专升本高等数学习题集及答案
第一章 函数
一、选择题
1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数
A. x x y +=tan
B. y x =
C. )1()1(-?+=x x y
D. x x
y 2sin 2
?=
2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】
A. 3
3)(,)(x x g x x f =
= B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1
1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2
ln )(,ln 2)(x x g x x f ==
3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】
A. +arctan y x x =
B. cos y x =
C. arcsin y x =
D. sin y x x =?
4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】
A. arcsin y x =
B. arccos y x =
C. arctan y x =
D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】
A. (0,)π
B. (,)
22ππ-
C. [,]
22ππ-
D. (,+)-∞∞
6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】
A. arcsin y x =
B. arccos y x =
C. arctan y x =
D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】
A. (,)-∞+∞
B. [1,1]-
C. (,)ππ-
D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】
A. (,)-∞+∞
B. [1,1]-
C. (,)ππ-
D. [2,0]-
9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数
A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =
B. ()f x x =和()g x =
C. ()f x x =和()2
g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】
A. ()cos f x x =
B. ()arccos f x x =
C. ()tan f x x =
D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】
A. (,)22
ππ
-
B. (0,)π
C. (,)-∞+∞
D. [1,1]-
12. 下列函数是奇函数的是【 】
A. arcsin y x x =
B. arccos y x x =
C. arccot y x x =
D. 2
arctan y x x = 13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【 A 】
A.x w w v v u u y sin ,,ln ,3
5==== B.x u u y sin ln ,53== C.x u u y sin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,3
5===
二、填空题
1. 函数5
arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.
2.
()arcsin
3
x
f x =的定义域为 ___________.
3. 函数1
()arcsin
3
x f x +=
的定义域为 ___________。 4. 设()3x
f x =,()sin
g x x x =,则(())g f x =___________.
5. 设2
()f x x =,()ln g x x x =,则(())f g x =___________.
6. ()2x
f x =,()ln
g x x x =,则(())f g x =___________. 7. 设()arctan f x x =,则()f x 的值域为___________.
8. 设2
()arcsin f x x x =+,则定义域为 . 9. 函数ln(2)arcsin y x x =++的定义域为 .
10. 函数2
sin (31)y x =+是由_________________________复合而成。
第二章 极限与连续
一、选择题
1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的【 】
A. 充分必要条件
B. 充分条件
C. 必要条件
D. 既非充分条件又非必要条件
2. 函数)(x f 在点0x 处有定义是它在点0x 处有极限的【 】
A. 充分而非必要条件
B. 必要而非充分条件
C. 充分必要条件
D. 无关条件 3. 极限2
lim(1)k x
x x e →+=，则=k 【 】
A. 2
B. 2-
C. 2-e
D. 2
e
4. 极限sin 2lim
x x
x
→∞=【 】
A. 2
B. ∞
C. 不存在
D.
5. 极限=+→x
x x 10
)sin 1(lim 【 】
A. 1
B. ∞
C. 不存在
D. e
6. 函数2
31
)(22+--=x x x x f ，下列说法正确的是【 】.
A. 1=x 为其第二类间断点
B. 1=x 为其可去间断点
C. 2=x 为其跳跃间断点
D. 2=x 为其振荡间断点 7. 函数()sin x
f x x
π=
的可去间断点的个数为【 】.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. 1=x 为函数2
31
)(22+--=x x x x f 的【 】.
A. 跳跃间断点
B. 无穷间断点
C. 连续点
D. 可去间断点 9. 当0→x 时，2x 是2x x -的【 】
A. 低阶无穷小
B. 高阶无穷小
C. 等价无穷小
D. 同阶但非等价的的无穷小 10. 下列函数中，定义域是[1,1]-,且是单调递减的是【 】
A. arcsin y x =
B. arccos y x =
C. arctan y x =
D. arccot y x =
11. 下列命题正确的是【 】
A. 有界数列一定收敛
B. 无界数列一定收敛
C. 若数列收敛，则极限唯一
D. 若函数()f x 在0x x =处的左右极限都存在，则()f x 在此点处的极限存在 12. 当变量0x →时，与2
x 等价的无穷小量是【 】
A . sin x B. 1cos2x
-
C. ()
2ln 1x + D. 21x
e
-
13. 1x =是函数22()1
x f x x -=-的【 】.
A. 无穷间断点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
D. 连续点 14. 下列命题正确的是【 】
A. 若0()f x A =，则0
lim ()x x f x A →=
B. 若0
lim ()x x f x A →=，则0()f x A =
C. 若0
lim ()x x f x →存在，则极限唯一
D. 以上说法都不正确
15. 当变量0x →时，与2
x 等价的无穷小量是【 】
A. tan x
B.1cos2x
-
C. (
)2
ln 1x
+ D. 21x
e
-
16. 0x =是函数2+1
()1cos2x f x x
=-的【 】.
A. 无穷间断点
B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 连续点
17. 0(+0)f x 与0(0)f x -都存在是()f x 在0x 连续的【 】
A. 必要条件
B. 充分条件
C. 充要条件
D. 无关条件
18. 当变量0x →时，与2
x 等价的无穷小量是【 】
A. arcsin x B . 1cos2x
-
C. ()
2ln 1x + D. 21x
e
-
19. 2x =是函数221
()32
x f x x x -=-+的【 】.
A. 无穷间断点
B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 连续点 20. {}n u 收敛是{}n u 有界的【 】
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 无关条件
21. 下面命题正确的是【 】
A. 若{}n u 有界，则{}n u 发散
B. 若{}n u 有界，则{}n u 收敛
C. 若{}n u 单调，则{}n u 收敛
D. 若{}n u 收敛，则{}n u 有界 22. 下面命题错误的是【 】
A. 若{}n u 收敛，则{}n u 有界
B. 若{}n u 无界，则{}n u 发散
C. 若{}n u 有界，则{}n u 收敛
D. 若{}n u 单调有界，则{}n u 收敛
23. 极限1
lim(13)x x x →+=【 】
A.∞
B. 0
C. 3e -
D. 3
e
24. 极限1
lim(13)x x x →-=【 】
A.∞
B. 0
C. 3e -
D. 3
e
25. 极限2
lim(12)x x x →-=【 】
A.4
e B. 1
C. 2e -
D. 4
e -
26. 1x =是函数3
2()2
x x f x x x -=+-的【 】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.无穷间断点
D. 跳跃间断点
27. 2x =-是函数3
2()2
x x f x x x -=+-的【 】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.无穷间断点
D. 跳跃间断点
28. 2x =-是函数224
()2
x f x x x -=+-的【 】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.无穷间断点
D. 跳跃间断点 29. 下列命题不正确的是【 】
A. 收敛数列一定有界
B. 无界数列一定发散
C. 收敛数列的极限必唯一
D. 有界数列一定收敛
30. 极限211
lim 1
x x x →--的结果是【 】
A. 2
B. 2-
C. 0
D.不存在
31. 当x →0时, 1
sin
x x
是【 】 A. 无穷小量 B.无穷大量
C. 无界变量
D. 以上选项都不正确
32. 0x =是函数sin ()x
f x x
=
的【 】. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D.无穷间断点
33. 设数列的通项(1)1n
n x n
-=+,则下列命题正确的是【 】
A. {}n x 发散
B. {}n x 无界
C. {}n x 收敛
D. {}n x 单调增加
34. 极限21lim x x x x
→-的值为【 】
A. 1
B. 1-
C. 0
D. 不存在 35. 当0x →时,sin x x -是x 的【 】
A. 高阶无穷小
B. 同阶无穷小,但不是等价无穷小
C. 低阶无穷小
D. 等价无穷小 36. 0x =是函数1
()1x
f x e =
-的【 】. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 37. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】
A. 1n n x n =
+ B. 2(1)n
n x =-- C. 13n x n =+ D. 21
1n x n =-
38. 极限0lim x x
x
→的值为【 】
A. 1
B. 1-
C. 0
D. 不存在
39. 下列极限计算错误的是【 】
A. sin lim
1x x x →∞= B. 0sin lim 1x x
x
→=
C. 1lim(1)x x e x
→∞+= D. 1
0lim(1)x x x e →+=
40. 1x =是函数2
2()2
x x f x x x -=+-的【 】.
A. 连续点
B. 可去间断点
C. 无穷间断点
D. 跳跃间断点 41. 当∞→x 时，arctanx 的极限【 】
A.2
π
=
B.2
π
-
= C.∞= D.不存在
42. 下列各式中极限不存在的是【 】
A. ()
32
7
lim 1→∞
-+-x x x x B. 22
11lim 21
→---x x x x
C. sin 3lim
→∞x x x D. ()2
01lim cos →+x x x x
43. 无穷小量是【 】
A.比0稍大一点的一个数
B.一个很小很小的数
C.以0为极限的一个变量
D. 数0 44. 极限1
lim(1)→-=x x x 【 】
A.∞
B. 1
C. 1
-e D. e
45. 1=x 是函数21
()1
-=-x f x x 的【 】.
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C.无穷间断点
D. 连续点
46. 0=x 是函数1sin 0()10
?
=??+≥?x x x f x x
e
x 的【 】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
D. 无穷间断点
47. 01
lim sin
x x x
→的值为【 】
A. 1
B. ∞
C. 不存在
D. 0
48. 当→∞x 时下列函数是无穷小量的是【 】
A. cos -x x x
B. sin x x
C. 2sin -x x x
D. 1(1)x
x
+
49. 设210
()210
x x f x x x ?+<=?+≥?，则下列结论正确的是【 】
A.()f x 在0x =处连续
B.()f x 在0x =处不连续，但有极限
C.()f x 在0x =处无极限
D.()f x 在0x =处连续，但无极限
二、填空题
1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量.
2. 0x =是函数x
x
x f sin )(=
的___________间断点. 3.
=-→x x x
20)1
1(lim ___________。
4. 函数1
1
arctan
)(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x
x e x x x sin )
1(lim
20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0
x
x f x x x a x ?>?
=??+≤?连续，则a =___________.
7. 由重要极限可知，()1
lim 1+2x
x x →=___________.
8. 已知分段函数sin ,0()2,0
x
x f x x x a x ?>?
=??+≤?连续，则a =___________.
9. 由重要极限可知，1lim (1)2x
x x →+∞+
=___________. 10. 知分段函数()
sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?
=-??-≤?
连续，则b =___________.
11. 由重要极限可知，10
lim(12)x
x x →+=___________.
12. 当x →1时，233+-x x 与2
ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 25
1lim 12n n n -→∞?
?- ??
?=___________.
14. 函数22(1)()23
x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________.
15. 0tan2lim
3x x
x
→=___________.
16. 35
1lim 12n n n +→∞??- ??
?=___________.
17. 函数22(1)()23
x f x x x +=--的可去间断点是x =___________.
18. 2
01cos lim
x x
x →-=___________.
19. 253lim 12n n n +→∞?
?+ ???=___________. 20. 函数221()34
x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________.
21. 当0x →时，sin x 与3
x 相比，_______________是高阶无穷小量.
22. 计算极限22
1lim 1n n n +→∞?
?+ ?
?
?=___________.
23. 设函数()21,0
,0
x x f x x a x +>?=?
-≤?，在0x =处连续, 则a =__________
24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()
lim
(1)(1)
x f x x x →=-+_______ .
25. 计算极限1lim 1x
x x →∞
??
- ???
=__________.
26. 设e ,
0,
(),
0.
x x f x x a x ?≤=?
+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷小量. 28. 计算极限45
1lim 11x x x +→∞?
?+ ?+?
?= .
29. 为使函数22,0
(),
x x f x x a x ?+>=?
+≤?在定义域内连续，则a = . 30. 当x →0时，x cos 1-与sin x 相比，_________________是高阶无穷小量. 31. 当x →0时，2
4x 与3
sin x 相比，_______________是高阶无穷小量.
32. 当x →1时，()2
1x -与()sin 1-x 相比，__________________是高阶无穷小量. 33. 若3lim 1x
x k e x →∞?
?+= ??
?，则k =___________.
34. 函数21
()34
+=
--x f x x x 的无穷间断点是x =___________.
35.
极限0x →.
36. 设()2
sin ,f x x x
=求()lim →∞x f x =___________.
37.
设函数cos ,0
()0
38.
0x =是函数x
x
x f sin )(=
的 （填无穷、可去或跳跃）间断点.
39. 函数21
()23
x f x x x +=
--的可去间断点是x =___________.
40. 2lim 1x
x x →∞
??
-= ???
___________
三、计算题
1. 求极限32224
lim 4
x x x x →--- 2. 求极限20cos3cos2lim
ln(1)
x x x
x →-+
3. 求极限2
0(1)
lim ln(16)x x e x x →--
4. 求极限0(1)sin lim ln(16)x x e x
x x →--
5. 求极限20(1cos )sin lim ln(16)
x x x
x x →--
6. 求极限201cos lim (1)
x x x
x e →--
7. 求极限201cos lim ln(1)
x x
x →-+
8. 求极限??
? ??---→1112lim 21x x x
第三章 导数与微分
一、选择题
1. 设函数f (x )可导，则=--→h
x f h x f h )
()3(lim
【 】
A. 3()f x '
B.
1
()3
f x ' C. 3()f x '-
D. 1
()3f x '-
2. 设函数f (x )可导，则0
(1)(1)
lim
2x f f x x
→--=【 】
A. 2(1)f '
B.
1(1)2
f ' C. 2(1)f '- D. 1
(1)2f '-
3. 函数x y =在0=x 处的导数【 】
A. 不存在
B. 1
C. 0
D. 1-
4. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】
A. 8
B. 2
C. 0
D. 1
5. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】
A. x x sin cos +
B. x x x sin cos -
C. x x x sin 2cos --
D. x x x sin 2cos + 6. 设函数f (x )可导，则0
(2)()
lim
h f x h f x h
→+-=【 】
A. 2()f x '
B.
1
()2
f x ' C. 2()f x '- D. 1
()2
f x '-
7. 设sin ()y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【 】 A. cos ()f x B. sin ()f x ' C. cos ()f x ' D. cos ()()f x f x '?
8. 设函数f (x )可导，则0(2)()
lim
h f x h f x h →+-=【 】
A. 2()f x '
B. 1()2f x '
C. 2()f x '-
D. 1
()2
f x '-
9. 设(arctan )y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【 】
A. (arctan )f x '
B. 2
(arctan )(1)f x x '?+ C. 2
(arctan )1f x x '++ D.
2
(arctan )
1f x x '+
10. 设(sin )y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【 】 A. (sin )f x ' B. (cos )f x ' C. (sin )cos f x x ' D. (cos )cos f x x '
11. 设函数f (x )可导，则0(3)()
lim 2h f x h f x h →+-=【 】
A. 3()f x '
B. 2()3f x '
C. ()f x '
D. 3
()2
f x '
12. 设y =sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n
13. 设函数f (x )可导，则0
(4)()
lim
2h f x h f x h
→+-=【 】
A. 2()f x '
B. 4()f x '
C. 3()f x '
D.
1
()2
f x ' 14. 设y =sinx ，则y (7)|x=0=【 】 A. 1 B. 0 C. -1 D. 2n
15. 设函数f (x )可导，则0(4)()
lim
2h f x h f x h
→--=【 】
A. -4()f x '
B. 2()f x '
C. -2()f x '
D. 4()f x '
16. 设y =sinx ，则(7)
x y
π
==【 】
A. 1
B. 0
C. -1
D. 2n
17. 已知函数()f x 在0x x =的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【 】 A. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可导
B. 若()f x 在0x x =处有极限, 则()f x 在0x x =连续
C. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可微
D. 若()f x 在0x x =可导, 则()f x 在0x x =连续 18. 下列关于微分的等式中，正确的是【 】
A. 2
1d()arctan d 1x x x =+ B. d(2ln 2)2d x x
x = C. 211
d()d x x x
=- D. d(tan )cot d x x x =
19. 设[]2
0()(0)sin lim 4x f x f x x →-= ，则(0)f '=【 】 A. 3 B. 4 C. 4
3
D. 不存在
20. 设函数()f x 在0x x =可导，则000(2)()
lim h f x h f x h
→+-=【 】
A. 02()f x '
B. 0()f x '
C. 02()f x '-
D. 0()f x '-
21. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】
A. 21d(arctan )d 1x x x =
+ B. 2
11
d()d x x x
=- C. dcosx sin d x x = D. d(sin )cos d x x x =
22. 设函数()cos f x x =，则(6)
(0)f =【 】
A. 0
B. 1
C. -1
D. 不存在 23. 设()x
f x e =，则0
(1)(1)
lim
x f x f x
?→+?-=?【 】
A. 1
B. e
C. 2e
D. 2
e
24. 设函数()f x 在0x x =可导，则000(2)()
lim
h f x h f x h
→+-=【 】
A. 02()f x '
B. 0()f x '
C. 02()f x '-
D. 0()f x '-
25. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】
A. 21d(arctan )d 1x x x =
+ B. 2
11
d()d x x x =-
C. dcosx sin d x x =
D. d(sin )cos d x x x =
26. 设函数()f x 在0=x x 处可导，且0()'=f x k ，则000(2)()
lim
→+-=h f x h f x h
【 】 A. 2k B. 12k C. 2-k D. 1
2
-k
27. 设函数()f x 在0x 可导，则000
(4)()
lim
h f x h f x h
→+-=【 】
A. 04()f x '
B.
01
()4f x ' C. 04()f x '- D. 01
()4
f x '-
28. 设函数()f x 在0x 可导且0()2'=f x ，则000
()(2)
lim
→+--=h f x h f x h h
【 】
A. -2
B. 1
C. 6
D. 3 29. 下列求导正确的是【 】
A. ()2
sin 2cos '=x x x B. sin cos 44ππ'??=???
?
C. ()cos cos '=x x e e
D. ()1
ln 5'=x x
30. 设()x x x f ln =，且()20='x f ，则()0x f =（ ）。
A. e 2
B. e
C. 2
e
D. 1
31. 设sin =y x ，则y (8)=【 】
A. sin -x
B. cos x
C. sin x
D. cos -x
32. 设)(x f y =是可微函数，则d (cos )f x =（ ）．
A.
(cos )d f x x ' B.(cos )sin d f x x x '
C.(sin )cos d f x x x '
D. (cos )sin d f x x x '-
33. 已知ln ,=y x x 则()
6y
=【 】
A. 5
1x - B.
51
x C. 54!
x
D. 54!x
-
二、填空题
1. 曲线12
12
+=
x y 在点)3,2(处的切线方程是_____________. 2. 函数ln(1)x
y e =+的微分d y =_____________.
3. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2
x f x f =，则()f x '''= 。 4. 曲线x y cos =在点)2
1
,3(π处的切线方程是 。 5. 函数sin 2x
y e
=的微分d y = x d 。
6. 曲线x x x y -=ln 在点e x =处的切线方程是_____________.
7. 函数12+=
x y 的微分d y =_____________.
8. 某商品的成本函数21
11001200
C Q =+
，则900Q =时的边际成本是___________. 9. 设函数()y f x =由参数方程cos sin x y θθ=??
=?
所确定，则d d y
x =_____________.
10. 函数9
(25)y x =+的微分d y =_____________.
11. 曲线()ln f x x =在点(1,0)处的法线方程是___________. 12. 设函数()y f x =由参数方程cos sin x a t y b t
=??
=?所确定，则d d y
x =_____________.
13. 函数2
ln sin y x =的微分d y =_____________. 14. 某商品的成本函数2
1201600100
C Q Q =
++，则500Q =时的边际成本是___________.
15. 设函数()y f x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?
所确定，则d d y
x =_____________.
16. 函数y =d y =_____________.
17. 曲线ln 1y x =+在点(),2e 处的切线与y 轴的交点是_____________. 18. 函数2cos3ln 2x
y e x =+的微分d y =_____________.
19. 曲线2ln 1y x =+在点(),3e 处的切线与y 轴的交点是_____________. 20. 函数2sin 3ln 2x y e x =+的微分d y =_____________.
21. 曲线22ln 1y x =+在点()1,1处的切线与y 轴的交点是___________.
22. 函数2
sin36x y e x =+的微分d y =___________. 23. 已知0()1f x '=，则000
(2)()
lim
3h f x h f x h
→+-＝_____________.
24. 已知函数2x
y e =，则y '''=_____________. 25. 函数2
ln(1)y x =+的微分d y =_____________. 26. 已知函数sin y x =，则(6)
y
= .
27. 函数2
x y xe =的微分d y = .
28. 已知曲线2
22y x x =+-的某条切线平行于x 轴，则该切线的切点坐标为 . 29. 函数ln(cos 2)y x =的微分d y = .
30. 已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56
π，则()2f '= . 31. 若(1)(2)y
x x x =--，则(0)y '=
．
32. 函数arctan 2y x =的微分d y =______________. 33. 已知函数()=y f x 是由参数方程cos sin x a t
y b t
=??
=?确定，则d d y x =______________.
34. 函数y =的微分d y =_____________. 35. 函数lnsin y x =的微分d y = 36. 由参数方程sin 1cos x t t y t
=-??=-?所确定的函数的导数d d y
x = ．
三、计算题
1. 设函数2
ln(1)y x x =+，求1d x y =
2. 求由方程xy e y
x =+2所确定的隐函数()x y y =的导数y '。
3. 求曲线
???+=+=t t y t x 21
在0=t 相应点处的切线与法线方程.
4. 设函数y =d y .
5. 设y 是由方程
20y
x y e ++-=所确定的隐函数，求0
d d ,d d =x x
y x y 。
6. 求椭圆???==t
y t x sin 2cos 4在4π
=t 相应点处的切线与法线方程.
7. 设函数arctan y x =，求d y .
8. 设y 是由方程
0=-+y
x e e xy 所确定的隐函数，求0
d d ,d d =x x
y x y 。
9. 求摆线???-=-=t
y t t x cos 1sin 在2π
=t 相应点处的切线与法线方程.
10. 设函数ln(y x =，求(0)y '及22d d y
x
.
11. 求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数y 的导数
d .d y x
12. 设函数sin ln sin 2x
y x e x =+?，求22d d y
x
13. 求由方程y
e xy e +=所确定的隐函数y 的导数(0).y '
14.
设函数(
ln y x =+，求22d d y x
.
15. 求由方程22
1x y -=所确定的隐函数y 在3x =处的导数(3).y '
16.
设函数cos2y x =，求微分d y .
17. 设函数2
ln(1)sin 2x y e x =++，求微分d y ..
18.
设函数ln x y e -=,求微分d y .
19. 求由方程sin 1x y
y x e -+=所确定的隐函数y 的导数
d d .d d x y y
x x =并求 20. 求由方程sin 1x y
y x e ++=所确定的隐函数y 的导数0
d d .d d x y y
x x
=并求
21. 求由方程cos 1x y y x y e +-+=所确定的隐函数y 的导数
d d .d d x y y
x x
=并求
22. 设函数221,
()1,x e f x x bx ?-?=?++??
00x x ≤>在0x =处可导，求b 的值.
23. 已知方程sin()ln(1)ln 1xy x y -++=所确定的隐函数()y y x =，求0
d .d x y
x
=
24.
已知函数y =0x =处的微分d y
25. 用对数求导法求函数cos (0)x
y x x =>的导数.
26. 求由方程0x
y xy e e -+-=所确定的隐函数y ，求函数在0x =处的微分d y .
27. 设[]2
(sin 2),y f x =其中f 是可微函数，求y '
28. 设2cos3,x
y e x -=求d y .
29. 求由方程-=x y
xy e
所确定的隐函数y 的导数
11
d d ,.d d x y y y x x
==
30. 求由方程()sin -=x y e e xy 所确定的隐函数y 的导数0
d d ,.d d x y y x x
=
31.
设函数()ln(f x x =，求()f x '和(0)f '
32. 求曲线2-?=??=??t
t
x e
y e
在0=t 相应点处的切线方程与法线方程.
33. 已知y 是由方程sin 0+=y
y xe 所确定的隐函数，求y 的导数
d ,d y
x
以及该方程表示的曲线在点()0,0处切线的斜率。
34. 设函数x x y 3sin cos 3
-=，求d y .
四、综合应用题
1. 求2
ln 22x t t y t =+??=+?
在1t =相应点处的切线与法线方程. 2．求2
ln 31x t t y t =+??=+?在1t =相应点处的切线与法线方程.
3．求1ln 3t x t t y e
t
-=+??
=+?在1t =相应点处的切线与法线方程.
第四章 微分中值定理与导数应用
一、选择题
1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的
=ξ【 】
A. π
B.
2π C. 3π D. 4
π 2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】
A. x ln
B. x ln ln
C. x
ln 1
D. )2ln(x - 3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】
A. 一个实根
B. 二个实根
C. 三个实根
D. 无实根
4. 下列命题正确的是【 】
A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点
B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=
C. 若0()0f x ''=，则()()
00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是4
3
()23f x x x =++的拐点
5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】
A. 单调减少且为凹弧
B. 单调减少且为凸弧
C. 单调增加且为凹弧
D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】
A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点
B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=
C. 若0()0f x ''=，则()()
00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是4
3
()23f x x x =++的拐点
7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】
A. 单调减少且为凹弧
B. 单调减少且为凸弧
C. 单调增加且为凹弧
D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】
A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点
B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=
C. 若0()0f x ''=，则()()
00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是4
3
()23f x x x =++的拐点
9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】
A. 单调减少且为凹弧
B. 单调减少且为凸弧
C. 单调增加且为凹弧
D. 单调增加且为凸弧 10. 函数2
56, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】
A. 0
B. 12
C. 5
2
D. 2 11. 函数2
2y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 2
12. 函数y =
在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 2
13. 方程4
10x x --=至少有一个根的区间是【 】
A.(0,1/2)
B.(1/2,1)
C. (2,3)
D.(1,2)
14. 函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的
=ξ 【 】
A. 0
B. 12-
C. 1
D. 12 15. 已知函数()3
2=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定
理成立的ξ是【 】
A.
±
B. C. D. 13±
16. 设273
+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】
A.单调增加，单调增加
B.单调增加，单调减小
C.单调减小，单调增加
D.单调减小，单调减小
二、填空题
1. 曲线53)(2
3+-=x x x f 的拐点为_____________. 2. 曲线x
xe x f 2)(=的凹区间为_____________。 3. 曲线535)(2
3++-=x x x x f 的拐点为_____________.
4. 函数2
2ln y x x =-的单调增区间是___________.
5. 函数1x
y e x =--的极小值点为_____________.
6. 函数32
29123y x x x =-+-的单调减区间是___________.
7. 函数2
2ln y x x =-的极小值点为_____________.
8. 函数x
y e x =-的单调增区间是___________.
9. 函数2x
y x =?的极值点为_____________.
10. 曲线4
3
26y x x =++在区间(,0)-∞的拐点为_____________. 11. 曲线3
2
31y x x =++在区间(,0)-∞的拐点为_____________. 12. 曲线3
2
36y x x =-+的拐点为___________.
13. 函数3
2
26128y x x x =-+-的拐点坐标为 .
14. 函数2
332x x y -=在=x _______有极大值．
15. 曲线x x y arctan +=在0=x 处的切线方程是___________. 16. 曲线4
3
341=-+y x x 在区间(0,)+∞的拐点为_____________. 17. 过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ．
三、计算题
1. 求极限)1
11(
lim 0
--→x x e x
2. 求极限0
11lim()sin x x
x →-
3. 求极限201
lim ln(1)
x x e x x →--+
4. 求极限1
1lim(
)1ln x x x x
→--
5. 求极限20
11lim(
)sin x x x x
→-
6. 求极限)1
11(lim 0
--
→x x e x
7. 求极限2
sin lim
(1)
x x x x x e →--
四、综合应用题
1. 设函数3
2
()234f x x x =-+.求
(1) 函数的单调区间；(2)曲线()y f x =的凹凸区间及拐点.
2. 设函数3
2
()33f x x x =-+.求
(1) 函数的单调区间；(2)曲线()y f x =的凹凸区间及拐点.
3. 设函数3
2
()391f x x x x =---.求()f x 在[0,4]上的最值
4. 设函数3
2
()4-123f x x x =+.求
(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线()y f x =的凹凸区间及拐点.
5. 某企业每天生产x 件产品的总成本函数为2
02.04502000)(x x x C ++=，已知此产品
的单价为500元，求： (1) 当50x =时的成本；
(2) 当50x =到60x =时利润变化多少?
(3) 当50=x 时的边际利润，并解释其经济意义。
6. 设生产某种产品x 个单位的总成本函数为2
2900)(x x x C ++=，问：x 为多少时能使
平均成本最低，最低的平均成本是多少？并求此时的边际成本，解释其经济意义。
7. 某商品的需求函数为p q 3300-=(q 为需求量, P 为价格)。问该产品售出多少时得到
的收入最大？最大收入是多少元？并求30=q 时的边际收入，解释其经济意义。
8. 某工厂要建造一个容积为3002m 的带盖圆桶，问半径r 和高h 如何确定，使用的材料
最省？
9. 某商品的需求函数为1
102
Q P =-
(Q 为需求量, P 为价格). (1) 求2P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(2) 当3P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
10. 求函数()cos x
f x e x =在[],ππ-上的最大值及最小值。
11. 某商品的需求函数为2
180100
Q P P =-
(Q 为需求量, P 为价格). (1) 求5000P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(2) 当5000P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
12. 某商品的需求函数为2
658Q P P =+-(Q 为需求量, P 为价格).
(1) 求5P =时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将如何变化?
14. 某商品的需求函数为2
402Q P P =+-(Q 为需求量, P 为价格).
(1) 求5P =时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将如何变化?
15. 某商品的需求函数为2
354Q P P =+- (Q 为需求量, P 为价格).
(1) 求5P =时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将如何变化?
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