中考数学专题复习
2016年中考数学复习第一讲 实数
【基础知识回顾】
一、实数的分类：
1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数
2、按实数的正负分类：
实数
【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：2π是 数，不是 数，7
22是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】
二、实数的基本概念和性质
1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数?
3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数?
4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】
三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：
一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 ＿ 零 正整数 整数 有理数
无限不循环小数 ??????负有理数负零正无理数正实数实数 （a ＞0） （a ＜0）
0 （a=0）
近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的
取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小
的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数
数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】
四、数的开方。
1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a
的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根
是 ，负数 平方根。
2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做3a ，正数有一个 的立方根，0的立方根
是 ，负数 立方根。
【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】
【重点考点例析】
考点一：无理数的识别。
例1 （2012?六盘水）实数1,45,0.323
πo &&中是无理数的个数有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
2,cos 452
== 1,45,0.323π ,cos45π ，共3个． 故选C ．
点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。
对应训练
1．（2012?盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ B ）
A ．0
B
C ．﹣2
D ．27
考点二、实数的有关概念。
例2 （2012?乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记
作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元
解：根据题意，支出237元应记作﹣237元． 故选B ．
点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的
量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
例3 （2012?遵义）﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 4
解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，∴﹣（﹣2）=2． 故选B ．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反
数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
例4 （2012?扬州）﹣3的绝对值是（ ） A ．3 B ． ﹣3 C ． ﹣3 D ．
解：﹣3的绝对值是3． 故选：A ．
点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0．
例5 （2012?黄石）13-
的倒数是（ ） A ．13 B ． 3 C ． ﹣3 D ．13- 解：13-的倒数是331
-=-． 故选C ． 点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
例6 （2012?怀化）64的立方根是（ ） A ．4 B ． ±4 C ． 8 D ． ±8
解：∵4的立方等于64， ∴64的立方根等于4． 故选A ．
点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由
开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符
号相同．
例7 （2012?|3|x y --互为相反数，则x+y 的值为（ ）
A ．3
B ． 9
C ． 12
D ． 27
解：|3|x y --互为相反数， |3|x y --=0， ∴， ②﹣①得，y=12， 把y=12代入②得，x ﹣12﹣3=0，
解得x=15， ∴x+y=12+15=27． 故选D ．
点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式
（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
对应训练
2．（2012?丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ A ）
A ．﹣3℃
B ． ﹣2℃
C ． +3℃
D ． +2℃
3．（2012?张家界）﹣2012的相反数是（ B ）
A ．﹣2012
B ． 2012
C ．12012-
D ．12012
4．（2012?铜仁地区）|﹣2012|= 2012 ． 5．（2012?常德）若a 与5互为倒数，则a=（ A ）
A ．15
B ． 5
C ． ﹣5
D ．15 6．（2011?株洲）8的立方根是（ A ） A ．2
B ． ﹣2
C ． 3
D ． 4 7．（2012?广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+=0，则（）
2012的值是 ． 解：根据题意得：，解得：． 则（）2012=（）2012=1．
考点三、实数与数轴。
例8 （2012?乐山）如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ）
A ．ab ＞0
B ．a+b ＜0
C ．（b-1）（a+1）＞0
D ．（b-1）（a-1）＞0
解：a 、b 两点在数轴上的位置可知：-1＜a ＜0，b ＞1，∴ab ＜0，a+b ＞0，故A 、B 错误；
∵-1＜a ＜0，b ＞1， ∴b-1＞0，a+1＞0，a-1＜0故C 正确，D 错误．故选C ．
点评：本题考查了数轴．在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
对应训练
8．（2012?常德）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ A ）
A ．a+b ＞0
B ．ab ＞0
C ．|a|+b ＜0
D ．a-b ＞0
考点四、科学记数法。
例9 （2012?潍坊）许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测定，一般
情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水，若1年按365天计算，这个水龙头1年可
以流掉（ ）千克水．（用科学记数法表示，保留3个有效数字）
A ．3.1×104
B ．0.31×105
C ．3.06×104
D ．3.07×104
解：3.5×24×365=30660=3.066×104≈3.07×104 故选D ．
点评：此题主要考查了有理数的乘法在实际生活中的应用以及科学记数法的表示方法。用科学记数
法表示一个数的方法是：
（1）确定a ：a 是只有一位整数的数；
（2）确定n ：当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值
＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
对应训练
9．（2012?鸡西）2012年5月8日，“最美教师”张丽莉为救学生身负重伤，张老师舍己救人的事迹
受到全国人民的极大关注，在住院期间，共有691万人以不同方式向她表示问候和祝福，将691万
人用科学记数法表示为 6.9×106 人．（结果保留两个有效数字）
【聚焦福州中考】
一、选择题
1．（2012?青岛）﹣2的绝对值是（ D ） A ．12
- B ． ﹣2 C ．12 D ． 2 2．（2012?济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（ C ）
A ．-2
B ．2
C ．±2
D ．不能确定
3．（2012?聊城）在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 和-1，则点C 所对应的实数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．1
D ．1
3． 解：设点C 所对应的实数是x ．则有(1)x - ， 解得1x =． 故选D ．
4．（2012?烟台）的值是（ B ） A ．4 B ． 2 C ． ﹣2 D ． ±2
5．（2012?日照）据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科
学记数法表示为（ A ）A ．1.94×1010 B ．0.194×1010 C ．19.4×109 D ．1.94×109
6．（2012?济南）2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数字12800用科学记数法
表示为（ C ）A ．1.28×103 B ．12.8×103 C ．1.28×104 D ．0.128×105
7．（2012?泰安）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（C ）
A ．21×10-4千克
B ．2.1×10-6千克
C ．2.1×10-5千克
D ．21×10-4千克
二、填空题
8．（2012?德州）﹣1，0，0.2，17
，3中正数一共有 3 个． 9．（2012?青岛）为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供
营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为 1.6×1010 元．
2016年中考数学复习第二讲：实数的运算
【基础知识回顾】
一、实数的运算。
1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和
共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先
算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。
2、运算法则：
加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。
减法，减去一个数等于 。
乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
乘方：(-a ) 2n +1 = (-a ) 2n =
3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：(a+b)+c=
乘法交换律：ab= 乘法结合律：（ab ）c=
分配律：（a+b ）c=
二、零指数、负整数指数幂。 0a = （a ≠0） a -p = （a ≠0）
【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角
三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指
数运算的结果，如：（3
1）-1= 】 三、实数的大小比较：
1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。
2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。
【重点考点例析】
考点一：实数的大小比较。
例1 （2012的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式a 2-a-b 的值为 ．
解：∵34，∴a=3，，则a 2-a-b=32-3-）
故答案为：
点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能
力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
例2 （2012?台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=5=3，丙=1+丙的大小关系，下列何者正确？（ ）
A ．丙＜乙＜甲
B ．乙＜甲＜丙
C ．甲＜乙＜丙
D ．甲=乙=丙
解：∵，∴8＜9， ∴8＜甲＜9；∵=5，
∴7＜＜8， ∴7＜乙＜8，∵4= ，
∴5＜6， ∴丙＜乙＜甲 故选A ．
点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数
都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，
在原点左侧，绝对值大的反而小．
对应训练
1．（2012?南京）12的负的平方根介于（ B ）
A ．-5与-4之间
B ．-4与-3之间
C ．-3与-2之间
D ．-2与-1之间
2．（2012?宁夏）已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜b ，则a+b= 7 ．
考点二：实数的混合运算。
例3 （2012?岳阳）计算：101
3()(2012)2cos303π----+
．
解：原式 ． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟
练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．
对应训练
3．（2012?肇庆）计算：1|6sin 454---+ ．
解：原式=1624
?+ =14 =14． 考点三：实数中的规律探索。
例4 （2012?张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d
的意义是 a b c d =ad-bc ．例如：121423234=?-?=-，24(2)5432235
-=-?-?=-． （1）按照这个规定，请你计算5678
的值；
（2）按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，
12
123
x x
x x
+
--
的值．
解：（1）56
78
=5×8-7×6=-2；
（2）由x2-4x+4=0得（x-2）2=4，∴x=2，∴
12
123
x x
x x
+
--
=
34
11
=3×1-4×1=-1．
点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．
【聚焦福州中考】
一、选择题
1．（2012?泰安）下列各数比-3小的数是（C）A．0 B．1 C．-4 D．-1
2．（2012?聊城）计算
12
||
33
--的结果是（A）A．
1
3
-B．
1
3
C．-1 D．1
二、填空题
1．（2012> 1
2
．（填“＞”、“＜”或“=”）
2．（2012?济南）计算：2sin30°= -3 ．
解：2sin30°=2×1
2
-4=1-4=-3．
2016年中考数学复习第三讲：整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念：
：由数与字母的积组成的代数式
1、整式：
多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：
①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】
二、整式的运算：
1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .
②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )
③整式加减的步骤是先，再。
【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。】
2、整式的乘法：
①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，
Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】
3、整式的除法：
①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。即（am+bm）÷m= 。
三、幂的运算性质：
1、同底数幂的乘法：不变相加，即：a m a n＝（a＞0，m、n为整数）
2、幂的乘方：不变相乘，即：(a m) n ＝（a＞0，m、n为整数）
3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。
即：(ab) n ＝（a＞0，b＞0，n为整数）。
4、同底数幂的除法: 不变相减，即：a m÷a n＝（a＞0，m、n为整数）
【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。】【重点考点例析】
考点一：代数式的相关概念。
例1 （2012?珠海）计算-2a2+a2的结果为（）A．-3a B．-a C．-3a2 D．-a2
解答：解：-2a2+a2=-a2，故选D．
点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是-2+1=-1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目．
对应训练
1．（2012?莆田）如果单项式x a+1y3与2x3y b是同类项，那么ab= ．
解答：解：∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，∴ a+1=3 b=3，解得a=2 b=3，
则ab=23=8．故答案为：8．
点评：本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．
2．（2012?桂林）计算2xy2+3xy2的结果是（）A．5xy2 B．xy2 C．2x2y4 D．x2y4
解答：解：2xy2+3xy2=5xy2．故选A．
点评：此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键．
考点二：整式的运算。
考点三：幂的运算。
例3 （2012?南平）下列计算正确的是（）
A．a3+a2=a5B．a5÷a4=a C．a?a4=a4D．（ab2）3=ab6
解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误；B、a5÷a4=a5-4=a，故选项正确；
C、a?a4=a4+1=a5，故选项错误；
D、（ab2）3=a3b6，故选项错误．故选B．
点评：本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．
对应训练
3．（2012?衢州）下列计算正确的是（）
A．2a2+a2=3a4B．a6÷a2=a3C．a6?a2=a12D．（-a6）2=a12
解：A、2a2+a2=3a2，故本选项错误；B、a6÷a2=a4，故本选项错误；
C、a6?a2=a8，故本选项错误；
D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确．故选D．
点评：本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
考点四：完全平方公式与平方差公式
例4 （2012?衡阳）下列运算正确的是（）
A．3a+2a=5a2 B．（2a）3=6a3 C．（x+1）2=x2+1 D．x2-4=（x+2）（x-2）
解：A、3a+2a=5a，故本选项错误；B、（2a）3=8a3，故本选项错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；
D、x2-4=（x+2）（x-2），故本选项正确；故选D．
点评：此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键．
例5 （2012?遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）
A．2cm2B．2acm2C．4acm2D．（a2-1）cm2
解：矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-（a2-2a+1）=4a（cm2）故选C．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大．
对应训练
4．（2012?哈尔滨）下列运算中，正确的是（）
A．a3?a4=a12 B．（a3）4=a12 C．a+a4=a5D．（a+b）（a-b）=a2+b2
解：A、a3?a4=a7，故本选项错误；B、（a3）4=a12，故本选项正确；
C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项错误．故选B．点评：本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．
5．（2012?绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2
解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故选C．
点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
考点四：规律探索。
例6 （2012?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．解：依题意得：（1）n为奇数，单项式为：2n-1x n；（2）n为偶数时，单项式为：-2n-1x n．
综合（1）、（2），本数列的通式为：（-2）n-1?x n．故答案为：（-2）n-1x n．
点评：本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
对应训练
6．（2012?盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（）A．-1005 B．-1006 C．-1007 D．-2012
解：a1=0，a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2，…，
所以，n是奇数时，a n=
1
2
n-
-，n是偶数时，an=
2
n
-，a2012=
2012
2
-=-1006．故选B．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
【聚焦福州中考】
1．（2012?济宁）下列运算正确的是（）
A．-2（3x-1）=-6x-1 B．-2（3x-1）=-6x+1 C．-2（3x-1）=-6x-2 D．-2（3x-1）=-6x+2 解：A．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-1错误，故此选项错误；
B．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x+1错误，故此选项错误；
C．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-2错误，故此选项错误；
D．-2（3x-1）=-6x+2，故此选项正确；故选：D．
点评：此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键．
2．（2012?济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（）A．2x-3 B．2x+9 C．8x-3 D．18x-3 解：原式=10x-15+12-8x =2x-3．故选A．
点评：本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
3．（2012?威海）下列运算正确的是（）A．a3?a2=a6 B．a5+a5=a10 C．a÷a-2=a3 D．（-3a）2=-9a2解：A、a3?a2=a5，故本选项错误；B、a5+a5=2a5，故本选项错误；
C、a÷a-2=a1-（-2）=a3，故本选项正确；
D、（-3a）2=9a2，故本选项错误．故选C．
点评：此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键．
4．（2012?聊城）下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．x2?x3=x6 C．（x2）3=x5 D．x5÷x3=x2解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2?x3=x2+3=x5，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、x5÷x3=x2，故此选项正确；故选：D．
点评：此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5．（2012?临沂）下列计算正确的是（）
22 4 222）3 5 752
A．52012-1 B．52013-1 C．
2013
51
4
-
D．
2012
51
4
-
元．
解：根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回（100-5x）元．故答案为（100-5x）．
点评：此题考查列代数式，属基础题，简单．
12．（2012?菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，
则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是．
解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，
所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6-1）=41．故答案为：41．
点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口．
2016年中考数学复习第四讲：因式分解
【基础知识回顾】
一、因式分解的定义：
1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算。
【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。】
二、因式分解常用方法：
1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。】
2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2= , ②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，
找准里面a与b。如：x2-1
2
x+
1
4即是完全平方公式形式而x2- x+
1
2
就不符合该公式。】
二、公式分解的一般步骤
1、一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先
2、二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用法来分解。
3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例1 （2012?安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A．m2+n B．m2-m+1 C．m2-n D．m2-2m+1
解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；
C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；
D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．故选D．
点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．
对应训练
1．（2012?凉山州）下列多项式能分解因式的是（C）
A．x2+y2B．-x2-y2C．-x2+2xy-y2D．x2-xy+y2
考点二：因式分解
例2 （2012?天门）分解因式：3a2b+6ab2= ．
解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．故答案为：3ab（a+2b）．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
例3 （2012?广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= ．
解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2．故答案为：3m（m-3n）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
对应训练
2．（2012?温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（A）
A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-4
3．（2012?恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（D）
A．a2b（a2-6a+9）B．a2b（a-3）（a+3）C．b（a2-3）2 D．a2b（a-3）2
考点三：因式分解的应用
∴(
2231
ab b a
a
+-+
)5=(
231
a a a
a
---+
)5=-(
221
a a
a
+-
)5=(
121
a
a
--
)5
=（-2）5=-32．故答案为-32．
点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．
对应训练
4．（2012?苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= 6 ．
【聚焦福州中考】
1．（2012?济宁）下列式子变形是因式分解的是（B）
A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）
C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）
2．（2012?临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= a（1-3b）2．
3．（2012?潍坊）分解因式：x3-4x2-12x= ．
解：x3-4x2-12x=x（x2-4x-12）=x（x+2）（x-6）．故答案为：x（x+2）（x-6）．
点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．
4．（2012?威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= ．
解：3x2y+12xy2+12y3=3y（x2+4xy+4y2）=3y（x+2y）2．故答案为：3y（x+2y）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2016年中考数学复习第五讲：分式
【基础知识回顾】
一、分式的概念
若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做分式
【名师提醒：①：若则分式A
B
无意义②：若分式
A
B
=0，则应且】
三、分式的基本性质
分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
1、a m
a m
?
?
=
a m
b m
÷
÷
= （m≠0）2、分式的变号法则
b
a
-
=
b
3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。
约分的关键是确保分式的分子和分母中的
约分的结果必须是分式
4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的
【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】
四、分式的运算：
1、分式的乘除
①分式的乘法：b
a
.
d
c
= ②分式的除法：
b
a
÷
d
c
= =
2、分式的加减
①用分母分式相加减：b
a
±
c
a
=
②异分母分式相加减：b
a
±
d
c
= =
3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a
)m = 【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质是 的过程
②异分母分式加减过程的关键是 】
4、分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里
面的。
5、分式求值：①先化简，再求值。
②由值的形式直接化成所求整式的值
③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中
【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式
②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况
必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 】
【重点考点例析】
考点一：分式有意义的条件
例1 （2012?宜昌）若分式21
a +有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a=0 B ．a=1 C ．a≠-1 D ．a≠0
解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠-1．故选C ．
点评：从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
对应训练
1．（2012?湖州）要使分式
1x
有意义，x 的取值范围满足（ B ）A ．x=0 B ．x≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 考点二：分式的基本性质运用 例2 （2012?杭州）化简216312
m m --得 ；当m=-1时，原式的值为 ． 解：216312m m --=(4)(4)3(4)
m m m +--=43m +。当m=-1时，原式=143-+=1， 故答案为：43m +，1． 点评：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．
对应训练
2．（2011?遂宁）下列分式是最简分式的（ C ）A ．223a a b B ．23a a a - C ．22 a b a b ++ D ．222a ab a b
-- 考点三：分式的化简与求值
例3 （2012?南昌）化简：2211
a a a a a --÷+． 解：原式=1(1)(1)(1)a a a a a a -+-÷+ =1(1) (1)(1)
a a a a a a -+?+- =-1． 点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
例4 （2012?安徽）化简211x x x x
+-- 的结果是（ ）A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x 解：211x x x x +-- 211
x x x x =--- 21x x x -=- (1)1x x x -=- =x ， 故选D ． 点评：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
例5 （2012?天门）化简221(1)11
x x -÷+- 的结果是（ ） A ．21(1)x + B ．21(1)
x - C ．2(1)x + D ．2(1)x - 解：221(1)11x x -
÷+- =1211(1)(1) x x x x +-÷++- =1(1)(1)1x x x x -+-+ =2(1)x -．故选D 。 点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．
例6 （2012?遵义）化简分式222()1121
x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．
解：原式=2(1)(1)[](1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +--?-+-+- =22
(1) (1)(1)(1)
x x x x x x -?-+- =1x x +， 由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0，故取x 的值时，不可取x=-1或x=1，
不妨取x=2，此时原式=22213
=+． 点评：分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分． 对应训练
3．（2012?河北）化简
22111
x x ÷--的结果是（ C ）A ．21x - B ．321x - C ．21x - D ．2（x+1） 4．（2012?绍兴）化简111x x --可得（ B ）A ．21x x - B ．21x x
-- C ．221x x x +- D ．221x x x -- 5．（2012?泰安）化简22()2-24
m m m m m m -÷+-= m-6 ． 6．（2012?资阳）先化简，再求值：2221(1)11a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2-x=6的根． 解：原式=22(1)(1)2111a a a a a a -+---÷-+=222211a a a a a --÷-+ =21(1)(1)(2)a a a a a a -++-- =21a a
-． ∵a 是方程x 2-x=6的根，∴a 2-a=6，∴原式=16
． 考点四：分式创新型题目
例7 （2012?凉山州）对于正数x ，规定1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()145
14
f ==+，则
111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012
f f f f f f f ++???++++???++= ． 解：∵当x=1时，1(1)2f =；当x=2时，1(2)3f =，当12x =时，12()23
f =； 当x=3时，1(3)4f =，当13x =时，13()34f =…，∴11(2)()1,(3)()123
f f f f +=+=，…，∴1()(1)()(1)(1)f n f f f n n
+???++???+=+-， ∴111(2012)(2011)(2)(1)()()()(1)(20121)220112012
f f f f f f f f ++???++++???++=+-120112011.52
=+=． 点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出1()()1f n f n
+=是解答此题的关键． 对应训练
7．（2012?临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001
n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算2012
11(1)
n n n ==+∑ ． 解：由题意得，2012
1
11111111(1)223342013n n n ==-+-+-???-+∑1++201212012120132013=-=． 【聚焦福州中考】 一、选择题
1．（2012?潍坊）计算：2-2=（ A ） A ．14 B
C ．14
- D ．4 2．（2012?德州）下列运算正确的是（ A ）A
2= B ．（-3）2=-9 C ．2-3=8 D ．20=0
3．（2012?临沂）化简4(1)22a a a +
÷--的结果是（ A ）A ．2a a + B ．2a a + C ．2a a - D ．2a a - 4．（2012?威海）化简的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 解：原式=
﹣
= = =． 点评： 本题考查了分式的加减法：先把各分母因式分解，确定最简公分母，然后进行通分化为同分母的分式，再把分母不变，分子相加减，然后进行约分化为最简分式或整式．
二、填空题
5．（2012?聊城）计算：24(1)42
a a a +
÷=-- 2a a + ． 6．（2011?泰安）化简：22()224x x x x x x -÷+--的结果为 x-6 ． 三、解答题
7．（2012·济南）化简：2121224a a a a a --+÷--．解：原式=2
12(2)2(1)a a a a --?-- =21a -． 8．（2012?烟台）化简：222844(1)442a a a a a a
+--÷+++． 解：原式=222(44)(28)24444a a a a a a a a ++-++++- =244(2)(2)44
a a a a a -++- =2a a +。 9．（2012?青岛）化简：2211(1)12a a a a -+++ 。解：原式=21(1)(1)1 (1) a a a a a a a
++--=+ 。
整数解．
＜x
解：原式12．（2012?莱芜）先化简，再求值：÷，其中a=﹣3．
解：原式=（﹣）÷
=? =，
∵a=﹣3， ∴原式=
=﹣． 点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
2016年中考数学专题复习第六讲：二次根式
【基础知识回顾】
一、二次根式: 式子a（）叫做二次根式
【名师提醒：①次根式a必须注意a___o这一条件，其结果也是一个非数即：a___o
②二次根式a（a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质：
①（a）2=（a≥0）
=（a≥0 ,b≥0）
=(a≥0, b≥0)
【名师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和
可逆用（a）
2=a(a≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】
三、最简二次根式：
1、被开方数的因数是，因式是整式
2、被开方数不含的因数或因式
四、二次根式的运算：
1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同
2、二次根式的乘除：
=（a≥0 ,b≥0）
（a≥0，b＞0）
（a≥o）
（a＜o）
中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E． （1）求证：AC∥OD； （2）如果DE⊥BC，求AC的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）2π． 【解析】 试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度． 试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO， ∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD； （2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三 角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606 180 π? =2π． 点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．
【答案】画图见解析. 【解析】 【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下： 【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 3．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC． （1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin∠ABE= 3 3 ，CD=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为3 ． 【解析】 分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下： 连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE． 又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED， ∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
中考数学专题复习题及答案
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析
中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法． 【典型例题精析】 例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD． （1）求证：AB2=AQ·AC： （2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． P 分析：要证A B2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，?∴只需再证明一个角相等即可． 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等． （2）欲证PC=PQ， ∵是具有公共端点的两条线段， ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边） 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，?利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ∴∠PCA=∠E=90°-∠1． 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，?充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，?这样有利于做题时发生迁移，联想． 例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、?DE． （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值； （3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？
2017上海历年中考数学压轴题专项训练
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
中考数学总复习资料大全(精华版)
中考数学总复习资料大全 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0) -a(a<0) │a │=
几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、 实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷5 1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、 应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， x x 2=x,2x =│x │等。 4.系数与指数 区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 a x b 单项式 多项式 整式 分式样 有理式 无理式 代数式
中考数学总复习专题教案17
y x O 课时17．二次函数及其图象 【课前热身】 1．将抛物线y =-3x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________. 2.如图所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的 图象， 那么a 的值是______. 3.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是() A.-2B.2C.-1D.1 4.二次函数y =2(x -5)2+3的图象的顶点坐标是() A.(5，3) B.(-5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3) 5.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.a ＞0，b ＜0，c ＞0B.a ＜0，b ＜0，c ＞0 C.a ＜0，b ＞0，c ＜0D.a ＜0，b ＞0，c ＞0 【知识整理】 1.解析式： (1)一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ). (3)两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0). 注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得.若已知抛物线的顶点和
y x O 对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质 a ＞0 a ＜0 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x =_______时，y 有最 _____值为________. 当x =_______时，y 有最 _____值________. 增 减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 在对称轴右侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 3.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________. 4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式，其中 h =____，k =________. 5.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系.
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形
基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。
历年初三数学中考总复习专题训练九及答案
中考数学总复习专题训练 （代数式） 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（每小题3分，共45分） 1.下列式子中，符合代数式的书写格式的是（ ）。 A.2y x + B.33 2x 2y C.a÷2b D.x+y 小时 2、下列运算中，结果正确的是（ ）。 A ．532)(x x = B ．422523x x x =+ C ．633·x x x = D ．222 ()x y x y +=+ 3、计算 a m ÷a n ÷a p 等于（ ）。 A ． a m-n-p B. a m+n-p C. a m-n+p D. a m+n+p 4、计算 (－2a 2)2的结果是（ ）。 A. 2a 4 B. －2a 4 C. 4a 4 D ．－4a 4 5、下列式子中，正确的是（ ）。 A. ( - a 2 b )2·a = a 5 b 2 B. ( - b 8 )· ( - b )2 = b 10 C ．〔 ( -1 ) a 4〕2= - a 8 D. ( - a 3 b c 2 )2 = a 6 b c 4 6、使式子1 ||1-x 有意义的x 取值范围为（ ）。 A.x>0 B.x ≠1 C.x ≠-1 D ．x ≠±1 7．等式3－x x ＋2 ＝3－x x ＋2 成立的条件是（ ）。 A.－2 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 中 考 总 复 习 专 题 汇 总 反比例函数 【反比例函数的性质——增减性】 1．点A(2,1)在反比例函数x k y 的图象上，当1 9.如图,一次函数y=-x+b 与反比例函数x k y (x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1). (1)填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 ；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围. 10.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上,点B 的坐标为(2,3).双曲线x k y (x>0)的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE.(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是OC 边上一点,且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 的解析式 11．如图,一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数x k y 22 的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2)，与y 轴交于点C 。(1)k 1= ,k 2= ；(2)根据函数图象可知,当y 1>y 2时，x 的取值范围是；(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D,点P 是反比例函数在第一象限的图象 上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E,当S 四边形ODAC :S △ODE =3:1时，求点P 的坐标. 12.如图,反比例函数x k y (k ≠0,x>0)的图象与直线y=3x 相交于点C, 过直线上点A(1,3)作AB ⊥x 轴于点B,交反比例函数图象于点 D,且AB=3BD.(1)求k 的值；(2)求点C 的坐标；(3)在y 轴上确定一点M ， 使点M 到C. D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标. 一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx ∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1） 把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021 专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 中考数学总复习资料---代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ???? ?? ?? ????????????? ???? ?????????????????? ??无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是 a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ????==0 ,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ± 叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。中考数学专题训练--函数综合题
中考数学压轴题专题 动点问题
2019中考数学总复习汇总专题
中考数学综合题专题复习【相似】专题解析
中考数学压轴题专题
中考数学总复习资料.pdf
- 中考数学总复习专题训练(十)
- 最新中考数学总复习资料-分专题试题及答案(绝版)
- 初三数学中考总复习数与式专题
- 中考数学专题总复习-相似的应用
- 中考数学总复习专题训练(六)粤教
- 2019中考数学总复习汇总专题
- 中考数学总复习专题训练
- 2020年中考数学总复习二十五个专题知识复习讲义(精华版)
- 中考数学总复习专题训练
- 2019中考数学总复习汇总专题
- (完整版)中考数学总复习实数及运算专题训练题
- 人教版中考数学总复习专项练习
- 江苏中考数学复习资料专题 几何总复习
- 2019年中考数学总复习7个专题汇总
- (共8套)河南省最新中考数学总复习 专题练习汇总
- 中考数学总复习专题教案
- (完整版)最全初中数学中考总复习——专题训练
- 最新中考数学总复习专题汇编：不等式
- (完整)初三数学中考复习专题
- 中考数学总复习专题训练(十二)