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排列组合概率统计(答案)

排列组合二项式定理概率统计（理科适用）

1．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为() A．85B．86 C．91 D．90

解析：由题意，可分三类考虑：

(1)男生甲入选，女生乙不入选：C13C24＋C23C14＋C33＝31；

(2)男生甲不入选，女生乙入选：C14C23＋C24C13＋C34＝34；

(3)男生甲入选，女生乙入选：C23＋C14C13＋C24＝21，

∴共有入选方法种数为31＋34＋21＝86.

答案：B

2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()

A．12种B．18种C．36种D．54种

解析：将标号为1,2的卡片放入1个信封，有C13＝3种方法，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有C22·C24＝6种方法，共有C13C24·C22＝3×6＝18种．

答案：B

3．从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有()

A．70种B．80种C．90种D．100种

解析：基本事件的总数是C310，在三种价格的门票中各自选取1张的方法数是C15C13C12，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的不同的选法共有C310－C15C13C12＝90种．

答案：C

4．2012年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有()

A．1 440种B．1 360种C．1 282种D．1 128种

解析：采取对丙和甲进行捆绑的方法：

如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A22＝1 440种，

如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A14·A22·A44＝192种，

若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．

则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．

答案：D

5．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为()

A．20 B．30 C．50 D．80

解析：按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类：第一类：三个灯泡同色时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×2＝20种；第二类：三个灯泡两红一黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种；第三类：三个灯泡一红两黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种．故呈现出满足条件的不同的变换形式的种数为20＋30＋30＝80.

答案：D

二、填空题

6．(2012·本溪模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)

解析：①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种．

②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种；

所以共48种．

答案：48

7．(2012·北京模拟)三个人坐在一排八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．

解析：法一：根据题意，两端的座位要空着中间六个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空，故共有A34＝24种．法二：让人占座位之间的空，因有五个座位，它们之间四个空，人去插空，共有A34＝24种．

答案：24

三、解答题

8．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？

解：先选1空盒：C14，将4白、5黑、6红分别放入其余三个盒中，每盒1个，剩1个白球有3种放法，剩2个黑球有3＋C23＝6种放法，剩3个红球有3＋1＋A23＝10种放法，由分步乘法原理，得C14×6×3×10＝720种．

9．某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有多少种？

解：先从12个班主任中任意选出8个到自己的班级监考，有C812种安排方案，设余下的班主任为A、B、C、D，自己的班级分别为1、2、3、4，安排班主任A有三种方法，假定安排在2班监考，再安排班主任B有三种方法，假定安排在3班监考，再安排班主任C、D有一种方法，因此安排余下的4个班主任共有9种方法，所以安排方案共有C812·9＝4 455种．

10．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：

(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？

(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？

(4)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种；

(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568种；

(3)分两类：甲、乙中有一人参加；甲、乙都参加．共有C12C418＋C318＝6 936种；

(4)法一：(直接法)：至少一名内科一名外科的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656种．

法二：(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C58＋C512)＝14 656种．

1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B

2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )

A ．0.2

B ．0.3

C ．0.7

D ．0.8

解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.

答案：B

3．(2012·皖南八校联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )

A.115

B.35

C.8

D.14

解析：记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝3

答案：B

4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )

A.16

B.15

C.13

D.2

解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为

55＋4＋3＋2＋1＝1

答案：C

5．(2012·合肥模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )

A.16

B.13

C.12

D.3

解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是?????

a ＞

b sin A ，

b ＞a 因为A ＝30°，所以

???

b ＜2a ，

b ＞a

满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16

答案：A 二、填空题

6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．

答案：35

7．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．

解析：P ＝1－0.2×0.25＝0.95. 答案：0.95 三、解答题

8．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．

(1)求检验次数为3的概率； (2)求检验次数为5的概率．

解：(1)设“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A ，则检验次数为3的概率为

P (A )＝C 12C 15C 27·1

C 15＝221

(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B ，记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C ，则检验次数为5的概率为

P ＝P (B )＋P (C )＝C 12C 35C 47·1C 13＋C 55

C 57＝521

9．已知向量a ＝(x 、y )，b ＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x 、y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．

(1)求满足a·b ＝－1的概率； (2)求满足a·b ＞0的概率．

解：(1)设(x ，y )表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、…、(6,5)、(6,6)，共36个．

用A 表示事件“a·b ＝－1”，即x －2y ＝－1，则A 包含的基本事件有(1,1)、(3,2)、(5,3)，共3个，P (A )＝336＝112

(2)a·b ＞0，即x －2y ＞0，在(1)中的36个基本事件中，满足x －2y ＞0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、(6,2)，共6个，

所以所求概率P ＝636＝16

10．某次会议有6名代表参加，A 、B 两名代表来自甲单位，C 、D 两名代表来自乙单位，E 、F 两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：

(1)代表A 被选中的概率是多少？

(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．

其中代表A 被选中的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，共5种，则代表A 被选中的概率为515＝1

(2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是 (A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．

则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为915＝35.

法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为8

15；

随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为1

则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为815＋115＝3

1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( ) A.

解析：利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可．答案：C

2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是

( )

A ．ξ＝4

B ．ξ＝5

C ．ξ＝6

D ．ξ≤5

解析：由条件知“放回5个红球”事件对应的ξ为6. 答案：C

3．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a

n (n ＋1)

(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，

则P (12＜X ＜5

)的值为( )

A.23

B.34

C.45

D.5

解析：由(11×2＋12×3＋13×4＋1

4×5)×a ＝1.

知45a ＝1 ∴a ＝54

. 故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.

答案：D

4．(2012·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )

A.1

220

B.2755

C.27

220

D.21

解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19

C 312＝27220

答案：C

5．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2m

A 3

的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2) C ．P (ξ≤3)

D ．P (ξ＝2)

解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝(n －m )A 2m

A 3

n 答案：D 二、填空题

6．随机变量X 的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______. 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝2

答案：2

7．设随机变量X 只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P (X ＞8)＝________，P (6＜X ≤14)＝________.

解析：P (X ＞8)＝23，P (6＜X ≤14)＝2

答案：23 2

三、解答题

8．(2012·扬州模拟)口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的

次数为X .若P (X ＝2)＝7

，求：

(1)n 的值； (2)X 的分布列．

解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n

C 1n ＋2＝730， ∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.

(2)X ＝1,2,3,4 且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1

120.

∴X 的分布列为

9．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是23，试验不成功的概率都是1

甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．

(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；

(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件“一次试验中，选择第i 套方案并试验成功”为A i ，i ＝1,2，则P (A i )＝1

C 1

×23＝13

. 3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率 P ＝P (A 1·A 1·A 1＋A 2·A 2·A 2)＝????133＋????133

＝227.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则X ～B (3，23

)， P (X ＝k )＝C k 3

????133－k ????23k

，k ＝0,1,2,3. X 的分布列为

10．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (i ＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i 分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．

(1)求甲恰好射击两次的概率；

(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

解：(1)记“选手甲第i 次击中目标的事件”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A i )＝0.8，P (A i )＝0.2，依题意可知：A i 与A j (i ，j ＝1,2,3，i ≠j )相互独立，所求的概率为P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.8×0.2＝0.16. (2)ξ的可能取值为0,3,5,6.

P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝3)＝0.8×0.2＝0.16， P (ξ＝5)＝0.82×0.2＝0.128，P (ξ＝6)＝0.83＝0.512. 所以ξ的分布列为：

1．若随机变量X 的分布列如下表，则E (X )等于( )

A.118

B.19

C.209

D.9

解析：由分布列的性质可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝1

18.∴E (X )＝0×2x ＋1×3x

＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5x ＝40x ＝20

答案：C

2．(2012·潍坊模拟)设X 为随机变量，X ～B ????n ，1

3，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于( )

A.13

B.4243

C.13243

D.80

243

解析：∵X ～B ????n ，13，∴E (X )＝n

＝2.∴n ＝6. ∴P (X ＝2)＝C 26

????132????234＝80243

. 答案：D

3．已知随机变量X ～B (6，

)，则P (－2≤X ≤5.5)＝( )

A.78

B.18

C.6364

D.31

解析：依题意，P (－2≤X ≤5.5)＝P (X ＝0,1,2,3,4,5)＝1－P (X ＝6)＝1－C 66×(22)6＝78

. 答案：A

4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧．其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量X ＝|a －b |的取值，则X 的数学期望E (X )＝

( )

A.8

B.35

C.2

D.1

解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17

＝126条，X 的可能取值有0,1,2.

P (X ＝0)＝6×7126＝13，P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝8

答案：A

5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )

A.1

B.124

C.112

D.1

解析：依题意得3a ＋2b ＋0×c ＝1，∵a ＞0，b ＞0，∴3a ＋2b ≥26ab ，即26ab ≤1，∴ab ≤124.当且仅当3a ＝2b 即a ＝25，b ＝3

时等式成立．

答案：B 二、填空题

6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________．

解析：依题意得?????

x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即

x ＋y ＝0.6，

7x ＋10y ＝5.4，由此解得y ＝0.4. 答案：0.4

7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示)．

解析：首先X ∈{0,1,2}．

∵P (X ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (X ＝1)＝C 12C 1

5C 27＝1021，P (X ＝2)＝C 22

C 27＝121

∴E (X )＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝4

答案：4

三、解答题

8．某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.

(1)若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P (A )；

(2)求η的分布列及其数学期望E (η)．

解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以

P (A )＝0.83＋C 13×0.2×(1－0.2)2

＝0.896.

(2)由

100

＝0.2得a ＝20， ∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得： P (ξ＝1)＝

40100＝0.4，P (ξ＝2)＝20100＝0.2，P (ξ＝3)＝20100＝0.2，P (ξ＝4)＝10100

＝0.1，P (ξ＝5)＝10

100

＝0.1.

由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)． P (η＝1)＝P (ξ＝1)＝0.4，

P (η＝1.5)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.4； P (η＝2)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η的分布列为：

∴η的数学期望E (η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．

9．(2012·广州调研)某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.

(1)若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？

(2)若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ，求E (ξ)的值．

解：(1)法一：设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件B 表示“灯泡为一等品”，依题意有P (A )＝0.6，P (B |A )＝0.9，

根据条件概率计算公式得P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.6×0.9＝0.54.

法二：该商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡有50×60%＝30个，乙厂生产的灯泡有50×40%＝20个，其中是甲厂生产的一等品有30×90%＝27个，故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率为27

＝0.54.

(2)依题意，ξ的取值为0,1,2，

P (ξ＝0)＝C 223C 250＝2531 225，P (ξ＝1)＝C 127C 1

23C 250＝6211 225，P (ξ＝2)＝C 227

C 250＝3511 225

，

∴ξ的分布列为

∴E (ξ)＝0×2531 225＋1×6211 225＋2×351

1 225

＝1.08.

10．(2012·冀州模拟)今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗

电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：

(1)如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； (2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E (ξ)．

解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ， P (A )＝12×12×15×15＋4×12×12×45×15＋12×12×45×45＝33100

(2)设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率P ＝a ×12×(1－1

5)2

a ＝8

25，

2周后低碳族的概率P ＝1－

825＝17

，依题意ξ～B (25，1725)，所以E (ξ)＝25×17

25＝17.

1．二项式6

)12(x

x -的展开式中的常数项是( ) A ．20 B ．－20 C ．160

D ．－160

解析：二项式(2x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·????－1x r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x 6－2r .令6－2r ＝0，得r ＝3，因此二项式(2x －1

)6的展开式中的常数项是C 36·26－3·(－1)3＝－160. 答案：D 2．若二项式n

x )2(2+的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x －4的系数是( )

A ．80

B ．40

C ．20

D ．10

解析：令x ＝1，则3n ＝243，解得n ＝5.二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 5x

5－r ·2r ·x －2r

＝2r ·C r 5·x 5－3r ，由5－3r ＝－4，得r ＝3.故展开式中x －4的系数是23C 35＝80.

答案：A

3．(1－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

解析：二项式(1－x )8各项系数和为(1－1)8＝0，二项式(1－x )8展开式的通项公式为(－

1)r ·C r 8·2

x ，当r ＝8时，可得x 4项的系数为(－1)8·C 88＝1，

由此可得二项式(1－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为0－1＝－1.

答案：A

4．若n

x )2(+的展开式中的第5项为常数，则n ＝( ) A ．8 B ．10 C ．12

D ．15

解析：∵T 4＋1＝C 4n (x )

n －4

???

?2x 4＝C 4n 24

n x -为常数，

∴n －122

＝0，n ＝12. 答案：C

5．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy ＜0，则x 的取值范围是( )

A ．(－∞，1

B ．[4

5，＋∞)

C ．(－∞，－4

]

D ．(1，＋∞)

解析：二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r 依题意有 ????

C 1

·x 9－1

·y ≤C 29

·x 9－2·y 2，

x ＋y ＝1，xy ＜0.

由此得?

????

x 8·

(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0x (1－x )＜0，

由此解得x ＞1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．答案：D 二、填空题

6．设二项式6

)(x

a x -(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．

解析：对于T r ＋1＝C r 6x 6－r 1

a x ??- ? ???

＝C r 6(－a )r 3

62r

x -，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a ＞0，∴a ＝2. 答案：2

7．(1＋x )3(1＋1x )3的展开式中1

的系数是________．

解析：利用二项式定理得(1＋x )3???

?1＋1x 3的展开式的各项为C r 3x r ·C n 3x －n ＝C r 3C n 3x r －n

，令r －n ＝－1，故可得展开式中含1x 项的是C 03·C 13x ＋C 13·C 2

3x ＋C 23·C 33

x ＝15x

，

即(1＋x )3????1＋1x 3的展开式中1

x 的系数是15. 答案：15