机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业
姓名：徐强
学号：SX1302106
专业：航空宇航推进理论与工程
能源与动力学院
2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。 解答：
一、 单自由度简支梁的振动特性
如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+?
?kx x m ,固有频率ωn =
eq
eq m k ，其中k 为等效刚度，
eq m 为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有
频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而
引起的变形为）（2
24348EI F -)(x l x x y -=（2
0l x ≤≤）, 48EI F -3m ax l y =为最大挠
度，则： eq k =δF
=
3
48EI
l 梁本身的最大动能为：
）（224348EI F -
)(x l x
x y -==）（223
max
43x l l x y -
T max =2×dx x y l m l 2
20)(21?
??
?????=2max 351721?y m ）
（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最
大动能可表示为：
T max =2
max
21
?y m eq
所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 35
17
=
故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：
ωn =
eq
eq m k =
3
171680ml EI
图1 简支梁的单自由度模型
二、 双自由度简支梁的振动特性
如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：
m m eq 258≈
所以，质量矩阵为：
???
???=
→
1001258m m
双自由度简支梁的柔度矩阵：
在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（222
6EI b -)(b x l l
x x y --=则3/l
m
k
处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，
其中EI
l 4863
=δ。 所以，柔度矩阵为：
?
?????=→
8778δa
动力矩阵：
??????=
→
877825
8δm D
令特征行列式为零，得到频率方程为：
=-=?→
→
D I λ
其中，2
1
ωλ=
，将上式整理得：
116158177812=+-=---=
?a a a
a a a
-
其中，25
82582
δωλδm m a =
=。 解上述方程的根为：
15
1
1=
a ,δωm 2451=
12=a ,δ
ωm 825
2=
由式→
→
→
→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i
其中?
??
???=→
)(2)(1i i i X X X
）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：
??????=→
11)1(1
1X X
）（， ?
?????=→1-1)1(12X X ）（
图2 简支梁的双自由度模型
三、 三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：
m m m 41m 231≈
≈=
因此，质量矩阵为：
????
??????=→
1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
?????
?????=→
91171116117119δa
其中，EI
l 7683=δ。 动力矩阵：
????
?
?????=→
911711161171194δm D 令特征行列式为零，得到频率方程为： 0
=-=?→
→D I λ
其中，2
1
ωλ=
，将上式整理得：
091117111611171191=---------=?a
a a a a a a
a
a
其中，442
δωλδm m a =
=。 利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：
0317.01=a ,δωm a 1
14=
5.02=a ,δωm a 2
24=
254.23=a ,δ
ωm a 3
34=
由式→
→
→
→=-0)(）（i i X D I λ，3,2,1=i
其中??
????????=→
)(3)(2)(1i i i i X X X X
）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：
??????????=→
121)1(11X X
）（， ??????????=→1-01)2(12X X ）（, ??
????????=→
12-1)1(13X X ）（
图3 简支梁的三自由度模型
四、 十自由度简支梁的数值方法
将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。
图4 简支梁的十自由度模型
通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：
。
为挠度变形矩阵，如表，其中1,63→
→
→
==y EI
l y a δδ 0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.0339 0.0306 0.0240 0.0137
表1 十自由度挠度变形矩阵→
y
十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于
m 11
1
，因此，质量矩阵为： ????????
??????????=
→
1010000000010000111m m 动力矩阵为：
→→
=y
m D 11
δ
下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法
利用邓克莱法求基频（比准确值小）：
n
nn m a m a m a +++≈ 2221112
1
1
ω
因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以
m 11
1
，可求得：
3
19015ml EI
m δ≈≈
ω
2、瑞利法
（1）瑞利第一商
柔度矩阵求逆得刚度矩阵：
→-→→
==z y k δ
δ3131010，其中，→
z 矩阵见表2。
2.0433
-1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926 -1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.0446 0.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834 -0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.0356 0.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647 -0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647
-0.2649 0.7778 -1.9003 2.0433
表2 矩阵→
z 各元素
假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：
[]T
A 11.933 2.7333.3313.663
3.663 3.3312.7331.933
1κ=→
其中，EI
l 483
=κ。
因此，可以假设振型：
[]T
A 11.933 2.7333.3313.663
3.663 3.3312.7331.933
1=→
则由瑞利第一商公式：→→→→→→=
A
M A A K A A R T
T
I )(，可得：
δm
δm m A R I 46.1646.164965.111)(1≈=?=
ωδ， （2）瑞利第二商
同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：
→→→→→→
→→?=
A
M M A A M A A R T
T
Ⅱ)( 可得: δm
.δm m A R Ⅱ241624.164762.111)(2≈=?=
ωδ， 瑞利法中，
→
M 代表质量矩阵，→
K 代表刚度矩阵，→
?代表柔度矩阵，→
A 为模态向量。
3、李兹法
将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：
[]T 11.9 2.73.33.73.7 3.32.71.911=→
ψ []T 11.8 2.510.20.2- 1-2.5-1.8-1-2=→ψ
[]T 1-2- 1-121 01-2-1-3=→
ψ
则可求出：
由式
→
→
*
→
*
→*
=0-2
A M K ）（ω
，得： 0017.01=a ,1415.02=a ,2959.03=a
?==→→→→
*11
m
M M T
ψψ
72.96 0 -0.6 0 23.06 1.2 -0.6 1.2 18
?==→→→→
*
δψψ3
10K K T
0.1279 0 0.1354
0 4.3927 -1.2322 0.1354 -1.2322 4.2842
其中，???
?
???????=????
??????=***→
23222133211011ωωωδm a a a a ，因此可得： δ
δωδδωδωm m a m m a m m δa 9
.32541011,7.15561011,7.181011333232131
=
??==??==??=***
以及：
????
? ??=????? ??=????? ??=→*→*→
*8372.05468.0-0122.0,6271.07788.00135.0,0349.00099.09993.0-)3()2()
1(A A A
所以系统的前三阶主振型的近似为：
4、矩阵迭代法
单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：
[]T
11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κμ=
其中，δκ8
1483==EI l 。
因此可假设振型：
[]T
A 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.93310=→
利用矩阵迭代求第一阶固有频率和主振型：
[]T m δ
A D 0.69661.3381 1.87072.25232.45032.4503 2.25231.87071.33816966.0110=
→
→
[]
T
m 11.9209 2.68553.23333.51753.5175 3.23332.68551.92091 0633.0?=δ
[]T
A 11.9209 2.68553.23333.51753.5175 3.23332.68551.920911=→
[]
T
m δ
A D 0.67781.3018
1.8196
2.19052.38282.3828 2.19051.81961.30186778.011
1=
→
→
[]
T
m 11.9206 2.68463.23183.51553.5155 3.23182.68461.92061 0616.0?=δ
[]T
A 11.9206 2.68463.2318
3.51553.5155 3.23182.68461.9206
12=→
[]
T
m δ
A D 0.67751.3013
1.8189
2.18952.38182.3818 2.18951.81891.30136775.011
2=
→
→
[]
T
m 11.9207 2.68473.23183.51553.5155 3.23182.68471.92071 0616.0?=δ
[]
T
A 11.9207 2.68473.2318
3.51553.5155 3.23182.68471.9207
13=→
由上，仅3次矩阵迭代后，→
3A 与→
2A 基本相等，因此可以认为系统的第一阶主振型为：
[]T
A 11.9207 2.68473.23183.51553.5155 3.23182.68471.920711=→）
（ 第一阶固有频率为：
δ
δωm m a 23.160616.01131≈==
5、雅可比法
根据雅可比法原理，依次找出上三角非对角线上（考虑对称性）的最大元素，利用公式jj
ii ij d d d -=
22tan θ得到θ值，代入旋转矩阵，可得：
=??=→
→→451R R R
0.349 -0.056 -0.417 0.215 0.396 -0.394 -0.217 0.415 0.058 -0.347
0.396 0.323 -0.134 -0.420 -0.212 0.212 0.420 0.134 -0.324 -0.395 0.398 -0.369 -0.032 0.334 -0.185 -0.215 0.340 0.002 -0.436 0.455 0.321 0.424 0.230 -0.122 -0.387 -0.387 -0.122 0.231 0.423 0.322 0.161 -0.324 0.419 -0.346 0.087 0.244 -0.460 0.454 -0.282 0.102 0.232 0.388 0.422 0.322 0.120 -0.120 -0.322 -0.422 -0.388 -0.232 0.104 -0.231 0.354 -0.442 0.466 -0.424 0.351 -0.263 0.155 -0.053 0.120 0.231 0.322 0.388 0.422 0.422 0.388 0.322 0.231 0.120 0.439 0.101 -0.383 -0.219 0.304 0.337 -0.236 -0.391 0.127 0.415 -0.404 0.453 -0.158 -0.184 0.324 -0.242 0.044 0.217 -0.448 0.399
则：
=??=→
→→→R D R D
T
)
45(
?11
δm 0.0005 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0027 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0084 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0424 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6775 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002
由此得到系统的固有频率：
δ
δδδδδδδδδωm m m m m m m m m m 110000,110000,55000,67.36666,22000
,10000
,07.4074,52.1309,43.259,24.16101=
对应各特征值的特征向量即为振型，即→
R 的列向量为各阶振型。
6、子空间迭代法
取假设振型：
???
????????????
?
????????
????????=→ 1.51
- 1 1
0.52- 1.8 1.9 1.5-1
-2.5
2.71-11
3.30.5-20.23.7210.2-3.7101-3.3012.5-2.72-2-1.8-1.91-1-1-1
0A 由动力矩阵迭代得到：
?=
?→
→→11
0δ
m A M 0.6941 -0.046 0.0341 -0.0176 1.3333 -0.0768 0.0706 -0.0287 1.8642 -0.0834 0.108 -0.0312 2.2447 -0.0629 0.138 -0.0304 2.4421 -0.0234 0.1537 -0.0318
2.4421 0.0234 0.1506 -0.0361 2.2447 0.0629 0.1282 -0.0388 1.8642 0.0834 0.0932 -0.0347 1.3333 0.0768 0.0568 -0.0237 0.6941 0.046 0.0258 -0.011
将各列分别归一化得：
T
?
?
???
?
?
??
???=→2822.06108.08943.019317
.08209.07835.08041.07397.04536.01679.03696.06064.08341.09798.018979.07027.04593.02219.05517.09213.017548.02802.02802.0-7548.0-1-9213.0-5517.0-2842.05460.07633.09191.0119191
.07633.05460.02842.0Ⅰψ
求得→
*Ⅰ
M 和→*Ⅰ
K 分别为：
?
?????
?
?????--=
=→→→
*8041.50899.50721.06327.50899.57483.42625.01344.50721.02625.05995.50
6327.51344
.506129.511Ⅰ
m M M T ⅠⅠ
ψψ
?
?????
?
?????--=
=→→→
*041.0001.00007
.00083
.0001.00119.00063.00076.00007.00063.01324.00
0083.00076
.000083.0103Ⅰδψψ
ⅠⅠ
K K T
再由李兹法得特征值问题为：
→
→*→
*→
*
=0-2
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
）（A M K ω
解出：
00147.01=a ,0236.02=a ,1198.03=a ,3835.04=a
其中，???
?
???????=????
??????=***→
23222133211011ωωωδm a a a a ，相应的主振型为： ??????
? ??-=??????? ??---=??????? ??=??????? ??=→*→*→*→*0479.00854.09872.01262.03275.051.00195.07952.0,0268.07504.0-0355.0-6595.0,0001.0-0044.00002.01)4()3()2()1(Ⅰ
ⅠⅠⅠ
，A A A A
所以：
=→
*→Ⅰ
ⅠA ψ
0.285 0.0527 -0.0249 -0.5397 0.5477 0.0679 -0.0244 -0.9033 0.7661 0.0332 0.0048 -0.985 0.9229 -0.0198 0.0311 -0.7463 1.0042 -0.0589 0.0222 -0.2785 1.0042 -0.0607 -0.0147 0.279 0.9229 -0.0196 -0.0367 0.7477 0.7661 0.037 -0.0146 0.9855 0.5477 0.0665 0.0277 0.901 0.285 0.0495
0.0368 0.5365
各列分别归一化后，得：
=→
ⅠA
0.283808 0.776141
-0.67663
-0.54764 0.545409 1
-0.66304 -0.91659 0.762896 0.488954 0.130435 -0.99949 0.91904
-0.29161 0.845109 -0.75728 1 -0.86745 0.603261 -0.2826 1 -0.89396 -0.39946 0.283105 0.91904 -0.28866 -0.99728 0.758701
0.762896 0.544919 -0.39674 1
0.545409 0.979381 0.752717
0.914257 0.283808
0.729013
1 0.544394
重复上述过程进行第二次迭代。由：
?=
?→
→→11
δ
m A M Ⅰ 0.1926 0.0065 -0.0021 -0.0232 0.3699 0.0085 -0.0017 -0.0388 0.5171 0.0048 0.0008 -0.0422 0.6225 -0.002 0.0025 -0.0322 0.6771 -0.007 0.0015 -0.012 0.6771 -0.007 -0.001 0.0121 0.6225 -0.0019 -0.0024 0.0322 0.5171 0.0049 -0.0007 0.0422 0.3699 0.0086 0.0022 0.0388 0.1926
0.0064
0.0026
0.0232
归一化后得：
=→
Ⅱψ
0.284448 0.755814 -0.80769 -0.54976 0.5463 0.988372 -0.65385 -0.91943
0.763698 0.55814 0.307692 -1 0.919362
-0.23256 0.961538 -0.76303 1 -0.81395 0.576923 -0.28436 1
-0.81395
-0.38462
0.28673
0.919362 -0.22093 -0.92308 0.763033 0.763698 0.569767 -0.26923 1 0.5463 1 0.846154 0.919431 0.284448 0.744186 1 0.549763
则有：
?=
=→
→
→
*
11m M M T ⅡⅡ
Ⅱψψ
5.6156 0.3295 0.4168 0.0024 0.3295 5.166 0.1758 0.0229 0.4168 0.1758 5.2204 0.0837 0.0024 0.0229 0.0837 5.6227
?
=
=→
→
→*δ
ψψ
3
10ⅡⅡ
Ⅱ
K K T
0.0083 0.0009 0.0006 0 0.0009 0.6107 0.0157 0.0004 0.0006
0.0157 1.9186 0.0023 0
0.0004 0.0023 0.1328
由： →
→*→*→*=0-2
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
）（A M K ω
解出： 00147.01=a ,0236.02=a ,1186.03=a ,375.04=a
其中，???
?
???????=????
?
?????=***→
23222133211011ωωωδm a a a a ，相应的主振型为： ??????
?
??=??????? ??--=??????? ??=??????? ??=→*→*→*→*0145.09968.0-031.00722.00043.00017.09983.00581.0,10002.0-0003.00004.0-,000006.0-1)4()3()2()1(ⅡⅡⅡⅡ
，A A A A
=→*→
Ⅱ
ⅡA ψ
0.284
-0.739 0.8411 -0.5495 0.5457 -0.9578 0.7085 -0.9193 0.7633 -0.5176 -0.2488 -1.0002 0.9195 0.2806 -0.9104 -0.7637 1.0005 0.8685 -0.5323 -0.2851 1.0005 0.8726 0.4345 0.2862 0.9195 0.2789 0.9907 0.7628 0.7633 -0.5197 0.3556 0.9999 0.5457 -0.9641 -0.7597 0.9193 0.284
-0.7258
-0.9453 0.5496
各列分别归一化后，得：
=→
ⅡA
0.283858 0.766518 0.848996 0.54939 0.545427 0.993465 0.715151 0.919116 0.762919 0.536874 -0.25114 1
0.91904
-0.29105 -0.91895 0.763547 1 -0.90084 -0.5373 0.285043 1 -0.90509 0.438579
-0.28614 0.91904 -0.28929 1
-0.76265 0.762919 0.539052
0.358938 -0.9997 0.545427 1
-0.76683 -0.91912 0.283858 0.752826
-0.95417 -0.54949
进行第三次迭代：
?=
?→
→→11
δm A M Ⅱ 0.1926 0.0065 0.0024 0.0233 0.37 0.0086 0.002 0.0389 0.5171 0.0049 -0.0008 0.0424 0.6225 -0.002 -0.0026 0.0323 0.6772 -0.0072 -0.0014 0.0121 0.6772 -0.0072 0.0013 -0.0121 0.6225 -0.002 0.0026 -0.0323 0.5171 0.0049 0.0009 -0.0424 0.37 0.0086 -0.002 -0.0389 0.1926
0.0065
-0.0025
-0.0233
归一化得：
=→
Ⅲψ
0.284448 0.755814 -0.80769 -0.54976 0.5463 0.988372 -0.65385 -0.91943 0.763698 0.55814 0.307692 -1 0.919362 -0.23256 0.961538 -0.76303
1 -0.81395 0.576923 -0.28436 1 -0.81395 -0.3846
2 0.28673
0.919362 -0.22093 -0.92308 0.763033 0.763698 0.569767 -0.26923 1 0.5463 1 0.846154 0.919431 0.284448 0.744186 1 0.549763 ?=
=→
→
→*11m M M
T
ⅢⅢⅢ
ψψ
5.6149 0.2908 -0.02 0 0.2908 5.3018 0.025 0 -0.02 0.025 5.7145 -0.0267
0 0 -0.0267 5.6109 ?
=
=→
→
→*δ
ψψ3
10ⅢⅢⅢ
K K T
0.0083 0.0008 0 0 0.0008 0.6267 0.0031 0
0 0.0031 2.1067 -0.0008 0 0 -0.0008 0.1325
由： →
→*→*→*=0-2
Ⅲ
Ⅲ
Ⅲ
）（A M K ω
解出：00147.01=a ,0236.02=a ,1185.03=a ,3687.04=a
其中，???
?
???????=????
??????=***→
23222133211011ωωωδm a a a a ，相应的主振型为： ??????
? ??=??????? ??-=??????? ??=??????? ??=→*→*→*→
*10001.0000047.010049.00038.0,009987.00511.0-,000006.0-1)4()3()2()1(ⅢⅢⅢⅢ
，A A A A
由于→*Ⅲ
A 近似于单位矩阵，所以有：
→
→*→→
==ⅢⅢ
ⅢⅢψψA A
本次迭代的结果与第一次迭代的结果相差不大，所以可以结束迭代。故系统的前二阶固有频率及相应的主振型的近似分别为：
δ
ωδωδωδωm m m m 7
.40055.1303,6.259,17.164321====
， ==→→→→→
)()
4()3()
2()1(A A A
A A Ⅲ 0.284448
0.755814 -0.80769 -0.54976 0.5463 0.988372 -0.65385 -0.91943 0.763698 0.55814 0.307692 -1 0.919362
-0.23256 0.961538 -0.76303 1 -0.81395 0.576923 -0.28436 1
-0.81395 -0.38462 0.28673 0.919362 -0.22093 -0.92308 0.763033
0.763698 0.569767
-0.26923 1 0.5463 1 0.846154
0.919431 0.284448
0.744186
1
0.549763
五、 连续分布简支梁的振动特性
（1）理论解
（2）数值解
哈工大机械振动基础大作业
《机械振动基础》大作业 （2015年春季学期） 题目基于MATLAB求系统特性 姓名 学号 班级 专业机械设计制造及其自动化 报告提交日期 哈尔滨工业大学
报告要求 1.请根据课堂布置的2道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭； 2.报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等； 3.报告统一用该模板撰写，字数不少于3000字，上限不限； 4.正文格式：小四号字体，行距为倍行距； 5.用A4纸单面打印；左侧装订，1枚钉； 6.课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班 长收齐，统一发送至：。 7.此页不得删除。 评语： 成绩（15分）：教师签名： 年月日
解多自由度矩阵的认识体会。二、MATLAB程序图： >> m=[]; k1=[]; k=[]; c=[]; c1=[]; for i=1:9 a=input('输入质量矩阵m：'); m(i,i)=a; end ; for j=1:9 b=input('输入刚度系数k：'); k1(1,j)=b; end for l=1:8 k(l,l)=k1(l)+k1(l+1); k(9,9)=k1(9); k(l+1,l)=-k1(l+1); k(l,l+1)=-k1(l+1); k(9,8)=-k1(9);
k(8,9)=-k1(9); end ; syms w; B=k-w^2*m %系统的特征矩阵B Y=det(B); %展开行列式 W=solve(Y); %求解wh lW=length(W); [V,D]=eig(k,m); for I=1:9 for J=1:9 V(J,I)=V(J,I)/V(5,I); end end V W 三 MATLAB结果输入输出： 程序输入内容： 输入质量矩阵m：1 输入质量矩阵m：2 输入质量矩阵m：3 输入质量矩阵m：4 输入质量矩阵m：5 输入质量矩阵m：6 输入质量矩阵m：7 输入质量矩阵m：8 输入质量矩阵m：9 输入刚度系数k：10 输入刚度系数k：11 输入刚度系数k：12 输入刚度系数k：13 输入刚度系数k：14 输入刚度系数k：15 输入刚度系数k：16 输入刚度系数k：17 输入刚度系数k：18
(完整版)机械振动习题答案
机械振动测验 一、 填空题 1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大 值和③极小值而往复变化。 2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而 系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、 环境预测 5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类， 振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势 能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无 关。 二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ=
三、 求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。
北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题 自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。
五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均 为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。 又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。
大学 机械振动 课后习题和答案
试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为： 1122P k x P k x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++
求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+
两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&
机械振动习题集与答案
《机械振动噪声学》习题集 1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动； (b) 周期振动和周期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为 0.20 cm，周期为 0.15 s，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在 82 Hz 时具有最大加速度 50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： A cos n t + B cos (n t + ) = C cos (n t + ' )，并讨论＝0、/2 和三种特例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？ 1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos t和x2 = X2 cos ( + ) t之和。其中<< 。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。 1－8 将下列复数写成指数A e i 形式： (a) 1 + i3 (b) 2 (c) 3 / (3 - i ) (d) 5 i (e) 3 / (3 - i ) 2 (f) (3 + i ) (3 + 4 i ) (g) (3 - i ) (3 - 4 i ) (h) ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 2－1 钢结构桌子的周期＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。 已知周期的变化＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。 2－2 如图2－2所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。 2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。 图2－1 图2－2 图2－3 2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。 2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
机械振动大作业——简支梁的各情况分析
机械振动大作业 姓名：徐强 学号：SX1302106 专业：航空宇航推进理论与工程 能源与动力学院 2013年12月
简支梁的振动特性分析 题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。 解答： 一、 单自由度简支梁的振动特性 如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+? ?kx x m ,固有频率ωn = eq eq m k ，其中k 为等效刚度， eq m 为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有 频率。 根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而 引起的变形为）（2 24348EI F -)(x l x x y -=（2 0l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠 度，则： eq k =δF = 348EI l 梁本身的最大动能为： ）（224348EI F - )(x l x x y -==）（223 max 43x l l x y - T max =2×dx x y l m l 2 20)(21? ?? ?????=2max 351721?y m ） （
如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为： T max =2max 21 ?y m eq 所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 35 17= 故单自由度简支梁横向振动的固有频率为： ωn = eq eq m k = 3 171680ml EI m k 图1 简支梁的单自由度模型 二、 双自由度简支梁的振动特性 如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得： m m eq 258≈ 所以，质量矩阵为： ??????=→ 1001258m m 双自由度简支梁的柔度矩阵：
哈工大机械原理大作业连杆
Harbin Institute of Technology 机械原理大作业一 课程名称： 机械原理 设计题目： 连杆机构运动分析 院 系： 机电工程学院 班 级： 设 计 者： 学 号： 指导教师： 设计时间： 1.运动分析题目 (11)在图所示的六杆机构中，已知： AB l =150mm, AC l =550mm, BD l =80mm, DE l =500mm,曲柄以等角速度1w =10rad/s 沿逆时针方向回转，求构件3的角速度、角加速度和构件5的位移、速度、加速度。 2.机构的结构分析 建立以点A 为原点的固定平面直角坐标系A-x, y,如下图： 机构结构分析 该机构由Ⅰ级杆组RR （原动件1）、Ⅱ级杆组RPR （杆2及滑块3）和Ⅱ级杆组RRP （杆4及滑块5）组成。 3.建立组成机构的各基本杆组的运动分析数学模型 原动件1（Ⅰ级杆组RR ） 由图所示，原动件杆1的转角a=0-360°，角速度1w =10rad/s ，角加速度1a =0,运动副A 的位置坐标A x =A y =0,速度
(A， A)，加速度 （A
， A ）， 原动件1的长度AB l =150mm 。 求出运动副B 的位置坐标（B x , B y ）、速度 （B
，B）和加速度 （B ， B）。
杆2、滑块3杆组（RPR Ⅱ级杆组） 已出运动副B 的位置（B x , B y ）、速度 （B ，B ） 和加速度
（B ， B ）， 已知运动副C 的位置坐标C x =0, C y =550mm,速度，加速度，杆长AC l =550mm 。 求出构件2的转角b,角速度2w 和角加速度2a . 构件二上点D 的运动
05 机械振动 作业及参考答案 2015
一. 选择题: 【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15 所示。则振动系统的频率为 ： (A) m k 32π1． (B) m k 2π1 ． (C) m k 32π1． (D) m k 62π1． 提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k . 【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4． 提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为1 3 π，对应的时间为T/6. [ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) π2 3． (B) π． (C) π2 1． (D) 0． 提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为初相位为π [ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为： (A) m k k v 212+=π． (B) m k k v 2 121 +=π ． (C) 212121k mk k k v +=π ． (D) ) (21 212 1k k m k k v +=π ． 提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹 A/ -图13-15
《机械振动》单元测试题(含答案)
《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（） A．甲的速度为零时，乙的速度最大 B．甲的加速度最小时，乙的速度最小 C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同 D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙=1：2 E.两个振子的振幅之比为A甲：A乙=2：1 2．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（） A．甲的最大速度大于乙的最大速度 B．甲的最大速度小于乙的最大速度 C．甲的振幅大于乙的振幅 D．甲的振幅小于乙的振幅 3．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3 C．t b时刻甲、乙两摆球的速度相同D．t a时刻甲、乙两单摆的摆角不等 4．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为() A．T=2GM l B．T=2 l GM
C ．T = 2πGM r l D ．T =2πl r GM 5．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212 ()x x g L π- B ． 212 ()2x x g L π- C ． 212 ()4x x g L π- D ． 212 ()8x x g L π- 6．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A 、B 、C 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D ，其中甲是从圆心A 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B 到达最低点D ，丙沿圆弧轨道从C 点运动到D ，且C 点很靠近D 点，如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ） A ．丙球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 B ．甲球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 C ．甲球最先到达 D 点，丙球最后到达D 点 D ．甲球最先到达D 点，无法判断哪个球最后到达D 点 7．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉下一段距离A ，由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x 轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，则（ ） A ．1t 时刻钢球处于超重状态
机械振动习题及答案
机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动 （ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为 图 一 （ D ） ()0A ()2 πB
()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振 幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同 （ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作 竖直振动
15机械振动习题解答
第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。 2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ） A. l g B. l g C. g l D. g l 解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。 故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（ ） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π 解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2 π-=?。 故本题答案为A 。 5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )
机械振动大作业-求初始激励的自由振动响应
图示系统中, m1＝m2＝m3＝m, k1＝k2＝k3＝k, 设初始位移为1, 初始速度为0, 求初始激励的自由振动响应。 要求： （1）利用影响系数法求解刚度阵K和质量阵M，建立控制方程；(15分) （2）求解系统固有频率和基准化振型；(13分) （3）求解对初始激励的响应（运动方程）；(12分) （4）利用软件仿真对初始激励响应曲线(Matlab，simulink，excel均可)，给出仿真程序(或框图)、分析结果；尝试对m、k赋值，分析曲线变化； (10分) （5）浅谈对本课程的理解、体会，对授课的意见、建议；(10分) 字迹清晰，书写规整。(10分)
（1）利用影响系数法求解刚度阵K 和质量阵M ，建立控制方程； ①求解刚度矩阵K 令[]T 00 1 =X ，则弹簧变形量δ=[1 1 0]T ， 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力312111、、k k k 如图所示 根据平衡条件可得 0，，2312222121221111=-=-=-==+=+=k k k k k k k k k k k δδδ 同理，令[]T 010=X 得 k k k k k k k k k k -=-==+=-=-=3323222212，2， 令[]T 100=X 得 k k k k k k k ===-==33332313，-，0 故刚度矩阵为 ②求解质量矩阵M 令[ ]T 001=X 得m m m ==111，021=m ，031=m 令[]T 010=X 得012=m ，m m m ==222，032=m 令[]T 100=X 得013=m ，023=m ，m m m ==333 故质量矩阵为
哈工大机械原理大作业
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 机械原理大作业一 课程名称：机械原理 设计题目：连杆机构运动分析 院系：机电学院 班级：1208105 分析者：殷琪 学号： 指导教师：丁刚 设计时间： 哈尔滨工业大学 设计说明书 1 、题目 如图所示机构，一只机构各构件的尺寸为AB=100mm，BC=，CE=，BE=，CD=，AD=，AF=7AB，DF=，∠BCE=139?。构件1的角速度为ω1=10rad/s，试求构件2上点E的轨迹及构件5的角位移、角速度和角加速度，并对计算结果进行分析。 2、机构结构分析
该机构由6个构件组成，4和5之间通过移动副连接，其他各构件之间通过转动副连接，主动件为杆1，杆2、3、4、5为从动件，2和3组成Ⅱ级RRR 基本杆组，4和5组成Ⅱ级RPR 基本杆组。 如图建立坐标系 3、各基本杆组的运动分析数学模型 1) 位置分析 2) 速度和加速度分析 将上式对时间t 求导，可得速度方程： 将上式对时间t 求导，可得加速度方程: RRR Ⅱ级杆组的运动分析 如下图所示 当已知RRR 杆组中两杆长L BC 、L CD 和两外副B 、D 的位置和运动时，求内副C 的位置、两杆的角位置、角运动以及E 点的运动。 1) 位置方程 由移项消去j ?后可求得i ?： 式中， 可求得j ?： E 点坐标方程： 其中 2) 速度方程 两杆角速度方程为 式中， 点E 速度方程为 3) 加速度方程 两杆角加速度为 式中， 点E 加速度方程为 RPR Ⅱ级杆组的运动分析 （1） 位移方程 （2）速度方程 其中 （3）加速度方程 4、 计算编程 利用MATLAB 软件进行编程，程序如下: % 点B 和AB 杆运动状态分析 >>r=pi/180; w 1=10; e 1=0; l 1=100; Xa=0; Ya=0;
机械振动学习题解答大全
机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???
机械振动 第2章(习题)
第二章 单自由度系统 习题 2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：ω2 n =g/δ 运动微分方程（式2.5）：x +ω2 n x=0 初始条件：x (0)=3δ,x (0)=0 由式2.8有： A=2 020 ) (ω n x x +=3δ ?=arctg n x x ω 00 =0 由式2.7有： 响应：x =3δcos( δ g t) 2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 解：ω2 n =g/δ=9.8/0.2=49 运动微分方程（式2.5）：x +ω2 n x=0 初始条件：x (0)=-0.2,x (0)=0 由式2.8有：
振幅：A=2 020) (ω n x x +=0.2 ?=arctg n x x ω 00 =0 由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2π/ωn 弹簧刚度：k=mg/δ=1?9.8/0.2=49(N/m) 最大弹簧力：F Smax =-kA=-49?0.2=9.8(N) 2.3 重物m l 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m 2从高度为h 处自由落到m l 上而无弹跳，如图T —2.3所示，求其后的运动。 图 T —2.3 解：ω2 n =k/(m 1+m 2) 运动微分方程（式2.5）：x +ω2 n x=0 初始条件：x (0)=- m 2g/k m 2gh=21 (m 1+m 2)x 2(0)? x (0) (以下略) 2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆
机械振动大作业.
《机械振动基础》大作业 （2014年春季学期） 题目基于MATLAB求系统特性 姓名李超 学号1110910706 班级1108107 专业机械设计制造及其自动化 报告提交日期2014年4月23 哈尔滨工业大学
报告要求 1.请根据课堂布置的2道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭； 2.报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等； 3.报告统一用该模板撰写，字数不少于3000字，上限不限； 4.正文格式：小四号字体，行距为1.25倍行距； 5.用A4纸单面打印；左侧装订，1枚钉； 6.课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班 长收齐，统一发送至：shanxiaobiao@https://www.wendangku.net/doc/6f7123684.html,。 7.此页不得删除。 评语： 成绩（15分）：教师签名： 年月日
求解多自由度矩阵的认识体会。 二、MATLAB程序图 m=[]; k1=[]; k=[]; c=[]; c1=[]; % 质量矩阵的输入 for i=1:10 a=input('输入质量矩阵m：'); m(i,i)=a; end %刚度矩阵的输入 for j=1:10 b=input('输入刚度系数k：'); k1(1,j)=b; end for l=1:9 k(l,l)=k1(l)+k1(l+1); k(10,10)=k1(10); k(l+1,l)=-k1(l+1); k(l,l+1)=-k1(l+1); k(10,9)=-k1(10); k(9,10)=-k1(10); end
%阻尼矩阵的输入 syms w; B=k-w^2*m %系统的特征矩阵B Y=det(B); %展开行列式 W=solve(Y); %求解wh lW=length(W); [V,D]=eig(k,m); for I=1:10 for J=1:10 V(J,I)=V(J,I)/V(5,I); end end V W 三、MATLAB结果输入输出 1.输入质量矩阵m：1 2.输入质量矩阵m：1 3.输入质量矩阵m：1 4.输入质量矩阵m：1 5.输入质量矩阵m：1 6.输入质量矩阵m：1 7.输入质量矩阵m：1 8.输入质量矩阵m：1 9.输入质量矩阵m：1 10.输入质量矩阵m：1 11.输入刚度系数k：1 12.输入刚度系数k：1 13.输入刚度系数k：1 14.输入刚度系数k：1 15.输入刚度系数k：1 16.输入刚度系数k：1 17.输入刚度系数k：1 18.输入刚度系数k：1 19.输入刚度系数k：1 20.输入刚度系数k：1 21. B = 22.[ 2 - w^2, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
机械振动总结复习习题及解答
欢迎阅读 1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ??=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量 kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。另一边cm b 5=。试求固有频率。 k b l θθ I 0m 解：弹性势能 2 )(2 1θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --= 总势能 m g l m g l kb U U U g k -+=+=θθcos 2 122 代入0==i x x dx dU 可得 可求得0=θ满足上式。 再根据公式02 2>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件： 即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。 系统的动能为 22 10θ?=I T 代入0)(=+dt U T d 可得
由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为： 固有频率 代入已知数据，可得 2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。 解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为 ?=r （1－cos θ）=2rsin 22θ 取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg ?=2mg r sin 22θ ≈ 21mgr 2θ （a ） I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ） bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ） 而柱体的动能为 T=21 I b ? θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2 （d ） 根据能量守恒定理，有 21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L 2＋（R －r ）2]? ?θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。 解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有： 由()0T d E U +=可知： 解得 22/()n kr I mr ω=+（rad/s ） 4、图中，半径为r 的圆柱在半径为R 的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程 解 1）建立广义坐标。设槽圆心O 与圆柱轴线O 1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。
机械振动试题(含答案)
机械振动试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T=2s，从最低点位置向上运动时刻开始计时，在一个周期内的振动图象如图所示，关于这个图象，下列哪些说法是正确的是（） A．t=1.25s时，振子的加速度为正，速度也为正 B．t=1.7s时，振子的加速度为负，速度也为负 C．t=1.0s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 D．t=1.5s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 2．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为() A．T=2πr GM l B．T=2πr l GM C．T=2πGM r l D．T=2πl r GM 3．下列叙述中符合物理学史实的是（） A．伽利略发现了单摆的周期公式 B．奥斯特发现了电流的磁效应 C．库仑通过扭秤实验得出了万有引力定律 D．牛顿通过斜面理想实验得出了维持运动不需要力的结论 4．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉下一段距离A，由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，则（） A．1t时刻钢球处于超重状态 B．2t时刻钢球的速度方向向上
机械振动试题及答案
一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动，连续振动和离散系统。 2、（弹性元件）元件、（惯性元件）元件、（阻尼元件）元件是离散振动系统的三个最基本元素。 3、在振动系统中，弹性元件存储（势能）、惯性元件存储（动能）、（阻尼元件）元件耗散能量。 4、系统固有频率主要与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 5、研究随机振动的方法是（数理统计），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值）（方差）（自相关函数）和（互相关函数）。 6、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。 7、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 8、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 9、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 10、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。 11、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 12、叠加原理是分析（线性振动系统）和（振动性质）的基础。 二、简答题 1、什么是机械振动？振动发生的内在原因是什么？外在原因是什么？ 答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。 振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。 外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。 2、机械振动系统的固有频率与哪些因素有关？关系如何？ 答：机械振动系统的固有频率与系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼有关。 质量越大，固有频率越低；刚度越大，固有频率越高；阻尼越大，固有频率越低。 3、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。 答：从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；
哈工大机械装备制造大作业完整版
《机械制造装备设计》课程大作 业 院（系）外国语学院 专业英语-机械设计制造及 自动化 姓名李网 学号1121510202 班号1215102 任课教师张庆春 完成日期2015.5 哈尔滨工业大学机电工程学院 2015年5月
题目：无丝杠车床主传动系统运动和动力设计 设计要求： 序号机床主参数公比φ最低转速级数Z 功率（kW）2 最大加工直径φ320mm无丝杠车床 1.41 30 12 3
目录 一、运动设计 (1) 1 确定极限转速 (1) 2 确定公比 (1) 3 求出主轴转速级数 (1) 4 确定结构式 (1) 5 绘制转速图 (1) 6 绘制传动系统图 (3) 7 确定变速组齿轮传动副的齿数 (3) 8 校核主轴转速误差 (4) 二、动力设计 (5) 1 传动轴的直径确定 (5) 2 齿轮模数的初步计算 (6) 参考文献 (8)
一、运动设计 1、 确定极限转速 根据设计参数，主轴最低转速为31.5r/min ，级数为12，且公比φ=1.41。于是可以得到主轴的转速分别 30, 42.5, 60, 85, 118, 170, 236, 335, 475, 670, 950, 1320 r/min ，则转速的调整范围max min 1320 4430 n n R n ===。 2、 确定公比φ 根据设计数据，公比φ=1.41。 3、 求出主轴转速级数Z 根据设计数据，转速级数Z=12。 4、 确定结构式 按照主变速传动系设计的一般原则，选用结构式为13612322=??的传动方案。其最后扩大组的变速范围6(21)3 1.2688R ?-==≤,符合要求，其它变速组的变速范围也一定符合要求。 5、 绘制转速图 （1）选定电动机 根据设计要求，机床功率为3KW ，可以选用Y100L2-4，其同步转速为 1500r/min ，满载转速为1420r/min ，额定功率3KW 。 （2）分配总降速传动比 总降速传动比为min 30 0.02111420 d n u n ∏= ==，又电动机转速1440/min d n r = 不在所要求标准转速数列当中，因而需要用带轮传动。 （3）确定传动轴的轴数 轴数=变速组数+定比传动副数=3+1=4。
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
精选范本 2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则： mg k δ= ，即：n ω== 取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ ?+=? =??=?&&&00 020mx kx x x （参考教材P14） 解得：δω=()2cos n x t t
精选范本 2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V 所以：7(/)n rad s ω= == 取系统的平衡位置为原点，得到： 系统的运动微分方程为：20n x x ω+=& & 其中，初始条件：(0)0.2 (0)0x x =-??=?& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω== =-V 因此：振幅为0.2m 、周期为2()7 s π 、弹簧力最大值为1N 。
精选范本 2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。 解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2 121()2T E m m x =+& 212 U kx = 由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+ 系统的初始条件为：?=??=-?+?&202012 2m g x k m x gh m m （能量守恒得：2 21201()2 m gh m m x = +&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+ 其中:ω?==??==-?+? &200 2112 2n m g A x k x m g ghk A k m m