河南省名校天一大联考2018-2019学年高二阶段性测试(四)数学理科试题(原卷版)
2018—2019学年高二年级阶段性测试（四）
数学（理科）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数()()1i 2i z =++所对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知集合{}|04A x x =∈< B. 4 C. 3 D. 2 3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移12 π 个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一 条对称轴为（ ） A. 3 x π = B. 23 x π= C. 512 x π= D. 712 x π= 4.() 10 2x -的 展开式中7x 的系数为（ ） A. 3 10128C - B. 3 10128C C. 7 108C - D. 7 108C 5.已知双曲线C ：2 221x y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线右支上一点，且 122OA F F =（O 为坐标原点），则12AF AF ?=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.阅读如图所示的程序框图，若输入7x =，则输出S 的值为（ ） A. 105- B. 0 C. 35 D. 105 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 7283+ B. 8163+ C. 3 D. 32 8.已知函数()2log ,11,1 x x f x x x >?=? -≤?，且() 2 21f a ->，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()(),22,-∞-+∞U B. ()2,2- C. () ,33,-∞-+∞U D. (3 9.已知某圆柱的轴截面ABCD 为正方形，其中点A 与点B 分别位于圆柱的上、下底面，则在该圆柱的侧面展开图中，sin ACB ∠=（ ） A. 2 4π+ B. 2 4π+ C. 12 D. 22 10.在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 中点，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 150° 11.已知ABC V 是等边三角形，点1B ，2B ，3B ，…，13B 依次是边BC 上的14等分点，过i B （1i =，2，…，13）作边BC 的垂线，交边AB 或边AC 于i A ，记i i i a A B =.若 13 1 21i i a ==∑，则BC =（ ） A. 2 B. 23 C. 73 D. 43 12.已知函数()|ln |e x f x x a =- -有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A . ()0,e B. 1,1e ??-???? C. 1,e ??-∞- ??? D. 1,0e ??- ??? 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知x ，y 满足约束条件412x y x y +≤?? ≥??≥? ，则2z x y =+的最大值为_________. 14.某机构调查了200名老年人平均每周锻炼身体的时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图.根据直方图可知，这200名老年人中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为_________. 15.已知数列{}n a 的通项公式为1 n n a nq -=，0q >，*n ∈N ，其前三项和为17.设1log log n q n q n b a a +=-， 则数列{}n b 前1023项的和为_________. 16.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过Ｆ的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为D ，E .若2BF FA =u u u r u u u r ，四边形ADEB 的面积为2p =_________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知函数()1 2sin sin 32 f x x x π??=+- ?? ?. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()1f A =，3a =， sin 2 sin 3 B A =，求c . 18.近几年，伴随着人工智能技术的发展，“围棋人机大战”引发了大家的关注.某棋手与计算机进行一场围棋比赛，比赛采用五局三胜制，且无论比分如何都要下满五局.假设比赛没有和棋，刚开始棋手每局获胜的概 率只有 1 4 ，当计算机赢了3局后，由于熟悉了计算机的策略，棋手每局获胜的概率变为1 2.现已知前两局比 赛都由计算机获胜. （Ⅰ）求计算机获得最终比赛胜利且比分为3比2的概率； （Ⅱ）设比赛结束后，棋手获胜的局数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19.如下左图，平行四边形ABCD 中，3 A π ∠= ，2AB BC =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点.将四边形DCEF 沿着EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面DCEF ，得到三棱柱AFD BEC -，如下右图. （Ⅰ）证明：DB EF ⊥； （Ⅱ）求二面角A BD E --的余弦值. 20.已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四 边形1122A B A B 的周长为5 4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过1B 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别交椭圆C 于另外两点M ，N ，若直线MN 的斜率的取值范 围为2,5?? +∞ ??? ，求直线1B M 的斜率的取值范围. 21.已知函数()2 ln f x ax x =-. （Ⅰ）若2a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）对任意的[]1,e x ∈，不等式()ln f x x '>恒成立，其中()f x '是()f x 的导函数，求实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xOy 中，以点()1,1C 为圆心，以1为半径作圆.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程.