与向量相关的重要结论(含三角形几心、平行四边形等)

高三一轮复习（理数）

与向量相关的重要结论

一．常见结论

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

2. ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+

，特别地，

当 a b 、同向或 a b 、中有0 时：||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； 当 a b 、反向或 a b 、中有0 时：||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+ ； 当 a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+ (这些和实数性质比较类似).

3.向量 PA PB PC

、、中三终点A B

C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+ 且1αβ+=

二．三角形的“四心”与向量

（一）四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：

（二）四心与向量的结合

1.结论①：?=++O 是ABC ?的重心.

且若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则重心123123,33x x x y y y O ++++??

???

。

证明：如图

OC OB OA ++02=+=OD OA ∴2=

∴D O A 、、三点共线，且O 分AD

为2：1

∴O 是ABC ?的重心

结论②：向量(),[0,)AB AC λλ+∈+∞

是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；

特别地，若()

1,2

AD AB AC =+

则AD 是ABC ?中BC 边的中线.

2. 结论①：??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心.

证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.

0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥?

同理BC OA ⊥，AB OC ⊥

?O 为ABC ?的垂心

结论②：向量()||cos ||cos AB AC AB B AC C

λ+

[0,)λ∈+∞是△ABC 边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心.

3.结论①：设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心

O OC c OB b OA a ?=++0为ABC ?的内心. 证明：b c 、

分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴

b

c +平分BAC ∠, (

λ=∴AO b

c +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc ++=

（b

c +

) 化简得)(=++++c b c b a

∴=++c b a

结论②：向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠

所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

4. ()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +?=+?=+?=

2

22OA OB OC OA OB OC ?==?==? O 为ABC ?的外心.

三．向量与平行四边形相关的结论

向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设

,AB a AD b ==

，则有以下的结论：

1. 若C AB D =

,可判断四边形为平行四边形；

2. 因为,,a b AC a b DB +=-=

若0a b a b a b +=-??= (对角线相等或邻边垂直)，则平行四边

形为矩形；

若()()0a b a b a b +?-=?=

(对角线垂直或邻边相等) .则平行四边形为菱形；

3. 2222

22a b a b a b ++-=+ 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和