概率统计期末试卷-答案
2013年下学期概率统计模拟卷参考答案
、填空题：每空3分，共18分.请将各题号对应的正确答案填写在下列表格内
空1) 2. 口袋中有3个黑球、2个红球，从中任取一个，放回后再放入同颜色的球 1个.设B i ={第i 次取到黑 球},i=1,2,3,4.贝V P(B 1B 2B 3B 4)=(空 2)
.
解用乘法公式得到
P(B 1B 2B 3B 4) P(B 1)P(B 2 | B 1)P(B 3 | B 1B 2)P(B 41 B 1B 2B 3)
b ba
r r a
brbr a b r 2a b r 3a
=3/70
19
3.
在三次独立的重复试验中 ，每次试验成功的概率相同 ，已知至少成功一次
的概率为 .则每次试验成
27
功的概率为(空3)
..
19
解 设每次试验成功的概率为
p,由题意知至少成功一次的概率是 ，那么一次都没有成功的概率是
27
4. 设随机变量X, Y 的相关系数为0.5, E(X) E(Y) Q E(X 2
) E(Y 2
) 2,则E[(X
解 E[(X Y)2] E(X 2) 2E(XY) E(Y 2
)
4 2[Cov(X,Y) E(X)E(Y)]
4 2 XY
； D(X) * D(Y) 4 2 0.5 2
6.
5. 设随机变量X 的方差为2,用切比雪夫不等式估计
P{| X E(X) |> 3} =(空 5)
解 由切比雪夫不等式，对于任意的正数
，有
P{X E(X) > }< 警，
2
所以
P{| X E(X)|\3}w —.
9
2
2
2
6. 设总体X 的均值为0,方差
存在但未知，又X 1,X 2为来自
总体X 的样本，k(X 1 X 2)为 的无 偏估计.则常数k =( 空 6) _________ .
由于 E[k(X 1 X 2)2] kE[(X 12 2X 1X 2 X 22
)]
2 2
k[E(X 1 ) 2E(X 1X 2)E(X 2 )]
即(1 P )3
27,故
p
=3
8 27
2
Y) ] =(空 4)
k2 2
1
所以k=为2的无偏估计
2
、单项选择题：每小题2分，共18分.请将各题号对应的正确选项代号填写在下列表格内
1.若两个事件 A 和B 同时出现的概率 P(AB)=O,则下列结论正确的是(
).
(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.
(C) P(A)=0或P(B)=0.. (D)以上答案都不对?
解本题答案应选(D).
2件二等品.若从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是(
3.设事件A 与B 相互独立，且0 (A) A 与 B 一定互斥. (B) P(AB) P(A)P(B). (D) P(AU B) P(A) P(B) P(A)P(B). 解 因事件A 与B 独立，故A 与 B 也相互独立，于是(B)是正确的.再由条件概率及一般加法概率公式 可知(A)和(D) 也是正确的.从而本题应选(C). 2 2 4. 设随机变量X 服从正态分布N( 1，J ，Y 服从正态分布N( 2，2)，且 P{ X 1 1} P{ Y 2 1}，贝U 下列各式中正确的是( ). (A) d < 也. (B) 01 > 玄 (C) < 国. (D) (J) > p2. 解 对时，答案是(A). 5. 设 X ~ N 0 1，令 Y X 2,则 Y~( ). (A) N( 2，3). (B) N(0,1). (C)N( 2,1). (D)N(2,1). 解由正态分布函数的性质可知本题应选 (C). 2 6. 设X 与Y 相互独立，且都服从 N(,)，则下列各式中正确的是( ). (A) E(X Y) E(X) E(Y). (C) D(X Y) D(X) D(Y). 解注意到 E(X Y) E(X) E(Y) D(X Y) D(X) D(Y) 2 2 . 选(D). 7. 设(X, Y)服从二元正态分布，则下列结论中错误的是( ). (A) ( X, Y)的边缘分布仍然是正态分布 . (B) X 与Y 相互独立等价于 X 与Y 不相关. (C) (X, Y)的分布函数唯一确定边缘分布函数 . (D) 由(X, Y)的边缘概率密度可完全确定 (X, Y)的概率密度. 解 仅仅由(X, Y)的边缘概率密度不能完全确定 (X, Y)的概率密度.选(D) 2.在5件产品中，只有3件一等品和 (A) 都不是一等品. (C)恰有1件一等品. (B) 至多有1件一等品. (D)至少有1件一等品. ,其中只含有一件一等品的概率为 1 1 C 3 C 2 没有一等品的概率为 C° C ； C 2 ,将两者加起来即为 0.7.答案为(B ). (C) P(A|B) P(A). (B) E(X Y) 2 . (D) D(X Y) 2 2. 0 .由于X 与Y 相互独立，所以 8.设z (n),t (n),F (^，匕)分别是标准正态分布 N(0,1)、 2 (n)分布、t 分布和F 分布的上 解至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品 位点，在下列结论中错误的是( (A) z Z1 . ). (B) 2( n)=1- 2(n). (C) t (n) t (n). (D) F (n") F1 (n2, nJ 1 Y 2 2 X U 三> (10分)某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂总产量的 40%, 38%, 22%,经 检验知各车间的次品率分别为 0.04, 0.03, 0.05.现从该种产品中任意抽取一件进行检查 . (1) 求这件产品是次品的概率； (2) 已知抽得的产品是次品，问此产品来自乙车间的概率是多少？ 解 设A 表示取到的产品是一件次品”，B i (i=1,2, 3)分别表示 所取到的产品来自甲、乙、丙车间” ?易 知， B !,B 2,B 3是样本空间S 的一个划分，且 P(BJ 0.4,P(B 2)0.38,P(B 2) 0.22， P(A|B) 0.04, P(A| B 2) 0.03,P(A|B 3)0.05. ...4 分 (1)由全概率公式可得 P(A) P(A|B)PQ) P(A|B 2)P(B 2)P(A|B 3)PG) 0.4 0.04 0.38 0.03 0.22 0.05 0.0384. (2)由贝叶斯公式可得 四、(10分)设随机变量X 的概率密度为 1 (x 1), 0x2, f (x) 4 0, 其它， 对X 独立观察3次，求至少有2次的结果大于1的概率. 解根据概率密度与分布函数的关系式 b P{a X < b} F(b) F(a) f(x)dx , a 可得 2 1 P{X 1} —(x 1)dx 1 4 5 8 .............. 5.分 所以,3次观察中至少有2次的结果大于 1的概率为 2 5 2 3 CsL)(一) 3 5 3 C 3 (一) 175 .............. 5.分 8 8 8 256 五、(12分)随机变量(X,Y)的概率密度为 解应选(B). 9.设随机变量X ~t(n)(n 1),Y (A) 丫 ?2(n). (C) Y ?F(n,1). 由题设知,X U ,其中U i r ,则下列关系中正确的是 ( X (B) 丫 ?2(n 1). (D) Y~F(1,n) ). ?N(0,1),V (n).于是 这里U 2 2 (1),根据F 分布的定义知 Y 丄?F(n,1).故应选(C). X .............................. 4.分 P(B 2 |A) P(A|BJP(B 2) P(A) 0.38 0.03 0.0384 19 0.297 . 64 .........................2分 15 2 依题意，有 a 2 350a 5250 >9280，即 15 a 2 350a 4030 W 0,解得色 W a W 26.故期望利润不 2 3 (6 x y),0 x 2,2 y 4, f (x,y) 8 0, 其它. 求：(1) P{X Y W 4} ; (2)关于X 的边缘分布和关于 Y 的边缘分布；(3) X 与Y 是否独立？并说明理由 当 y W 2 时或 y >4 时，f Y (y) 0 . ⑶ 因为f (x, y) f x (x)f Y (y),所以X 与Y 不相互独立 500a 300( X a) 300X 200a, a X W 30, M a 500X 100(a X) 600X 100a, 10W X W a. 需求量X 的概率密度为 六、(10分)设某种商品每周的需求量 X 是服从区间［10,30］上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为 区间［10,30］中的某一整数.该经销商店每销售一单位该种商品可获利 500元；若供大于求则削价处理，每处 理一单位该种商品亏损 100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 300元.为实 现该商店所获利润期望值不小于 9280元的目标，试确定该经销商店对该种商品的进货量范围 . 解 设进货量为a 单位，则经销商店所获利润为 ............. 4分 (1) P{X Y W 4} f (x, y)dxdy x y W 4 4 2 d y 1 (6 x y)dx 8 (6 y)x dy 4.分 x 2时，f x (x) f(x,y)dy 4 1 2 8(6 y)dy 4(3 x); 4 当x W 0时或x >2时，f X (x) 0. f x (X ) x), x 2, 3.分 0, 其它. 当 2 f (x, y)dx 2 1 0 8(6 1 y)dy -(5 y); 4 f y (y) 丄(5 4 0, y), 4, 3.分 其它. .................................................. 2.分 f(x) —,10 20 0,其它. 30, 2.分 由此可得利润的期望值为 30 1 M 10 20 E(M a ) dx 10 (600x 100a)dx — 20 20 15 2 a 350a 5250 2 30 a (300x 200a)dx 八、(12分)从某种试验物中取出 24个样品，测量其发热量，算得该样本平均值 11958,样本标准差 s 316.设该试验物的发热量服从正态分布 N( , 2)，其中参数d 2未知.(1)求 的置信水平为0.95的 置信区间；(2)取显著性水平 a =0.05，问是否可以认为该试验物发热量的期望值为 12100? (3)问题(1)和(2) 的前提与结论之间有什么关系 ？ 解(1)已知数据 n=24, x =11958, s=316, a = 0.05,可得 t /2(n 1)=t o.o25(23)=2.O687.所求置信区间 (3) 假设检验中的显著性水平 a =0.05与置信区间估计的置信水平 0.95满足关系 七、(10分)设总体X 的概率密度为 f(x ；) (1)x ,0 x 1, 0, 其它. 其中B>1是未知参数,X i ,X 2,…,X n 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本 求：(1) 的矩估计量； (2) B 的极大似然估计量. 解总体X 的数学期望为 E(X) 1 1 xf (x)dx o ( 1)x dx 令E(X) X ,即—1 X,得参数B 的矩估计量为 2 2X 1 1 X 4.分 设X 1, x 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值 n X i i 1 ,则似然函数为 (1) ,0 X i 1, ,2.分 0, 其它. 当 0 n ln( 1) n In X j ,令 i 1 d In L n n In x =0,得 0 i 1 的极大似然估计值为 n 1 - ,而 In x i i 1 0的极大似然估计量为 1 — In X i i 1 为(x s _^t /2 ( n .n 1),x s _^t /2 ( n .n 1))=(11824.59,12091.41) 4.分 ⑵ 提出假设 H o ：尸￡=12100; H 1：戶宇. ................................................................... 2.分 对于a =1-0.95= 0.05,选取检验统计量t 拒绝域为|t|>t /2 (n 1)=t 0.025(23)=2.0687 ……2 分 代入数据 316 「24 2.20144 >2.0687.所以拒绝 原假设，不能认为该试验物发热量的期望值为 12100. ................................................................ 2.分 n=24, x =11958, s=316,得到 |t | |11958 12100|