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1、赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答

课本P.11 练习1.1 习题解答

1、求下列函数的定义域

（1）5+=x y （2）)4ln(x y -= 解：05≥+x 解：04>-x

5-≥x 4

定义域： ),5[+∞- 定义域：)4,(-∞ （3）141

-+-=

x x

y （4）24)1lg(1x x y -+-= 解：???>-≠-01042x x 解：??

???≥-≠->-0

40)1(10

12x x g x

?>≠-≠122x x x 或 ??

??≤≤-≠<2

201

x x x 定义域：定义域：

),2()2,1(+∞? )1,0()0,2[?-

2、已知11)(-+=x x x f ，求)0(f ，)2(f ，)1(-x f ，)1

f ，))((x f f 解：1)0(-=f

3)2(=f

1)1(1)1()1(-=

--+-=

-x x

x x x f x x

x x f -+=

-+=111111)1( x x

x x x x x x x x x f x f x f f ==--+-++=--++-+=-+=2

2)1()1()1()1(1111

1)(1)())((

3、已知函数???<<-≤<-+=93,

1,13)(2x x x x x f

求：)(x f 的定义域，及函数值)0(f ，)1(f ，)4(f ，))1((f f

解：)(x f 的定义域为：)9,1(-

110)0(=+=f 413)1(=+=f 145)4(=-=f 1)4())1((==f f f

4、判别下列函数的奇偶性：

（1）242x x y -= （2）x x y sin =

解：∵24)(2)()(x x x y ---=- 解：∵)sin()()(x x x y --=- y x x =-=242 y x x ==s i n ∴242x x y -=是偶函数 ∴x x y sin =是偶函数

（3）2x x e e y --= （4）13-=x y

解：∵2)()

(x x e e x y ----=- 解：1)()(3--=-x x y

x e e -=- 13--=x

y e e x

x -=--

=-2

∵y x y y x y -≠-≠-)()(且 ∴2

x e e y --=是奇函数 ∴13-=x y 是非奇非偶函数

5、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成？

（1）43-=x y x

y 1s i n )2(2= 解：u y = 解：2u y =，v u sin =

43-=x u x

v 1=

（3）)1cos(lg 2+=x y （4）x

y tan

解：u y lg =，v u cos =，12+=x v 解：u y 2=，v u tan =，x v =

课本P.20 练习1.2 习题解答

1、判断下列数列是否收敛

（1）13，24，35，┅，n

n 2+，┅

解：∵12

lim =+∞→n

n n

∴数列?

?????+n n 2是收敛的

（2）1，4，9，16，┅，2n ，┅ 解：∵+∞=∞

→2lim n n ，不是一个常数

∴数列{}2n 是发散的

2、分析下列函数的变化趋势，并求极限

（1）)(1

2∞→=x x y （2）)0(21

-→=x y x

解：01

lim 2=∞→x x 解：02lim 1

=-→x x

（3）)0(cos →=x x y 解：1cos lim 0

=→x x

3、设函数x

x x f =)(，求)(x f 在0=x 处的左、右极限，并讨论)(x f 在0=x 处是

否有极限存在

解：左极限：1)1(lim lim lim )(lim 00

-=-=-==--

-→→→→x x x x x

x x x f 右极限：11lim lim lim )(lim 0

====++

+→→→→x x x x x x

x x f 因为)(x f 在0=x 处的左、右极限不相等所以)(x f 在0=x 处的极限不存在

4、当0→x 时，下列变量中哪些是无穷小量：x 3，x 100000，x

x 5

cos

答：x 100000和x

x 5

cos 当0→x 时是无穷小量

5、计算下列极限

（1）)56(lim 2

2-+→x x x （2）2

lim 220+--+→x x x x x

解：)56(lim 2

2-+→x x x 解：2

32lim 220+--+→x x x x x

115124=-+= 12

-=-=

（3）659lim 223++--→x x x x （4）232

lim 222+---→x x x x x

解：659lim 223++--→x x x x 解：2

32lim 222+---→x x x x x

)3)(2()3)(3(lim

3++-+=-→x x x x x )

2)(1()

2)(1(lim 2---+=-x x x x x

23lim

3+-=-→x x x 11

lim 2-+=→x x x

616=--= 313== （5）x x x 11lim

--→ （6）x x

x --→39lim 9

解：x x x 11lim

--→ 解：x x

x --→39lim 9

)

11()

11)(11(lim

+-+---=→x x x x x )

3)(3()3)(9(lim

x x x x x +-+-=→

)

11(lim

+--=→x x x x x

x x x -+-=→9)

3)(9(lim

lim

-=+--=→x x 633)3(lim 9=+=+=→x x

6、计算下列极限

（1）x x x 5sin 4tan lim 0→ （2）)2tan 1sin (lim 0x

x x x +→

解：x x x 5sin 4tan lim 0→x x x

x 5sin 4cos 4sin lim 0→= 解：)2tan 1sin (lim 0x x

x x x +

→

x x x x x x x 55sin lim 44sin lim

4cos 1lim 54000→→→?

= x

x x

x x x x 2cos sin lim 1sin lim 00→→+= 5

= 21cos 1lim sin lim 2100=?=→→x x x x x

（3）x x x 2sin 11lim

-+→ （4）6)

3sin(lim 23---→x x x x

解：x x x 2sin 11lim

-+→ )3)(2()

3sin(lim 3-+-=→x x x x

)

11(2sin )11)(11(lim

++?++-+=→x x x x x 2

lim

)3()3sin(lim

33+?--=→→x x x x x )

11(2sin lim

0++?=→x x x

x 51

1?=

111lim

2sin 2lim 2100++?=

→→x x x x x 5

= 4

121121=??=

课本P.24 练习1.3 习题解答

1、设函数???

???

>=<+=0

sin 00

1sin )(x x x x a

x b x x x f ，

问：（1）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续？

解：b b b x x b x x x x x =+=+=+---→→→0lim 1

sin lim )1sin (lim 0

001

1sin lim 0=+→x

x x a f =)0(

（1）若 )(x f 在0=x 处有极限存在则 =+-→)1sin

(lim 0

b x x x x

x sin lim 0+

→ 所以 1=b

所以当1=b ，且a 为任意值时，)(x f 在0=x 处有极限存在

（2）若 )(x f 在0=x 处连续

则 =+-→)1sin

(lim 0b x x x x

x sin lim 0+

→)0(f = 所以 1==b a

所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续 2、求下列函数的连续区间和间断点：

（1）112)(2

-+-=x x x x f （2）???

??=≠--=2

)(2x x x x x f 解：间断点 1=x 解：∵2

lim )(lim 222--=→→x x x f x x

连续区间： 2

)

2)(2(lim

2--+=→x x x x

),1()1,(+∞?-∞ )2(4)2(lim 2

f x x ≠=+=→

∴间断点为 2=x 连续区间),2()2,(+∞?-∞

大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第1章函数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值）一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。（1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减（3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。（4）周期性若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。（5）有界性若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；

微积分第一章

高等数学教案、

第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2．掌握极限四则运算法则。 3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。第一章共12学时，课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时第一章习题课 2课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二）初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

高等数学第一章函数习题

习题一 1．y ＝lg （－x 2）是不是函数关系？为什么？ 2．Y ＝1 12--x x 与y ＝x ＋1是不是相同的函数关系？什么？ 3．确定下列函数定义域：（1）y ＝29x - （2）y ＝211 x -＋2+x （3）y ＝4 5 2+-x （4）y ＝arcsin 21-x （5）y ＝1－e 1－x2 （6）y ＝1 ||) 3lg(--x x （7）y ＝45lg 2x x - （8）y ＝6712arccos 2---x x x 4．已知 f （x ）＝x 2－3x ＋2，求f （0），f （1），f （2），f （－x ），f （ x 1），f （x ＋1） 5．设f （x ）＝x x -1，求f[f (x)]和f{f[f (x)]} 6．如果f （x ）＝x 5－2x 3＋3x ，证明f （－x ）＝－f （x ） 7．如果f （x ）＝1 1 +---x x e e ，证明f （－x ）＝－f （x ） 8．如果f （x ）＝x x cos 12 -，证明f （－x ）＝f （x ） 9．如果f （x ）＝a x ，证明 f （x ）·f （y ）＝f （x ＋y ）， )()(y f x f ＝f （x －y ） 10．如果f （x ）＝log a x ，证明 f （x ）＋f （y ）＝f （x·y ）， f （x ）－f （y ）＝f （ y x ） 11．确定下列函数的定义域并作出函数图形：（1）f （x ）＝?????<=>0 100 01x x x

（2））f （x ）＝?????<<-≤-2||11 1||12x x x x 12．将函数y ＝5－|2x －1|用分段形式示，作出函数图形。 13．设f （x ）＝?? ???>=<0100 01x x x ，求f （x －1），f （x 2－1） 14．设?????≤<≤≤=+21210)1(2 x x x x x ?，求)(x ? 15．判断下列函数的奇偶性：（1）y ＝21 x （2）y ＝tanx （3）y ＝a x （4）y ＝2 x x a a -+ （5）y ＝x ＋sinx （6）y ＝xe x （7）y ＝lg x x +-11 16．判断下列函数的单调增减性：（1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝（ 21）x （3）y ＝log a x （4）y ＝1－3x 2 （5）y ＝x ＋lgx 17．函数y ＝cos3x 的周期是多少？ 18．求下列函数的反函数：（1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝2 2-+x x （3）y ＝x 3＋2 （4）y ＝1＋lg （x ＋2） 19．如果y ＝u 2， u ＝log a x ，将y 表成x 的函数。 20．如果y ＝u ，u ＝2＋2υ，υ＝cosx ，将y 表成x 的函数。 21．如果f （x ）＝3x 3＋2x ，?（t ）＝lg （l ＋t ），求f[?（t ）]。 22．下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成：（1）y ＝13-x （2）y ＝a 31x + （3）y ＝（1＋lnx ）5 （4）y ＝e e-x2 （5）y=x ln （6）y ＝lg 2arccosx 3 23．分别就a ＝2，a ＝2 1，a ＝－2讨论y ＝lg （a －sinx ）是不是复合函数。如果是复合函数，求其定义域。

高等数学第一章练习题答案

第一章练习题一、设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。二、求极限：思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。四、讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。五、设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。六、求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。七、设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上至少有一点，使()()a x f x f +=。八、设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ，至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

大学数学微积分第1章练习题

2018-2019 大学数学(B1) 练习题第一章一、选择题 1. 下列函数中不是基本初等函数的是…………………………………………（） A. 反三角函数 B. 符号函数 C. 对数函数 D. 幂函数 2. 下列函数是无界函数的是……………………………………………………（） A.x y sin = B.x y arctan = C.x y 1 sin = D.3x y = 3. 下列各组函数中相等的是……………………………………………………（） A.2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B.0 )(,1)(x x g x f == C.1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D.2)(|,|)(x x g x x f == 4. 下列函数中为奇函数的是……………………………………………………（） A.)1ln()(2++=x x x f B.||)(x e x f = C.x x f cos )(= D.1 sin )1()(2--= x x x x f 5. 下列说法中正确的是…………………………………………………………（） A. 有界数列必定收敛 B. 收敛数列必定有界 C. 单调数列必定收敛 D. 收敛数列必定单调 6. 极限x x x x sin lim +∞ →的值为……………………………………………………（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 7. 极限)21( lim 2 22n n n n n +++∞→ 的值为………………………………………（） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 8. 极限x x x 10 ) 1(lim -→-的值为 ……………………………………………………（） A ．1 B ．e - C ．e 1 D ．e 9. 极限x x x x 2)1( lim +∞ →的值为 ……………………………………………………（）

(微积分)第一章

第一章习题1-1 1. 用区间表示下列不等式的解. ⑴ x%9; (2) x — 1 1； (3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01 解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3]. (2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是 (-8 ,0^(2,+ 8 ). (3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1). -0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99 (4) 原不等式可化为4 即/ x 1=0 x=1 用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99). 2. 用区间表示下列函数的定义域： (1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)； x (3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- . ln(2 -x) a - x=0 r x = 0 解⑴要使函数有意义，必须｛… 即4 1-x2-0 -1%&1 所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1]. (2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1 x 0 x 0

所以函数的定义域是1

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是（） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（）（A ）（1，0）（B ）（0，1）（C ）（1，1）（D ）（1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε　（D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量

微积分习题册(精华版)

微积分练习题册第一章函数 1. 1 y x = 是无穷小量； 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数； 3. 设arcsin y u = ，u = 2arcsin 2+=x y ； 4. 函数 1 lg lg y x = 的定义域是 1x > 且 10x ≠； 5. 函数 2 x y e -= 在 (0,)+∞ 内无界； 6. 函数 21 1y x =+ 在 (0,)+∞ 内无界； 7. 2 1()cos x f x x -= 是奇函数； 8. ()f x x = 与 2()g x = 是相同函数； 9. 函数 x y e = 是奇函数； 10. 设 ()sin f x x = ，且2[()]1f x x ?=-，则()x ?的定义域是 (0,1)； 11. y x = 与 y 是同一函数； 12. 函数 31y x x =++ 是奇函数； 13. 函数 1 arcsin 2 x y -= 的定义域是(1,3)- ； 14. 函数 cos3y x = 的周期是 3π ； 15. y x = 与 2 x y x = 不是同一个函数； 16. 函数 cos y x x =是偶函数 . 填空题 1. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________； 2. 设 cos 0()0x x f x x ≤??=?>?? ，则 (0)f = __________；

3. 设 x x x f --=24)(2 ，则 )2(-f = _______ ； 4. 设 x x f 1 )(=，x x g -=1)( ，则 )]([x g f = _______ ； 5. 复合函数2 (sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的； 6. 函数 43y x =- 的反函数是 _______ ； 7. 已知 11 ()1f x x =- ，则 (2)f = __________ ； 8. y = ，其定义域为 __________ ； 9. 设函数 2 ()1 x f x x -=- ，则 (1)f -= __________； 10. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数； 11. 函数 2x y e = 的反函数是 1 ln 2 y x = ,它的图象与 2x y e = 的图象关于 ________ 对称 . 选择题 1. 函数 3 2 --= x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞ 2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( ) (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( ) (A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+ 4. 已知函数 20()10ax b x f x x x +

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

第一章习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ）一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

微积分第一章---函数--习题及答案

第一章函数一、填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设()11 1>≤???=x x x x f ，则()()x e f x f +?1sin = 。 3、71 2arcsin 42-+-=x x y 的定义域为。 4、()x x f x f 2 12=??? ??- ，则()x f = 。 5、()00 1<≥?????=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==?，则()x ?= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2sin ,cos 1x x x x f =+=??，则()x f = 。 9、已知()?????≤≤+<≤<≤-+=3 121030 31 32x x x x x x f x ，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由复合而成。二、选择 1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（）奇函数。 A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数() x x f 单调减少，则有（） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()() b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()() b a b f a f b a f ++>+

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16．二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

(微积分)第一章

第一章习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解. 2(1)9;(2) 1; 1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即02 10x x x ≤≤?? >??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->? 即6112 x x x -≤≤?? ≠??

微积分第一章

高等数学教案、第一章函数、极限与与连续

本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下：．理解极限的概念（理解极限的描述性定义对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求或δ不作过高要求）。．掌握极限四则运算法则。．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。第一章共学时，课时安排如下绪论 § 、函数 § 初等函数课时 § 数列极限及其运算法则课时 § 函数极限及其运算法则课时 § 两个重要极限无穷小与无穷大课时

§ 函数的连续性课时第一章习题课课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化封二）初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等

《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)

第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即 [单选题]

写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、【正确答案】C 【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、设则=（）. A、 B、

《高等数学》-各章知识点总结第1章

第1章函数与极限总结 1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →a (n →∞). （2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε , 那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞ =）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== 2、极限的性质（1）唯一性若a x n n =∞ →lim ，lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = （2）有界性（i ）若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

北京邮电大学出版社-高等数学第3版(张卓奎)第一章习题选解

习题选解第一章习题选解. 习题 1－1 1．若2(+1)x +3x 5f x =+，求 ()f x ．解：因为 ()22(+1) x +3x 5=1(1)3f x x x =+++++，所以 2()3f x x x =++. 2．下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是否相同？为什么？（1） 2 4)(2--=x x x f ，2)(+=x x g ；解：因为 )(x f 的定义域为(,2)(2,)-∞?+∞，而()g x 的定义域为(,)-∞+∞，所以()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同．（2） 2)13()(-=x x f ，13)(-=x x g ；解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．（3） 1 1ln )(-+=x x x f ，)1ln()1ln()(--+=x x x g ；解：由10101 x x x -≠??+?>?-?解出()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-?+∞，而由1010x x +>??->?解出()g x 的定义域为(1,)+∞，所以 ()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同．（4） 1 1ln )(2++=x x x f ，)1ln()1ln()(2+-+=x x x g ．解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同． 3．设???>+≤-=11121)(2x x x x x f ，，，求 )0(f ，)1(f ，)1(-f ，)23(f ，)23(-f ．解：(0)1f =，(1)1f =-，(1)3f -=，313()24f =，313()24 f -=． 4．设函数y ()f x =是以T>0为周期的周期函数，证明(a )(0为常数)f x a >是以a T 为周期的周期函数，并求出函数y sin 3cos 2x x =+的周期．

1、赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答

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