高中数学选修2-2推理与证明演绎推理

2.1.2 演绎推理

[学习目标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

知识点一演绎推理及其一般模式——“三段论”

1.演绎推理

2.三段论

思考(1)演绎推理的结论一定正确吗？

(2)如何分清大前提、小前提和结论？

答案(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.

(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.

知识点二演绎推理与合情推理的区别与联系

题型一用三段论的形式表示演绎推理

例1 把下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；

(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数.

解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提

水会沸腾.结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提

2100＋1是奇数，小前提

2100＋1不能被2整除.结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提

y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数.结论

反思与感悟三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的.

跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)0.332是有理数；

(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数；

(3)Rt△ABC的内角和为180°.

解(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论).

(2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cos x(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cos

x (x ∈R )是周期函数(结论).

(3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt △ABC 是三角形(小前提)，Rt △ABC 的内角和为180°(结论).

题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用

例2 在锐角三角形中，求证sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明 ∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，

∴A ＞π2－B ，∴0＜π2－B ＜A ＜π2

.

又∵在

????0，π2内，正弦函数是单调递增函数， ∴sin A ＞sin ???

?π

2－B ＝cos B ，

即sin A ＞cos B ，① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A .③

以上①②③两端分别相加，有：

sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .

反思与感悟 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.

(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1

ab

≥8.

(2)求证：函数f (x )＝2x

－1

2x ＋1是定义域上的增函数.

证明 (1)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤1

2，

∴1

ab

≥4，

∴1a ＋1b ＋1ab

＝(a ＋b )? ????1a ＋1b ＋1ab

≥2ab ·2

1

ab ＋

1

ab

≥4＋4＝8.

当且仅当a ＝b ＝1

2时等号成立，

∴1a ＋1b ＋1

ab

≥8.

(2)函数定义域为R . 任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2.

则f (x 1)－f (x 2)()1222112121x x ???? ?=-=- ? ?++???? ()()1221

21

1

1222221212121x x x x x x ??-????=-= ?++++??????

. ∵x 1＜x 2， 121222,220x

x

x

x

∴∴-＜＜， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.

∴f (x 1)＜f (x 2).故f (x )为R 上的增函数. 题型三 合情推理、演绎推理的综合应用

例3 如图所示，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.

(1)求证：O 为△BCD 的垂心；

(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明. (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ?平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，

∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心.

(2)解 猜想：S 2

△ABC ＋S 2

△ACD ＋S 2

△ABD ＝S 2

△BCD . 证明如下：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，

由(1)知AD ⊥平面ABC ，

AE ?平面ABC ，

∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2

＝EO ·ED ，

∴? ????12BC ·AE 2＝? ????12BC ·EO ·? ??

??12BC ·ED ， 即S 2

△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .

同理可证：S 2

△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，

S 2△ABD ＝S △BOD ·

S △BCD . ∴S 2

△ABC ＋S 2

△ACD ＋S 2

△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2

△BCD .

反思与感悟 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).

跟踪训练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝n

a 1a 2…a n (n ∈N *

)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝

a 1＋a 2＋…＋a n

n

也是等差数列.

证明如下：

设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝

a 1＋a 2＋…＋a n

n

＝

na 1＋

n (n －1)d 2

n

＝a 1＋d

2

(n －1)，

所以数列{b n }是以a 1为首项，d

2

为公差的等差数列.

三段论中因忽视大(小)前提致误

例4 已知a ，b ，c ∈R ＋

，且a ，b ，c 不全相等，试比较a 3bc ＋b 3ca ＋c 3

ab

与a ＋b ＋c 的大小.

错解 因为a ，b ，c ∈R ＋

，依基本不等式有?????

a 4＋

b 4≥2a 2b 2

，b 4＋c 4≥2b 2c 2，

c 4＋a 4≥2c 2a 2.

由三式相加得a 4

＋b 4

＋c 4

≥a 2b 2

＋b 2c 2

＋c 2a 2

.① 又a 2b 2

＋b 2c 2

≥2a 2b 4c 2

＝2ab 2

c ， 同理b 2c 2

＋c 2a 2

≥2abc 2

，

c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，

三式相加得a 2b 2

＋b 2c 2

＋c 2a 2

≥a 2

bc ＋ab 2

c ＋abc 2

.② 由①②得a 4

＋b 4

＋c 4

≥a 2

bc ＋ab 2

c ＋abc 2

，又a ，b ，c ∈R ＋

，

所以a 3bc ＋b 3ca ＋c 3

ab

≥a ＋b ＋c .

错因分析 以上过程忽视了小前提“a ，b ，c 不全相等”，因此①②两式中均为“＞”. 正解 ∵a ，b ，c ∈R ＋

，有 ?????

a 4

＋b 4

≥2a 2b 2

，b 4＋c 4

≥2b 2c 2

，c 4＋a 4≥2c 2a 2.

又a ，b ，c 不全相等，故三式相加，得

a 4＋

b 4＋

c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.③

又a 2b 2

＋b 2c 2

≥2ab 2

c ，

b 2

c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，

且a ，b ，c 不全相等，三式相加得

a 2

b 2＋b 2

c 2＋c 2a 2＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，④

由③④得a 4

＋b 4

＋c 4

＞a 2

bc ＋ab 2

c ＋abc 2

， ∵a ，b ，c ∈R ＋，

∴a 3bc ＋b 3ca ＋c 3

ab

＞a ＋b ＋c . 防范措施 利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.

1.下列推理中是演绎推理的是( )

A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠A ＝∠A ′

B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过

50人

C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质

D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12? ?

???a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此猜想出{a n }的通项公式

答案 A

解析 B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理.故选A. 2.指数函数都是增函数，大前提

函数y ＝? ????1e x

是指数函数，小前提

所以函数y ＝? ??

??1e x

是增函数.结论

上述推理错误的原因是( ) A.大前提不正确 B.小前提不正确 C.推理形式不正确 D.大、小前提都不正确 答案 A

解析 大前提错误.因为指数函数y ＝a x

(a ＞0，且a ≠1)在a ＞1时是增函数，而在0＜a ＜1时为减函数.故选A.

3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的周期是________. 答案 8

解析 f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f (2－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f [4＋(4＋x )]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x ).∴T ＝8是它的周期.

4.设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *

)，则满足1817＜S 2n S n ＜

87的所有n 的和为________. 答案 7

解析 由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n

＋1

＝a n (n ≥2)，即

a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34， 易得a 2a 1＝1

2

，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32??????1－? ????12n 1－12＝3??????1－? ????12n ，S 2n ＝3????

??1－? ????122n ，代入

1817＜

S 2n S n ＜87，可得117＜? ????12n ＜1

7

，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7.

5.设a，b，c为正实数，求证：1

a3＋

1

b3

＋

1

c3

＋abc≥2 3.

证明因为a，b，c为正实数，由基本不等式可得

1 a3＋

1

b3

＋

1

c3

≥3

31

a3

·

1

b3

·

1

c3

，即

1

a3

＋

1

b3

＋

1

c3

≥

3

abc

，

当且仅当a＝b＝c时取等号.

所以1

a3＋

1

b3

＋

1

c3

＋abc≥

3

abc

＋abc.

而

3

abc

＋abc≥2

3

abc

·abc＝23，当且仅当

3

abc

＝abc，

即a＝b＝c＝6

3时取等号.

所以1

a3＋

1

b3

＋

1

c3

＋abc≥23，当且仅当a＝b＝c＝

6

3时取等号.

数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.

一、选择题

1.下列表述正确的是( )

①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③

B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

答案 D

解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.

2.《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；

礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是( )

A.类比推理

B.归纳推理

C.演绎推理

D.一次三段论

答案 C

解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式.

3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数.以上推理( )

A.结论正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.全不正确

答案 C

解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确.

4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于( )

A.演绎推理

B.类比推理

C.合情推理

D.归纳推理

答案 A

解析“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.

5.有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点.以上推理中( )

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.结论正确

答案 A

解析可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误.

6.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n?α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确的命题个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案 B

解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确.故选B. 二、填空题

7.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上的相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________.

答案 341

解析 边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，……，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－? ????27＋2×8×92＝341，故所

求总数为341.

8.在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________. 答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.

9.三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f (x )＝2x ＋5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________. 答案 一次函数的图象是一条直线

10.关于函数f (x )＝lg x 2＋1

|x |

(x ≠0)，有下列命题：

①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )为减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－11时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________. 答案 ①③④

解析 显然f (－x )＝f (x )，

∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称.

当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1

x

).

高中数学推理与证明.doc

高中数学推理与证明 高中数学推理知识点 1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。所以才会有证明。 2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。 3、演绎推理：一般推特殊，一定对。例如，f(x)=1，那么f(1)=1 高中数学证明知识点 1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件一直往下推。 例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。 证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 ____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量 ____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。 2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。

同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。 因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。 3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程! 4、数学归纳法： 解题过程： A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础; B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立 高中数学推理与证明 一、公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。 2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。 3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。 4.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。 二、类比推理： 一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。

高中数学选修2-2推理与证明 直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题. 知识点一综合法 1.定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2.基本模式 综合法的证明过程如下： 已知条件?…?…?结论 即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为： P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q 3.综合法的证明格式 因为…，所以…，所以…，…，所以…成立. 思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答案演绎推理. 知识点二分析法 1.分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式

用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式 要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？ 答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法. 题型一 综合法的应用 例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1 b ≥2 1 ab >0， ∴(a ＋b )???? 1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法. 跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.

高二数学 归纳推理演绎推理

3月5日 高二理科数学测试题 1．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．传递性推理 2．下列正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是由特殊到一般的推理 C ．归纳推理是由个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤 3．下面几种推理中是演绎推理．．．． 的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=； B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ． 4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5．设 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x)＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命 题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 7.观察下列等式： 1－ ； 1－ ；1－ ...... 据此规律，第n 个等式可为______________________. 8.观察下列等式：,……，根据上述规律， 第五个等式为 ______________________. 1122=1111123434+-=+1111111123456456+-+-=++332123,+=3332 1236,++=33332123410+++=

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

高中数学证明方法高中数学证明

高中数学证明方法高中数学证明 一、 现在正在学数学选修4-1《几何证明选讲》，做几何大题的时候，总是想不出来该怎么画辅助线，所以总是不会写，我数学不算差，可是面对这种证明题就老是蒙。求练习方法，要怎么办 首先你要熟知的几何中的所有定理!在做几何题的时候你就会熟练地运用!对于怎么画辅助线，当你看到一个几何题目的时候，自己要把题目中的已知摆出来!这样有助于你利用定理解决问题!的那个你确定用哪个定理时，你就判断还需要什么，这个时候画辅助线就变得简单啦!比如题目中有告诉你中点，你就会联想到中位线，30°所对直角边是斜边的一半,想到梯形，等等! 总之做这种几何题目时，要善于将已知信息联系定理，在看定理缺什么，然后就画辅助线使定理能使用!!! 直角三角形ABC中，∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC，交AF延长线于E，求证BC垂直平分DE。 ∵BE∥AC,∠BAC=90° ∴∠ABE=∠BAC=90° 由AF⊥CD易证 ∠ACD=∠BAE 由题AB=AC 得三角形ABE,CAD全等 易证BD=BE ∵∠ABE=90° ∴BDE为等腰Rt 易证BC为∠ABE角平分线 等腰三角形三线合一 ∴BC垂直平分DE 二、

遇到较难的，应该怎么入手哦， 我证明的不太好，有什么办法可以提高点吗? 或者提供几道证明题，最好附答案， 谢谢啦! 答案：可以利用反证法数学证明题的常用做法 定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定 中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是 可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题 得证。适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显。证明：素数有无穷多个。这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数 学家在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：假设命题不真，则只有有限多个 素数，设所有的素数是2=a1aii=1,2……n.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾 就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学四大推理方法巧解证明题

高中数学四大推理方法巧解证明题 高中数学四大推理方法巧解证明题 高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。 一、合情推理法 在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。 二、演绎推理法 对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。

三、间接和直接证明法 （一）直接证明法 直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。 （二）间接证明法 间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。 四、归纳推理法 同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。 在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况

高中数学 数学归纳法

13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳

高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时

高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

(推荐)高中数学证明公式

高中数学证明公式数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

苏教版数学高二- 选修2-2试题 《合情推理—归纳推理》(1)

2.1.1 合情推理—归纳推理 同步检测 一、基础过关 1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________ 2．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>7 2， 推测当n≥2时，有________． 3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝3 2. 通过观察上述两等 式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 4．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 5．数列－3,7，－11,15，…的通项公式是________． 二、能力提升 6．设x ∈R ，且x≠0，若x ＋x － 1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________． 8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________． 9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题． (1)按照要求填表：

n 1 2 3 4 … S n 1 3 6 … (2)S 10＝________.(3)S n 10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1 S n ＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4， 并猜想S n 的表达式． 12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？ (2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 三、探究与拓展 13．在一容器内装有浓度r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液1 4a 升，搅匀后再倒出溶 液1 4a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．

选修1 2推理与证明

选修1 2推理与证明 选修1 2推理与证明选修1 2推理与证明 考纲导读 （一）合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （二）直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 （三）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。高考导航 1.推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是( ) A.10n; B.10n-1; C.10n+1; D.11n.

2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.①; B.①②; C.①②③; D.③。 3、下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤。 4、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( ) A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式。 5、实数a、b、c不全为0的条件是( ) A.a、b、c均不为0; B.a、b、c中至少有一个为0; C.a、b、c至多有一个为0; D.a、b、c至少有一个不为0。 6、设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为( ) A.x>y; B.x=y; C.x 来源网络搜集整理，仅作为学习参考，请按实际情况需要自行编辑

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．

第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理 教学目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，

归纳推理-高中数学知识点讲解

归纳推理 1．归纳推理 【知识点的认识】 1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别 事实概括出一般结论的推理． 推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}， ?1具有属性? 具有属性?} ? ? ??类事物中的每一个对象都可能具有属性? ? 2．特点： （1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容 的范围； （2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具； （3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现 问题和提出问题． 3．作用： （1）获取新知，发现真理； （2）说明和论证问题． 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想． 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论． 1/ 4

（1）考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同． 例 1：下列表述正确的是（） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤ 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正确的 故选D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一 个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到 特殊的推理过程． 例 2：下列推理是归纳推理的是（） A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线 B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式 ?2 ?2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+ ?2 ?2 =1的面积 S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断． 2/ 4

高一数学直接证明与间接证明练习题

推理与证明综合测试题 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =， ，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述

性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，2221117 12344 +++<，，则可归纳 出式子为（ ） Ａ．22211 111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22 211111(2)2321 n n n + +++ <+≥