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2015高考复习专题五-函数与导数-含近年高考试题

2015专题五：函数与导数

在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

(1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。

(3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。

(4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程

()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。

（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。

(6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或

()f x '0≤在

I 上恒成立

(7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min

()()0f x g x ->

(10)若对11x I ?∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >.

若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，

若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大

于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x

x -≥-⑤

ln 1

(1)12

x x x x -<>+⑥ 22

ln 11(0)22x x x x <->

考点一：导数几何意义：

角度一求切线方程

1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′????π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3

上一点P (a ，b )的切线方程为( )

A ．3x －y －2＝0

B ．4x －3y ＋1＝0

C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0

D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0

解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝f ′????π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.

角度二求切点坐标

2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )

A ．(0,1)

B ．(1，－1)

C ．(1,3)

D ．(1,0)

解析：选C 由题意知y ′＝3

x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．

角度三求参数的值

3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7

2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为

(1，f (1))，则m 等于( )

A ．－1

B ．－3

C ．－4

D ．－2

解析：选D ∵f ′(x )＝1

x ，

∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，

∴切线l 的方程为y ＝x －1.

g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋7

2，m <0，

于是解得m ＝－2，故选D.

考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。

[典例1]已知函数f (x )＝x 2－e x 试判断f (x )的单调性并给予证明．解：f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减， f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可．设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0，当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.

∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴f ′(x )<0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递减．

[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .

(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． [解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由已知可得????

f 1 ＝a ＋1＝c ，

g 1

＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，

解得a ＝b ＝3.

(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3

＋ax 2

＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6，

∵a >0，∴x 1

由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a

6；

由F ′(x )<0得，－a 2

∴单调递增区间是????－∞，－a 2，????－a 6，＋∞；单调递减区间为????－a 2，－a 6. [针对训练]

(2013·重庆高考)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间与极值．

解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6

令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，

故a ＝12

(2)由(1)知，f (x )＝1

2(x －5)2＋6ln x (x >0)，

f ′(x )＝x －5＋6x ＝ x －2

x －3 x

令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.

当03时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2

由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝9

2＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.

考点三：已知函数的单调性求参数的范围

[典例] (2014·山西诊断)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1

x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x

，

令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x ＝0，解得x ＝－12或x ＝1.

∵x >0，∴x ＝1.

当00；当x >1时，f ′(x )<0.

∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． (2)显然函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x －2a 2

x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x ＝－ 2ax ＋1 ax －1 x .

①当a ＝0时，f ′(x )＝1

>0，

∴f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意．

②当a >0时，f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x >0)，即x ≥1

a ，

此时f (x )的单调递减区间为????1

a ，＋∞. 由?????

1a ≤1，

a >0，

得a ≥1. ③当a <0时，f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x >0)，即x ≥－1

2a ，此时f (x )的单调递减区间为????－12a ，＋∞. 由?????

－12a ≤1，a <0，

得a ≤－1

综上，实数a 的取值范围是????－∞，－1

2∪[1，＋∞)． [针对训练]

(2014·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a

2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.

(1)求b ，c 的值；

(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；

(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，

由题意得????? f 0 ＝1，f ′ 0 ＝0，即?????

c ＝1，b ＝0.

(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，

依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a

x max ＝－22，当且仅当“x ＝2

x ”即x ＝－2时等号成立，

所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．考点四：用导数解决函数的极值问题

[典例] (2013·福建高考节选)已知函数f (x )＝x －1＋a

e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．

(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．

[解] (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a

e x .

又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－a

e ＝0，解得a ＝e.

(2)f ′(x )＝1－a

x ，

①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，

所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；

当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． [针对训练]

设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图像关于直线x ＝－1

2对称，且f ′(1)＝0.

(1)求实数a ，b 的值；

(2)求函数f (x )的极值．

解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ，从而f ′(x )＝6????x ＋a 62＋b －a 2

6，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a

6对称．

从而由题设条件知－a 6＝－1

2，即a ＝3.

又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.

(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，

即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－2,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．

从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6. 考点五运用导数解决函数的最值问题 [典例] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． [解] (1)f ′(x )＝1

x －a (x >0)，

①当a ≤0时，f ′(x )＝1

x －a >0，

即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1

a ，

当0

a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；

当x >1

a 时，f ′(x )＝1－ax x