高考数学总复习 213 分层抽样 新人教版

【优化总结】2013高考数学总复习 2-1-3 分层抽样 新人教版

1．简单随机抽样，系统抽样、分层抽样之间的共同点是( ) A ．都是从总体中逐个取得

B ．将总体分成几部分，按事先规定的要求在各部分抽取

C ．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同

D ．将总体分成几层，分层进行抽取 答案：C

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )

A ．简单随机抽样法

B ．抽签法

C ．随机数表法

D ．分层抽样法

解析：抽样时按男、女生所占的比例，各自抽取相应人数，这属于分层抽样． 答案：D

3．要从165个人中抽取15人进行身体健康检查．现采用分层抽样法进行抽取，若这165人中老年人有22人，则老年人中被抽取到参加健康检查的有( )

A ．5人

B ．2人

C ．3人

D ．1人

解析：从165个人中抽取15人，抽取比例为111，则老年人中应抽取22×1

11＝2(人)．

答案：B

4．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取．育才中学共有学生1 600名，抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是______人．

解析：设女生为x 人，则男生为1 600－x 人，由题知 2001 600×(1 600－x )＝200

1 600×x ＋10，解得x ＝760人． 答案：760

5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________.

解析：∵产品数量之比依次为2∶3∶5，∴每一件A种型号产品被抽到的可能性为

2

2＋3＋5

＝1

5

，又由于样本中A种型号产品有16件，∴样本的容量n＝16×5＝80.

答案：80

6．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中

抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．

解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：

(1)分层，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层；

(2)按照样本容量的比例确定每层抽取的人数300×3

15

＝60(人)；300×

2

15

＝40(人)；

300×5

15＝100(人)；300×

2

15

＝40(人)；300×

3

15

＝60(人)，因此各乡镇抽取人数分别为60人、

40人、100人、40人、60人．

(3)在各层用简单随机抽样法或系统抽样法抽取应抽取的人，将300人组到一起，即得到一个样本．

(时间：60分钟满分：60分)

知识点及角度

难易度及题号

基础中档稍难

分层抽样的概念及特点 2

分层抽样的应用5,63,7,810 三种抽样方法的综合应用149

谈；②某班期中考试有10人在85分以上，25人在60～84分，5人不及格，欲从中抽出8人参与改进教与学研讨；③某班级举行元旦晚会，要产生两名“幸运者”，则合适的抽样方法分别为( )

A ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样

B ．简单随机抽样，分层抽样，简单随机抽样

C ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样

D ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 答案：C

2．一个总体分为A 、B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知

B 层中每个个体被抽到的概率都为112

，则总体中的个体数为( )

A ．60

B ．120

C ．40

D ．30

解析：设总体中的个体数为x ，则10x ＝1

12，∴x ＝120，故选B.

答案：B

3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生( )

A ．30人，30人，30人

B ．30人，45人，15人

C ．20人，30人，10人

D ．30人，50人，10人

解析：方法一：甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，三校总人数为10 800，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，所以抽样比为9010 800＝1120，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生3 600×1

120＝30(人)，

5 400×1120＝45(人)，1 800×1

120

＝15(人)．

方法二：因为3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1，于是将90分成2∶3∶1的三部分．设三部分的个体数分别为2x,3x ，x ，由3x ＋2x ＋x ＝90，得x ＝15，故甲，乙，丙三校抽取的人数分别为30人，45人，15人．

答案：B

4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270，关于上述样本的下列结论中，正确的是( )

A ．②、③都不能为系统抽样

B ．②、④都不能为分层抽样

C ．①、④都可能为系统抽样

D ．①、③都可能为分层抽样

解析：如果按分层抽样时，在一年级抽取108×10270＝4(人)，在二、三年级各抽取81×

10

270＝3(人)，则在号码段1,2，…，108中抽取4个号码，在号码段109,110，…，189中抽取3个号码，在号码段190,191，…，270中抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．

答案：D

5．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

生活能否自理

男 女 能 178 278 不能

23

21

解析：由上表得(23－21)×15 000

500＝2×30＝60(人)．

答案：60

6．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他

们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是____________．

解析：总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，因此考虑用分层抽样，若按

36

163

抽样，无法得到整解，因此考虑先从老年人中剔除1人，将抽样比变为36162＝29，故中年人应抽取54×29＝12(人)，青年人应抽取81×2

9＝18(人)，先从老年

人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×2

9

＝6(人)，从而组成容量为36的样本．

答案：先从老年人中随机剔除1人，再用分层抽样

7．某学校在校学生2 000人，为了迎接“2010年广州亚运会”，学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

高一年级 高二年级 高三年级

跑步人数 a b c 登山人数

x

y

z

其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的4.，为了了解学生对本次活动

的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取______人．

解析：由题意，全校参与跑步的人数占总人数的34，高三年级参与跑步的总人数为3

4×2

000×310＝450，由分层抽样的概念，得高三年级参与跑步的学生中应抽取1

10

×450＝45(人)．

答案：45

8．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)

高校

相关人数

抽取人数

A x

1

B 36 y

C

54

3

(1)求x ，y ；

(2)若从高校B 相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．

解：(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：x 54＝13?x ＝18，

36

54

＝y

3

?y ＝2，

故x ＝18，y ＝2.

(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；

第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．

9．某文艺晚会由乐队18人，歌舞队12人，曲艺队6人组成，需要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法来抽取，都不用剔除个体；如果样本容量为(n ＋1)，则在采用系统抽样时，需要剔除一个个体，求样本容量n .

解：总体容量为6＋12＋18＝36(人)．

当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n

36，曲艺队抽取

的人数为

n 36×6＝n 6(人)，歌舞队抽取的人数为n 36×12＝n 3(人)，乐队抽取的人数为n 36×18＝

n

2

(人)．所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量为35人，系统抽样的间隔为35n ＋1.因为35

n ＋1

必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 应该是6.

10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的1

4，且该组中，青年人占50%.中年人占40%，老年人占10%.为了了解各

组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中

抽取容量为200的样本．试求：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a 、b 、c ，则有

x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc

4x

＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%.故a ＝100%－50%－10%

＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.

(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；

抽取的老年人数200×3

4

×10%＝15.