2019年天津市高等教育自学考试课程考试大纲.doc

课程名称：应用数学（2006年12月版）课程代码：3416天津市高等教育自学考试课程考试大纲

课程名称：应用数学课程代码： 3416

第一部分课程性质与目标

－、课程的性质与特点

“应用数学”课程是工科各专业（高等专科）必修的一门重要的基础课，是培养学生理

性思维和计算的重要载体，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。

二、课程目标与基本要求

通过本课程的学习，切实掌握必要的基本概念和基础理论，在此基础上掌握基本的计算

方法和技巧，培养学生的运算能力和用数学方法解决实际问题的能力，为学生学习后继课程和进

一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。

本课程的基本要求：

1、考生获得微积分的基本理论、基本知识和基本计算。

2、考生获得微分方程求解的初步知识。

本课程实践性强，学习时应注意联系实际，完成必要的实验项目，并保证及时完成习题和

作业。

三、与本专业其他课程的关系

学习本课程的考生应当具备高中数学及物理的知识，通过本课程的学习，将为电工、电子等专业基础课和专业课的学习良好的打下基础。

第二部分考核内容与考核目标

第一章函数与极限

一、学习目的与要求

通过本章的学习，学生应掌握函数的相关概念、主要性质，掌握极限理论等，学好本章

内容将为以后的学习奠定必要的基础。

本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用

表示法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟悉基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数。理解极限和无穷小量的概念；熟练掌握极限的运算方法；掌握无穷小量的基本性质；清楚无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；能熟练运用两个重要极限；理解无穷小量的比较和高阶无穷小量的概念；理解函数的

连续性和间断点；知道初等函数的连续性；清楚闭区间上连续函数的性质。

二、考核知识点与考核目标

（一）一元函数的定义及其图形（重点）

理解： 1、一元函数的定义，函数的两个基本要素，知道什么是函数的值域。

2、函数与其图形之间的关系。

3、会计算函数值。

4、会求定义域。

（二）函数的表示法（一般）

识记： 1、函数的三种表示法——解析法、表格法、图像法及它们各自的特点。

（三）函数的几种基本特性（重点）

理解：清楚函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，会判定比较简单的函数是否具有上述特性。

（四）反函数及其图形（一般）

理解： 1、函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数。

2、知道与函数的定义域和值域之间的关系。

3、清楚函数与其反函数的图形之间的关系。

（五）复合函数（次重点）

应用： 1、复合函数的含义及可复合的条件.

2、会求比较简单的复合函数的定义域.

3、会把一个函数分解成几个简单函数的复合。

（六）初等函数（次重点）

理解： 1、基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形。

2、初等函数的构成。

（七）简单函数关系的建立（一般）

应用：会对比较简单的实际问题通过几何、物理或其他途径建立其中蕴含的函数关系。

（八）数列及其极限（重点）

理解： 1、数列的含义。

2、数列收敛、发散的含义。

（九）函数极限（重点）

应用： 1、函数极限的含义。

2、理解函数的左右极限, 知道函数极限与左右极限之间的关系.（十）极限的运算法则和两个重要极限（重点）

应用： 1、熟知极限的四则运算法则, 并能熟练的运用.

2、熟知两个重要极限,

（十一）无穷小量及其性质和无穷大量（重点）

应用： 1、无穷小量的概念。

2、理解无穷小量与变量极限之间的关系.

3、掌握无穷小量的性质。

4、无穷大量的概念, 知道它与无穷小量的关系.

5、会判别比较简单的变量是否为无穷小量或无穷大量.

（十二）无穷小量的比较（重点）

应用： 1、无穷小量之间高阶、同阶、等价的含义.

2、熟知无穷小量的等价公式. ，并能熟练运用.

（十三）函数的连续性（次重点）

应用： 1、函数在一点连续和单侧连续的定义, 知道它们之间的关系.

2、函数连续区间的定义.

（十四）函数的间断点（次重点）

应用： 1、函数在一点间断的定义和两类间断点.

2、会找出函数的两类间断点.

3、会判别分段函数在分段点处的连续性.

（十五）区间上的连续函数的性质（一般）

2、知道闭区间上连续函数的介值定理与零点定理.

3、会用零点定理判断函数方程在指定区间中根的存在性.

第二章一元函数的微分学

一、学习目的与要求

通过本章的学习，学生会求函数的导数和微分，并利用导数和微分解决实际问题( 如求运动的速度、近似计算等) ，应用微分中值定理研究函数性态。

本章总的要求是：理解导数和微分的定义, 及它们之间的关系; 知道导数的几何意义，会求切线方程和法线方程; 理解函数的可导与连续之间的关系; 熟知函数求导的基本公式与求

导法则 , 特别是复合函数的求导法则; 计算函数的导数; 清楚高阶导数的定义; 熟练掌握微分的基本公式和运算法则. 知道微分中值定理; 熟练掌握求各种未定式的值的洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数的极值念并掌握其求法；清楚函数的最值及其求法

并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用函数的二阶导数判定曲线

的凹凸性和计算拐点的坐标，会求曲线的水平和铅直渐近线。

二、考核知识点与考核目标

（一）导数的定义及其几何意义和实际意义（次重点）

理解： 1、函数的导数和左、右导数概念, 知道它们之间的关系.

2、函数在一点的导数的几何意义.

3、知道曲线在一点处切线和法线的定义，并会求它们的方程.

（二）函数可导与连续的关系（一般）

理解：函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件.

（三）可导函数的和、差、积、商的求导法则（重点）

应用：能熟练运用可导函数的和、差、积、商的求导法则.

（四）复合函数的求导法则（重点）

应用： 1、熟练掌握复合函数的求导法则.

2、对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数, 会用对数求导计算其导数.（五）反函数的求导法则（一般）

识记：了解反函数的求导法则.

（六）基本初等函数的导数（重点）

应用：熟记基本初等函数的求导公式，并能熟练运用.

（七）隐函数及其求导法则（重点）

应用： 1、理解由函数方程所确定的以元函数( 隐函数 ) 的含义。

2、会求由一个函数方程所确定的隐函数的导数。

（八）高阶导数（次重点）

理解： 1、高阶导数的定义，了解二阶导数的物理意义。

2、会求初等函数的二阶导数。

（九）参数式函数的求导法则

应用： 1、会求参数式函数的一阶导数。

（十）微分的定义（次重点）

理解： 1、微分的含义。

2、函数的微分与导数的关系。

( 十一 ) 微分的基本公式和运算法则（重点）

应用： 1、基本初等函数的微分公式。

3、会求函数的微分。

（十二）微分中值定理（一般）

理解：拉格朗日中值定理，并清楚其几何意义。（十三）洛必达法则（重点）

应用： 1、熟练地使用洛必达法则计算0

和类型未定式的值。0

2、能识别其他类型的未定式，并会应用洛必达法则求其值。

（十四）函数单调性的判定（重点）

应用： 1、会确定函数的单调性区间和判别函数在给定区间上的单调性。

2、会用函数的单调性证明简单的不等式。

（十五）函数的极值及其求法（重点）

应用： 1、函数极值的定义。

2、函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点和不可导点之间的关系。

3、掌握函数极值的两个充分条件。

4、会求函数的极值。

（十六）函数的最值及其应用（次重点）

应用：清楚最值的求法，并能解决比较简单的求最值的应用问题。

（十七）曲线的凹凸性和拐点（重点）

应用： 1、曲线在给定区间上“凹”“凸”的定义。

2、会确定曲线的凹凸区间。

3、知道曲线的拐点的定义，会求曲线的拐点。

（十八）曲线的渐近线（次重点）

理解：知道曲线的水平和铅直渐近线的定义及其意义，会求曲线的这两类渐近线。

第三章一元函数积分学

一、学习目的与要求

通过本章的学习，学生掌握不定积分与定积分的运算；及利用定积分计算曲边图形面积和

已知物体运动的速度行走的路程等实际问题。

本章总的要求是：理解原函数和不定积分的概念，清楚微分运算和之间的关系；熟练不定积分和定积分的基本性质 ; 熟记基本积分公式；掌握牛顿－莱布尼茨公式；熟练掌握不定

积分和定积分的换元积分法和分布积分法，并能熟练地运用它们计算不定积分；理解定积分概念及其几何意义，，了解定积分的积分中值定理；理解变上限积分及其求导公式；清楚无

穷限反常积分的定义，依据定义判断它是否收敛，并在收敛时求出其值；会用定积分解决比较简单的几何问题和实际问题。

二、考核知识点与考核目标

（一）原函数与不定积分概念及不定积分的基本性质（一般）

理解： 1、清楚原函数与不定积分的定义，了解它们的联系与区别。

2、熟记不定积分的基本性质。

（二）基本积分公式( 重点 )

应用：熟记基本积分公式，并能熟练运用。

（三）不定积分的换元积分法( 重点 )

应用： 1、熟练运用第一换元积分法（即凑微分法）。

2、掌握第二换元积分法，知道几种常见的换元类型。

（四）不定积分的分部积分法(重点)

应用：掌握分部积分法，能熟练地用它求几种常见类型的不定积分。

（五）定积分概念及其几何意义（一般）

识记：定积分的概念并了解其几何意义.

（六）定积分的基本性质和中值定理(次重点 )

理解： 1、掌握定积分的基本性质 .

2、定积分的中值定理, 了解其几何意义 .

（七）变上限积分与牛顿 - 莱布尼茨公式 ( 重点 )

应用： 1、理解变上限积分是积分上限的函数，并会求其导数.

2、掌握牛顿 - 莱布尼茨公式 , 并领会其重要的理论意义 .

3、会用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分 .

4、会计算分段函数的定积分 .

（八）定积分的换元积分和分部积分法(重点 )

应用： 1、掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

2、知道对称区间上，奇函数或偶函数的定积分的性质.

（九）无穷限反常积分 ( 次重点 )

理解： 1、无穷区间的反常积分的概念及其敛散性.

2、在被积函数比较简单的情况下，会依据定义判断反常积分的敛散性, 并在收

敛时求出其值 .

（十）定积分的几何应用 ( 重点 )

应用： 1、会计算在直角坐标系中平面图形的面积.

2、会计算旋转体的体积 .

（十一）定积分的一些物理应用（一般）

理解： 1、会计算变速直线运动在一定时间段内所经历的路程.

2、会计算变力沿直线段所做的功.

第四章常微分方程

一、学习目的与要求

通过本章的学习，学生掌握几种常见的一阶、二阶微分方程的解法。

本章总的要求是：理解微分方程的基本概念，掌握可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的解法。

二、考核知识点与考核目标

（一）微分方程初步（一般）

理解：清楚微分方程的阶，解，通解，初始条件，特解的含义。

（二）一阶线性微分方程 ( 重点 )

应用： 1、能识别可分离变量的微分方程并会求解.

2、能识别一阶线性微分方程，并会求解.

（三）可降阶的高阶微分方程(次重点)

应用：会用“降阶法”解y n f (x) 型和y f ( x, y ) 型微分方程.

（四）二阶线性微分方程 ( 重点 )

应用： 1、了解二阶线性微分方程解的结构。

2、掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

第三部分有关说明与实施要求

一、考核的能力层次表述

本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定其应达到的

能力层次要求。各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。

理解：在识记的基础上，能全面把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、

原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。

应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点

分析和解决有关的理论问题和实际问题，是最高层次的要求。

二、指定教材

《高等数学》李广全主编天津大学出版社出版2004年版

三、自学方法指导

1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识

点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。

2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念

必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。

3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、

方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个

内容，可以不断提高自学能力。

4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解

决问题及提高能力的重要环节，在做练习之前，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同

层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识点进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）间的逻辑关系。

四、对社会助学的要求

l、应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点。

2、应掌握各知识点要求达到的能力层次，并深刻理解对各知识点的考核目标。

3、辅导时，应以考试大纲为依据，指定的教材为基础，不要随意增减内容，以免与大

纲脱节。

4、辅导时，应对学习方法进行指导，宜提倡“认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动争

取帮助，依靠自己学通”的方法。

5、辅导时，要注意突出重点，对考生提出的问题，不要有问即答，要积极启发引导。

6、注意对应考者能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导考生逐步学会独立学习，

在自学过程中善于提出问题，分析问题，做出判断，解决问题。

7、要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事，在各个能力层次中

会存在着不同难度的试题。

8、助学学时：本课程共4学分，建议助学课时72学时。学时分配如下：

天津市高等教育自学考试课程考试大纲

课程名称：应用数学（2006 年 12 月版）课程代码： 3416章次内容学时

第一章函数与极限16

第二章一元函数微分学22

第三章一元函数积分学22

第四章微分方程12

合计72

五、关于命题考试的若干规定

（包括能力层次比例、难易度比例、内容程度比例、题型、考试方法和考试时间等）

l 、本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点。

2、试卷中对不同能力层次试题比例大致是：“识记”为10％、“理解”为25％、“应用”为 65％。

3、试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2： 3： 3： 2。

4、每份试卷中各类考核点所占比例约为：重点占65％．次重点占25％，一般占 10％。

5、试题类型一般分为：填空题、单项选择题、简单计算题、解答题、应用题等。

6、考试采用闭卷笔试，考试时间150分钟，采用百分制评分，60分合格。

六、题型示例（样题）

（－）单项选择题

1、函数f ( x)在点x x0取得极大值，则必有（）。

（ a）f '( x0)0（ b）f '( x0)0

（ c）f '( x0)0且 f ' '( x0 ) 0（ d）f '( x0)等于零或不存在

（二）填空题

1、若lim 3sin mx1

，则 m =。

x 02x2

（三）简单计算题

1、求f ( x) x1x 2的导数。

（四）解答题

1、2 sin 3 xdx

（五）应用题

1、求由抛物线y x3与y x所围成的面积。