中考数学压轴题解题技巧超详细

2012年中考数学压轴题解题技巧解说

数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线2过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段向终点B运动，同时点Q从

点C出发，沿线段向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，

运动时间为t秒.过点P作⊥交于点E.

①过点E作⊥于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段最长?

②连接．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分

将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入2

8=164b

得

0=648b

解得14

∴抛物线的解析式为：12

2+4x (3)

分

（2）①在△和△中，∠

PE AP BC AB ,即PE AP =4

8

∴

121

2

．8． ∴点Ｅ的坐标为（412

，8）.

∴点G 的纵坐标为：-12

（412

）2+4(412

）18

2

+8. …………………5分 ∴

182+8-(8) 182. ∵-1

8

＜0，∴当4时，线段最长为2. …………………7分

②共有三个时

刻. …………………8分

t 1=

163， t 2=4013，t 3． …………………11分

压轴题的做题技巧如下：

1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；

相似三角形的性质。

3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征及数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

注意

1、动点题肯定是图形题，图形题是中考试重点，分值在100分以上（满分150.包括统计和概率）

2、大部分压轴题都是几何图形和代数函数图形相结合，在动点的运动中存在一些特殊情况下的边长、面积、边边关系、面积和边的关系等。特殊情况是指动点在变化过程中引起图形变化发生质的变化，如由三角形变成四边形，由四边形变成五边形，这时一定要注意分类讨论

3、知识的储备：熟练掌握所有相关图形的性质。a、三角形（等腰、直角三角形）b、平行四边形（矩形、菱形、正方形）c、圆 d、函数（一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数）

4、坐标系中的四大金刚：①两个一次函数平行，K值相等；②两个一次函数互相垂直，K值互为负倒数。③任意两点的中点坐标公式；④任意两点间距离公式。函数图形及x，y坐标轴的交点连线的夹角也常常用到，所以要小心;有

些特殊点会形成特殊角，这一点也要特别注意。

5、做题思路，有三种。1、把几何图形放到坐标系中看看数据的变化。2、把坐标系中的图形提出坐标系看看图形的变化。3、把图形最难理解的部分提炼出来重点分析（即去掉无用的图形线段）。

压轴题解题技巧题型分类解说

一、 对称翻折平移旋转

1．（南宁）如图12，把抛物线2y x =-（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线1l ，抛物线2l 及抛物线1l 关于y 轴对称.点A 、

O 、B 分别是抛物线1l 、2l 及x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点，线

段CD 交y 轴于点E .

（1）分别写出抛物线1l 及2l 的解析式；

（2）设P 是抛物线1l 上及D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P 点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.

（3）在抛物线1l 上是否存在点M ，使得ABM AOED S S ??=四边形，如果存在，求

出M 点的坐标，如果不存在，请说明理由.

A

C

D E B O

2l 1

l y x

y

x

A

O B P

M 图C 1

C 2 C 3

2（1）

y

x

A O

B P N

图C 1

C 4

Q E

F 2（2）

2．（福建宁德）如图，已知抛物线C1：()5

a

y的顶点为P，及x轴相交于

=x

+

22-

A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2及抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，及x轴相交于E、F两点（点E在点F 的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

二、动态：动点、动线

3．(辽宁锦州)如图，抛物线及x轴交于A x1＞x2，

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P是线段上的动点，过点P作

∥，交于点E，连接，当△

的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，

是否存在这样的点Q，使△成为等腰三

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的

点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（山东青岛）已知：如图①，在△中，∠C＝90°，＝4，＝3，点P由B出发沿方向向点A匀速运动，速度为1；点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2；连接．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，∥？

（2）设△的面积为y（2

cm），求y及t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段恰好把△的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接，并把△沿翻折，得到四边形′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

5．（吉林省）如图所示，菱形的边长为6厘米，∠B ＝60°．从初始时刻开始，

P

B

图

C

点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两

点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△及△重叠部分

．．．．的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△是等边三角形时x的值是秒；（3）求y及x之间的函数关系式．

6．(浙江嘉兴)如图，已知A、B是线段上的两点，4=

MN，1=

MA，1>

MB．以A

为中心顺时针旋转点M，以B

两点重合成

一点C，构成△，设x

AB=．

（1）求x的取值范围；

（2）若△为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△的最大面积？

（第24题）

C x

x

y y

A O

B

E

D A

C B C

D G

图1 图2

三、 圆

7．（青海） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 及Y 轴切于原点，及x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.

（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线及x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线，E 为切点，求此切线长；

（3）点F 是切线上的一个动点，当△及△相似时，求出的长 ．

8．(天水)如图1，在平面直角坐标系，二次函数y＝2＋＋c(a＞0)的图象顶点为D，及y轴交于点C，及x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，＝，∠＝1 ,3)．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x轴的直线及该抛物线交于点M、N，且以为直径的圆及x轴相

切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线下方的抛物线上的

一动点，当点P运动到什么位置时，△的面积最大？求此时点P的坐标和△的最大面积．

9．（湖南张家界）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好及x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

10．（潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且及两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++及y 轴交于点D ，及直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别及圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

四、比例比值取值范围

（1）求出图象及x 轴的交点的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4

5,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 及此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

图9 图1

12． (湖南长沙)如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x 轴和y 轴上，

82OA = ， 8，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段上沿方向以每秒2 的速度匀速运动，Q 在线段上沿方向以每秒1 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△的面积S ；

（2）求证：四边形的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△及△和△相似时，抛物线214

y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段上一

动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段的长取最大值时，求直线把四边形分成两部分的面积之比．

B

A P

x

C

Q O

y 第26题图

13．（成都）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++及x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），及y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且:2:3ABP BPC S S ??=，求点P 的坐标；

（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在

Q 及坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理

由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 及两坐轴同时相切？

五、探究型

14．（内江）如图，抛物线

()2

230y mx mx m m =-->及x 轴交于A B 、两点，及y 轴交于C 点.

（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △及ABC △的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，

请说明

理由.

A

B

C

E

D x

y

o

题图

26

1及y轴相交于C，及x轴相交15．（重庆潼南）如图, 已知抛物线c

+

=2

y+

bx

x

2

于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段上一动点，过点E作⊥x轴于点D，连结，当△的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线上是否存在一点P，使△为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.