1

i n

i i B A P B P ?=∑=

Bayes 公式

)(A B P k )

()

(A P AB P k =

∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1

)

()()()(

4．随机变量及其分布

分布函数计算

)

()()

()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<

5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布

1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k

(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p

n k p p C k X P k n k

k n ,,1,0,)1()( =-==-

*Possion 定理

0lim >=∞

→λn n np

有

,2,1,0!)

1(lim ==---∞

→k k e

p p C k

k

n n k n

k n n λλ

(3) Poisson 分布 )(λP

k

λ

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布 ),(b a U

??

?

??<<-=其他,0,1

)(b x a a

b x f ???

????--=1,,0)(a b a x x F

(2) 指数分布 )(λE

?????>=-其他,

00,)(x e x f x λλ

?

??≥-<=-0,10,

0)(x e x x F x

λ

(3) 正态分布 N ( , 2 )

+∞<<∞-=

--

x e x f x 2

22)(21

)(σμσ

π

?

∞

---

=

x

t t e

x F d 21

)(2

22)(σμσ

π

*N (0,1) — 标准正态分布

+∞<<∞-=-x e

x x 2

221

)(π

?

+∞<<∞-=

Φ?

∞

--x t e x x

t d 21)(2

2π

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

?

?

∞-∞

-=x

y

dvdu v u f y x F ),(),(

边缘分布函数与边缘密度函数

??

∞-+∞

∞-=x

X dvdu v u f x F ),()(

?+∞

∞-=dv v x f x f X ),()(

??

∞-+∞

∞-=y

Y dudv v u f y F ),()(

?

+∞

∞

-=du y u f y f Y ),()(

8.

连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

?????∈=其他,

0),(,1

),(G

y x A y x f

(2)

二维正态分布

+∞

<<-∞+∞<<∞-?-=

?

???

????-+------

y x e

y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21

2

21σμσσμμρσμρρ

σπσ

9.

二维随机变量的 条件分布

0)()

()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()

()(>=y f y x f y f Y Y X Y

??+∞

∞-+∞

∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ?

?

+∞

∞

-+∞

∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(

)(y x f Y X )(),(y f y x f Y =

)

()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )()

,(x f y x f X =

)

()()(x f y f y x f X Y Y X =

10.随机变量的数字特征

数学期望

∑+∞

==1

)(k k k p x X E

?+∞

∞

-=dx x xf X E )()(

随机变量函数的数学期望

X 的 k 阶原点矩

)(k X E

X 的 k 阶绝对原点矩

)|(|k X E

X 的 k 阶中心矩

)))(((k X E X E -

X 的 方差

)()))(((2X D X E X E =-

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩

)(l k Y X E

X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩

()

l k Y E Y X E X E ))(())((--

X ,Y 的 二阶混合原点矩

)(XY E

X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差

()))())(((Y E Y X E X E --

X ,Y 的相关系数

XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=???

?

??--)()())())(((

X 的方差

D (X ) =

E ((X - E (X ))2)

)()()(22X E X E X D -=

协方差

()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=

)()()(Y E X E XY E -=

())()()(2

1

Y D X D Y X D --±±

= 相关系数)

()()

,cov(Y D X D Y X XY =

ρ