称重传感器执行标准及性能试验程序与误差计算方法
称重传感器执行标准及性能试验程序与误差计算方法 中国运载火箭技术研究院第七○二研究所 刘九卿
【摘 要】本文在介绍OIML R60国际建议和称重传感器国家标准产生背景，R60国际建议2000版与前版的区别和改进，GB/T7551—2008《称重传感器》国家标准主要增补内容与特点的基础上，重点介绍了主要技术性能称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）、温度对最小静载荷输出的影响（C M）、蠕变误差（C C）、最小静载荷输出恢复值（C MDLOR）、称重传感器大气压力影响（C P）、和称重传感器湿度影响（C Hmin）的试验程序与计算方法。
【关键词】 称重传感器；国际建议；国家标准；计量规程；技术性能；试验程序；最大允许误差
一、OIMLR60国际建议和称重传感器国家标准产生背景
20世纪80年代初期，随着科学技术的进步和电子称重技术的快速发展，对负荷传感器提出许多新要求。传统的技术性能评定方法已不能满足电子衡器发展的需要，急需与电子衡器准确度评定方法相适应的负荷传感器计量特性评定方法和检定规程。OIML（国际法制计量组织）根据各成员国的意见，决定由其下属的质量测量指导秘书处（SP7）下设的负荷传感器报告秘书处（Sr8），负责起草与电子衡器误差评定方法相适应的计量规程。
由于Sr8报告秘书处由美国负责，自然就由美国负责全部起草工作，代号是PR3号报告，名称为《称重传感器计量规程》。这是世界上首次将用于质量测量和力值计量的负荷传感器分开，即分为称重传感器和测力传感器两种类型。质量测量用的称重传感器彻底脱离了以单项指标中最大误差来确定准确度的概念和方法，建立与电子衡器误差评定方法相对应的总误差带概念，即最大允许误差包括由非线性、滞后引起的误差和在规定的温度范围内由于温度变化对灵敏度影响所引起的误差，它对于递增和递减载荷均适用。此外在考核内容和指标、参比直线、试验载荷、蠕变试验等都有所不同。对电子衡器制造商和广大用户来说，把主要单项误差都包括进去对诸项误差综合考虑才有实际意义。
PR3号报告《称重传感器计量规程》定稿后，分别发给国际标准化组织、国际计量技术联合会、欧洲经济共同体和经互会等组织征求意见，修改后由OIML发到各成员国进行表决，并于1983年4月30日公布表决结果：21国同意，2国反对（前苏联和比利时），1国弃权（加拿大）。在1984年10月第七届国际法制计量大会上，经过讨论正式批准了《称重传感器计量规程》，并于1985年以OIML R60国际建议颁布发送到各成员国。我国于1985年4月25日正式成为OIML第50个成员国，当然应该参照R60国际建议制订本国称重传感器国家标准和国家计量检定规程。在各国多年等同或等效执行过程中提出一些意见，OIML质量和密度指导秘书处等机构又进行了几次修改，这就是1991年版R60国际建议《称重传感器计量规程》和1993年英文版R60国际建议附录A《称重传感器型式评定试验报告格式》。目前各成员国执行的是OIML质量和密度指导技术委员会（TC9）重新修订的
R60国际建议《称重传感器计量规程》2000年版，此版本在适应范围、分配系数、最大温度范围等方面的规定更合理可行。为使型式评价试验选取样件更科学合理，首次引入了称重传感器族和组的概念；针对带有电子组件的称重传感器，规定在型式评价中除进行普通称重传感器的各项试验外，还应进行与影响量和干扰量有关的7项附加试验。
20世纪80年代，我国衡器工业在“手动改自动，机械改电子”发展方针指引下，通过引进、消化、吸收国外称重传感器先进制造技术与工艺，从学习试制到自主设计与制造，我国称重传感器设计技术与制造工艺水平，产品的数量和质量都有很大提高。为使我国称重传感器技术和产品质量沿正确轨道健康发展，原机械工业部和航天工业部分别编写了《电阻应变式负荷传感器》部级标准。1985年经国家标准局批准，原机械工业部负责组织全国有关部门的专家，在《电阻应变式负荷传感器》部颁标准的基础上，经过讨论、修改和增补上升为国家标准。1988年5月16日由国家标准局以GB7551—87《电阻应变式称重传感器》国家标准发布全国，并于1989年1月1日实施。
我国加入国际法制计量组织后，OIML R60国际建议《称重传感器计量规程》第一版1985年发到我国。20世纪90年代初，为适应国际称重传感器技术与产品的发展潮流，尽快与国际电子衡器市场融合，参与国际竞争，经国家技术监督局批准，按照等效采用R60国际建议的原则，对GB7551—87《电阻应变式称重传感器》国家标准进行了大幅度的修订，由国家技术监督局于1997年6月3日以GB/T7551—1997《称重传感器》国家标准发布全国，并于1988年5月1日实施。
随着电子称重技术和称重传感器技术的发展，国际法制计量组织规定，各成员国所有称重传感器制造商申请OIML证书时，必须依据质量和密度技术委员会（TC9）修订的，经2000年国际法制计量大会讨论并批准的R60《称重传感器计量规程》国际建议2000版，国际法制计量组织中国秘书处已按此规定在国内开展这项工作。为尽快适应这一新情况，促进我国称重传感器技术的发展，经国家标准化管理委员会批准，按照等效采用R60《称重传感器计量规程》国际建议2000版的原则，由上海工业自动化仪表研究所负责，联合8个单位参加，对GB/T7551—1997《称重传感器》国家标准进行较全面的修订。由国家质量监督检验检疫总局和国家标准化管理委员会于2008年6月30日发布全国，要求2009年1月1日开始实施。
二、OIML R60国际建议2000版与1991年版的区别和改进
OIML质量和密度指导技术委员会（TC9）重新修订的R60国际建议《称重传感器计量规程》2000年版，是用以替代1991年版（含1993年英文版R60国际建议附录A《称重传感器型式评定试验报告格式》）的新版本。R60国际建议2000年版与1991年版的区别和主要改进如下：
1、适用范围
2000年版：适用于称重传感器的型式评价，如果与整个称重系统一起进行检定，则认为称重传感器的首次检定和随后检定是不适宜的。
1991年版：适用于称重传感器的型式评价，首次检定，随后检定或周期检定并规定在使用中检定时，最大允许误差为型式评价的两倍。
2、装有电子组件的称重传感器
2000年版：首次纳入计量规程，定义为：采用电子组件的组件的称重传感器，该组件本身具有确认的功能。并规定在型式评价试验中除进行普通称重传感器的各项试验外，还应进行预热时间、
电源电压变化、短时电源电压降低、电快速瞬变、静电放电、电磁场辐射和量程稳定性7项附加试验。
1991年版：无此规定。
3、称重传感器的族和组
2000年版：首次引入族和组的概念。根据称重传感器所用材料、结构形式、测量技术方案及技术规格（额定输出、输入阻抗、电源电压等），将提交型式评价试验的称重传感器划分为族。一个称重传感器族中可以包含一个或多个称重传感器组。每个组中的称重传感器应具有相同的计量特性（如准确度等级、最大检定分度数、工作温度范围等）。
1991年版：无此概念。
4、型式评价试验中试件的选取原则和方法
2000年版：应使同一个称重传感器族中被测试称重传感器的数量最少，并具有足够的代表性。如果一个族中有一个以上的称重传感器被提交试验，则只有一个应进行湿度试验。对装有电子组件的称重传感器也只有一个进行附加试验。
1991年版：没有明确规定。一般都选取一个称重传感器系列的首中尾三只进行试验。
5、最大允许误差的分配系数P LC
2000年版：引入了最大允许误差分配系数P LC的概念。在型式评价试验时，分配系数P LC由制造厂选择和指明，P LC范围在0.3～0.8之间。如果制造厂未选择就认为P LC=0.7，最大允许误差为P LC×0.5v、P LC×1v、P LC×1.5v。
1991年版：无分配系数，对应R76-1国际建议《非自动衡器计量规程》最大允许误差，规定称重传感器的最大允许误差为电子衡器实际检定分度值的0.7倍，即0.35v、0.7v、1.05v。
6、最小和最大试验载荷
2000年版：在力发生装置许可的情况下，最小试验载荷D min应尽量接近并不小于最小静负荷E min，最大试验载荷D max应不小于最大秤量E max的90%，并且不大于最大秤量E max。
1991年版：在力发生装置许可的情况下，最小试验载荷D min应尽量接近最小静负荷E min，而最大试验载荷D max没有明确规定。
7、加、卸载荷及读数稳定时间
2000年版：对于规定的加载、卸载时间无法执行的情况，明确规定了按下面的方式进行： （1）在进行最小静负荷输出恢复试验时，如果允许变差按比例的从卸载后最小静负荷输出初次读数与加载前读数允许差值的100%减少至50%，则时间可以从规定时间的100%增加到150%。
（2）在其它情况下，实际时间应记录在试验报告中。
上述试验时间应以绝对时间而不是相对时间记录在试验报告中。
1991年版：根据负荷改变量规定了读数时间间隔。并规定加、卸载时间应当近似的为规定时间的一半，剩下的时间则用于稳定，未对使用绝对或相对时间作出规定。
8、湿度符号和湿度试验
2000年版：规定四种湿度符号：NH、CH或无湿度符号及SH。分别表示：NH为不必对其进行湿度试验；CH或无湿度符号为应对其进行湿热循环试验，严酷度为温度40℃，相对湿度85%～96%，
12个湿热循环周期；SH为应对其进行湿热稳态试验。
1991年版：只规定三种湿度符号：NH、CH或无湿度符号。没有SH符号及相应的湿热稳态试验。
9、称重传感器在误差限内工作的温度范围
2000年版：不计温度对最小静负荷输出的影响，在-10℃～40℃范围内称重传感器应在规定的误差限内工作。
1991年版：不考虑温度对最小静负荷输出的影响，在下列温度范围内称重传感器能在规定的误差限内工作，即A级和B级：10℃～30℃；C级和D级：-10℃～40℃。
三、GB/T7551—2008《称重传感器》国家标准的主要增补内容与特点
GB/T7551—2008《称重传感器》国家标准（以下简称新版国家标准），是等效采用OIML R60国际建议《称重传感器计量规程》2000版，在GB/T7551—1997《称重传感器》国家标准（以下简称前版国家标准）基础上较大幅度修改、增补而成。
新版国家标准改写了前版的应用范围，明确规定了测量质量用称重传感器的术语和定义、基本参数和分类、技术要求、试验方法、检定规则以及标志、包装、运输、储存；与称重传感器配套使用并显示质量的仪表，其技术要求由其它相关标准做出规定。强调了标准只适用于测量静态质量的称重传感器，使执行者（称重传感器生产厂家）看起来一目了然。
新版国家标准将OIML R60国际建议中的测量单位、测量标准分别写入第4章和第8章；将附录A试验程序改编成第8章“试验方法”；将附录C、D的内容合并为B试验结果计算方法，并在第4、7、8章增加了有关基本参数内容、浪涌和射频传导抗扰度试验、相关试验的参比大气条件和其它环境条件等，使执行者对标准内容的理解更加深刻，对各项试验方法和程序更加清楚。
为促进我国数字称重传感器的发展，便于我国称重传感器制造商申请OIML证书，在新版国家标准中增加了“第6章对带电子组件的称重传感器的要求”和“8.2.7带电子组件的称重传感器的附加试验方法”。除通讯协议外对数字称重传感器的其它技术性和试验方法都做出明确规定，其中包括一般要求、耐用性、评判依据、功能要求、性能和稳定性试验、误差评定方法、附加试验程序等，使数字称重传感器的研究、设计、制造、应用有标准可寻。
尽管等效执行OIML R60国际建议的《称重传感器》国家标准，从1998年5月1日实施至今已有十多年时间，但仍有一些称重传感器生产企业尚不能完全从单项指标评定的传统思路中走出来，这对执行新版国家标准是较大的障碍，因此对新版国家标准必须加深理解，只有理解了才能消化、吸收。应从以下几方面理解新版国家标准才能彻底脱离1987年版的传统思路，进入新的质量评定概念和评定方法。
（1）质量评定概念
建立总误差带的质量评定概念，以分度数表示准确度分类，最大允许误差包括由非线性、滞后误差和温度对输出灵敏度的影响，未包括在上述误差限的其它误差将另行处理。型式评价试验的最大允许误差与分配系数P LC有关，分配系数P LC由制造厂选择和指明，P LC范围在0.3～0.8之间。如果制造厂未选择就认为P LC=0.7，最大允许误差为P LC×0.5v、P LC×1v、P LC×1.5v。
（2）准确度等级考核的主要质量指标
对于C级和D级称重传感器，准确度等级考核的主要质量指标共有7项：称重传感器误差（E L）、
重复性误差（E R）、温度对最小静载荷输出的影响（C M）、称重传感器蠕变误差（C C）、最小静载荷输出恢复值（C MDLOR）、称重传感器大气压力影响（C P）和称重传感器湿度影响（C Hmin）。其中称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）、温度对最小静载荷输出的影响（C M） ，需要在20℃→40℃→-10℃→20℃三个温度下进行四次试验才能求得，所以必须配备能很容易安装在力标准机内的移动式高低温试验箱。
（3）误差评定与误差包络线
所有偏差之和应处于总误差带之内，与OIML R76《非自动秤检定规程》阶梯形允许误差带相对应。误差包络线以一条直线为基础，此直线是以20℃时载荷试验中的两个输出确定，一个是最小试验载荷输出，另一个是递增加载时取得的量程的75%载荷时称重传感器的输出。此参比直线更接近最小二乘法，比较科学合理。
（4）试验载荷
试验载荷即测量范围限值。若载荷发生系统允许，最小试验载荷D min应尽量接近最小静负荷E min，但不能小于最小静负荷。最大试验载荷D max的90%，但不大于E max。可理解为最大测量范围从最小静负荷E min到最大秤量E max；D min≥E min，D max=90%～100%E max。
（5）蠕变与蠕变恢复
蠕变（C C）：以称重传感器最大称量的90%～100%作为恒定载荷施加于该称重传感器，其初次读数和其后30min里所得到的任何一个读数之差，应不超过所施载荷下最大允许误差绝对值的0.7倍。在20min时得到的读数和30min时得到的读数之间的差值，则应不超过该最大允许误差绝对值的0.15倍。
最小静载荷输出恢复值（C MDLOR）：恢复到最小载荷后的初次读数，与施加了时间为30min和载荷为该称重传感器最大称量的90%～100%之前，同一载荷下的读数之差应不超过该称重传感器检定分度值的一半（0.5v）。
（6）试验和计算程序
新版国家标准为了高效的进行试验，严格的规定了试验程序，要求在全温度范围内进行载荷试验并按试验报告格式记录和计算试验结果。
四、称重传感器主要技术性能试验程序
1、称重传感器国家标准和检定规程规定的样机试验条件
（1）环境条件
试验应在稳定的环境条件下完成，主要是环境温度的稳定性，要求在试验期间记录的最大温度差不超过被测称重传感器温度范围的1/5，并且不大于2℃。
（2）加载条件
为防止产生称重传感器非固有误差，应对加载条件予以特别注意，诸如表面粗糙度、平面度、腐蚀、划伤、不同心度等因素。载荷应沿着称重传感器的敏感轴方向加卸，并避免引起冲击。在力标准机许可的前提下，最小载荷要尽可能接近称重传感器的最小静负荷。
（3）温度条件
提供足够的时间使称重传感器温度达到稳定，对于大型称重传感器达到温度稳定尤为重要。加
载系统的设计应保证在称重传感器内部不产生明显的温度梯度，称重传感器和与它相连的连结件（电缆等）应处于同一试验温度，测量指示仪表应与室温一致。在确定结果时，应考虑温度对附加连接件的影响。
（4）参考标准器
应当对标准器进行周期检定。
（5）指示仪表
有些指示仪表本身备有方便的自校验装置，当具有此功能时，应经常使用该功能进行检查，以保证指示仪表处于试验所要求的准确度内，指示仪表也应作周期检定。
2、称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）试验程序
（1）称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）试验的工艺装备
1）力标准机
在进行称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）试验时，应备有大于被检测称重传感器额定量程20%载荷能力的力标准机，要求力标准机的准确度优于3×10-4，最小加载能力为力标准机额定量程的1%，叠加式力标准机的稳定度优于±0.003%。
不论何种原理、何种结构的力标准机，其主体立柱之间应有较大的距离，以备放入高低温试验箱，进行即可施加高温、低温，同时又可逐级施加载荷的各种试验测试和实施灵敏度温度补偿。
2）移动式高低温试验箱
为满足JJG 669－2003《称重传感器》国家计量检定规程中规定的称重传感器各项性能测试，需要在20℃→40℃→-10℃→20℃三个温度下进行四次试验的要求，应配备能很容易安装在力标准机内的移动式高低温试验箱。
高低温试验箱应有较大的有效空间，以便进行灵敏度温度补偿时，可多装入几只称重传感器提高补偿效率。高低温试验箱上、下孔与通过该孔的加载、承载柱的密封不应影响所加载荷的准确度和稳定性。高低温试验箱的主要技术性能指标为：
①温度范围 -20℃～90℃；
②湿度范围 40～95%R.H；
③温度波动度 ±0.5℃；
④湿度波动度 ±2%R.H；
⑤温度均匀度 ±1℃；
⑥湿度均匀度 ±5%R.H；
⑦内壁材料及尺寸 不锈钢 500×500×500mm
⑧控温仪表、制冷机性能，数字显示及设定功能等；
⑨具有超温、超压、压缩机过热、电源缺相等保护功能；
⑩箱体底部配有导轨或滚轮，以便推进、推出力标准机。
（2）称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）试验程序 在进行称重传感器样机试验时，每项误差的确定实际上都是“独立”的单个试验，为了提高试
验检测效率，可以采取在给定的温度下，对称重传感器递增载荷、递减载荷并进行蠕变和最小静载荷输出恢复试验，之后再过渡到下一个温度。
称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）的试验程序如下：
1）检查试验条件
重点是检查试验装置，环境条件，加载条件，温度条件。
2）装入称重传感器
将被检测称重传感器放入力标准机上，对中准确后加载到最小试验载荷D min，在20℃时保持载荷值稳定。
3）施加预载荷
对称重传感器施加预载荷到最大试验载荷D max三次，每次加载后恢复到最小试验载荷D min，等待5min。
4）检查指示仪表
当指示仪表具有方便的自检功能时，应经常使用该功能进行检查，以保证指示仪表处于要求的准确度内。
5）监视称重传感器输出
监视最小试验载荷输出，直到稳定。
6）记录示值
在最小试验载荷下，记录指示仪表示值。
7）试验载荷点
进程至少应有5个载荷点，其中必须有称重传感器最大允许误差相应台阶中与最高值接近的载荷点。在一个加载和卸载过程中，各载荷点加、卸载荷时间应相等。
8）施加递增、递减载荷
施加递增、递减载荷共进行三次，每次都按规定的时间间隔记录指示仪表示值。将递增载荷三次试验各级试验载荷的示值和时间填入JJG669－2003《称重传感器》国家计量检定规程中的表D.1中。
9）不同温度下重复程序
按40℃→-10℃→终止20℃顺序重复操作上述程序，并将各温度下三次递增载荷试验的各级示值和时间分别填入表D.1中。
10）测试数据处理与确定误差
利用初始20℃、40℃、-10℃和终止20℃温度下试验结果的平均值和国家计量检定规程的表D.1、D.2、D.3、D.4，根据各项误差计算公式计算确定称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）。
3、称重传感器蠕变误差（C C）试验程序
（1）称重传感器蠕变误差（C C）试验的工艺装备
由于蠕变试验加载规定1t～10t称重传感器的载荷值必须在30秒内施加完毕；10t～100t称重
传感器的载荷值必须在50秒内施加完毕，为此要求力标准机具有快速稳定加载的能力。例如静重式力标准机应具有快速加载机构，即将所要施加的全部砝码，预先吊挂在对准力标准机加载轴线的承力杠杆的一端，加载时只要松开杠杆的另一端，全部载荷可在30秒内施加在称重传感器上。目前只有极少数静重式力标准机有此项功能，大多数称重传感器的蠕变试验还只能在杠杆式或叠加式力标准机上进行，根本达不到规定的加载时间，因此只能将实际加载时间记录在试验报告中。
（2）称重传感器蠕变误差（C C）的试验程序
1）检查试验条件
与称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）的试验相同。
2）安装称重传感器
将称重传感器放入力标准机中，准确对中后加载到最小试验载荷D min，在20℃下保持载荷值稳定。
3）预载试验
对称重传感器施加预试验载荷到最大载荷D max三次，每次加载后均恢复到最小试验载荷D min，之后等待1小时。
4）监视称重传感器输出
监视最小试验载荷输出，直到稳定，读取指示仪表示值。
5）施加载荷
施加恒定的最大试验载荷D max。
6）记录示值
在所加最大试验载荷D max稳定后，记录指示仪表初始示值。而后在30min时间内的等时间间隔继续周期的作记录，并保证在20min时读取到指示仪表示值。将最大试验载荷、各读数时间及其对应的仪表示值填入国家计量检定规程中备表D.5中。
7）对不同温度重复程序
对于C级和D级的称重传感器，先在接近温度范围限的较高温度（如40℃），然后在较低温度（如-10℃），最后再回到20℃重复上述程序。也将各读数时间及其对应的仪表示值填入国家计量检定规程表D.5中。
8）确定蠕变误差
利用表D.5中的试验结果，根据蠕变误差计算程序计算30min蠕变误差C C和20～30min的蠕变误差，并与规定的允许误差相比较。
蠕变试验加载规定1t～10t称重传感器的载荷值必须在30秒内施加完毕，10t～100t称重传感器的载荷值必须在50秒内施加完毕，如果达不到规定的加载时间，将实际加载时间记录在试验报告中即可。
4、最小静载荷输出恢复值试验程序
根据最小静载荷输出恢复值定义，最小静载荷输出恢复值的试验程序如下：
（1）检查试验条件
与称重传感器误差（E L）、重复性误差（E R）和温度对最小静载荷输出的影响（C M）的试验条件
相同。
（2）装入称重传感器
将称重传感器装入力标准机中，准确对中后施加最小试验载荷D min，使其在20℃保持载荷稳定。
（3）施加预载荷
对称重传感器施加预试验载荷到最大试验载荷D max三次，每次加载后均恢复到最小试验载荷D min,等待1小时。
（4）检查指示仪表、记录示值
检查指示仪表，监视最小试验载荷D min输出，直至稳定，记录最小试验载荷D min下的示值，并将其填入表D.5中。
（5）施加载荷
施加恒定的最大试验载荷D max。在载荷完全加上和载荷保持30min的时间里，按设定的时间间隔记录初始示值。
（6）返回到最小试验载荷D min。
记录卸载的初始时间和恢复到最小试验载荷D min的时间，并将最小试验载荷D min下的示值填入表D.5中。
（7）在不同温度下重复程序
对于C级和D级称重传感器，先在高温40℃，然后在低温-10℃，最后再回到20℃重复上述程序，同样将最小试验载荷D min下的示值填入表D.5中。
（8）确定最小静载荷输出恢复值
从得到的数据，确定最小静载荷输出恢复值，并与规定的允许变化相比较。
5、称重传感器大气压力影响（C P）试验程序
（1）检查试验条件
主要是对试验装置、环境条件、温度条件、加载条件等进行检查。
（2）安装称重传感器
在室温下，将未受载荷作用的称重传感器放入大气压力下的压力容器中，并与指示仪表相连接。
（3）检查指示仪表
检查指示仪表是否处于试验要求的准确度范围内。
（4）监视输出
监视称重传感器输出值，直至稳定，记录指示仪表示值，将压力（KPa）、仪表示值和读数时间填入表D.6中。
（5）改变大气压力
改变压力容器的压力，使气压比大气压力高或低大约1KPa，待压力稳定后记录指示仪表示值，同样将压力（KPa）、仪表示值和读数时间填入表D.6中。
（6）确定大气压力影响误差
从表D.6中的试验示值，计算每个压力示值之差，除以转换系数即得到以v为单位的大气压力影响误差，并与规定的极限值比较。
6、称重传感器湿度影响试验程序
称重传感器湿度影响的标记有四种，即NH、CH、无湿度符号、SH。
当称重传感器标有NH符号时，不必对其进行湿度试验。
当称重传感器标有CH符号或无湿度符号时，应对其进行湿热循环试验，其严酷度为40℃和12个湿热循环周期。
当称重传感器标有SH符号时，应对其进行湿热稳态试验。
（1）确定湿度对标记有CH或无湿度标记称重传感器的影响试验程序
1）安装称重传感器
检查完试验条件后，将称重传感器置于力标准机中，加载到最小试验载荷D min，在20℃保持载荷值稳定。
2）施加预载荷
对称重传感器施加预载荷到最大试验载荷D max三次，每次加载后均返回到最小试验载荷D mim。
3）监视输出值
检查指示仪表，监视最小试验载荷输出，直至稳定，记录仪表示值。
4）施加载荷
对称重传感器施加最大试验载荷D max，按规定时间间隔记录仪表示值。
5）卸载
卸下试验载荷到最小试验载荷D min，按规定的时间间隔记录仪表示值，将本程序和上两个程序的测量结果填入表D.7中。
6）湿热循环试验
根据GB/T2423.4－1993交变湿热试验方法，GB/T2424.2－1993湿热试验导则进行湿热循环试验。
试验程序：由12个温度循环组成，每一个温度循环持续24小时。根据规定的循环相对湿度在80%和96%之间温度从25℃到40℃之间变化。
试验严酷度：40℃，12个循环。
初始测量：根据上述试验程序进行。
调整称重传感器状态：将称重传感器放入湿热试验箱内，输出线留在箱外，给称重传感器断电，当降低温度时，应用GB/T2423.4－1993国家标准的相关部分。
恢复状况和最后测量：从湿热试验箱中取出称重传感器，仔细擦掉表面湿气，让称重传感器在标准大气压下放置1～2小时，以便得到充分的温度稳定。重复上述试验程序，确保所施加的最小试验载荷和最大试验载荷与先前试验时相同，将测量结果填入表D.7中。
7）确定湿度引起的变化
①根据表D.7中的试验示值，计算出湿热试验前、后最小试验载荷下的初始示值间的差，除以转换系数f，即为求得的以v为单位表示的湿度引起的变化CH min。
②根据测量数据，计算出湿热试验前、后最小和最大试验载荷下的平均示值，对每次试验，均从最大试验载荷的平均示值中减去最小试验载荷下的平均示值，然后，计算出湿热试验前、后所得
结果的差，把此差值除以转换系数f即可求得以v为单位表示的湿度引起的变化CH max。
（2）确定湿度对标记有SH符号的称重传感器的影响试验程序
1）检查指示仪表
检查指示仪表是否在检定周期内，如具有自检功能时，应启动该功能进行检查，以保证仪表处于完成试验要求的准确度内。
2）安装称重传感器
检查完试验条件后，将称重传感器置于力标准机中，加载到最小试验载荷D min，在20℃保持载荷值稳定。
3）施加预载荷
对称重传感器施加预载荷到最大试验载荷D max三次，每次加载后均返回到最小试验载荷D mim。
4）监视输出示值
监视最小试验载荷输出，直至稳定，记录仪表示值。
5）试验载荷点
在加载和卸载过程中所有的试验载荷点，应设置尽量相等的时间间隔，并尽可能按检定规程表6中规定的时间间隔读数。
6）施加载荷
施加递增载荷，直到最大试验载荷D max，至少应有5个递增载荷点，其中应包括与最大允许误差相应台阶接近的最高载荷值。
7）递减载荷
在与施加载荷时相同的载荷点，将载荷递减到最小试验载荷D min。
8）进行湿热稳态试验
根据GB/T2423.3－1993恒定湿热试验方法进行湿热稳态试验。
试验程序：
按上述试验程序在下列三种条件下进行试验：
①在参考温度（20℃或当20℃不在规定温度范围内，取温度范围的中间值）和50%的相对湿度条件下进行试验。
②而后在称重传感器温度范围（-10℃～+40℃）的较高温度和85%的相对湿度条件下，保持温度、湿度稳定两天后进行试验。
③最后在参考温度和50%的相对湿度条件下进行试验。
湿热稳态调节期间称重传感器的状态：将称重传感器放入湿热试验箱中，输出连接件留在箱外，给称重传感器通电，按GB/T2423.3－1993、GB/T2424.2－1993的规定进行。尽可能按检定规程表6中规定的时间间隔记录仪表的示值。
9）确定湿度影响
从得到的数据，可以确定湿度引起的变化量，并与规定的极限相比较。
五、称重传感器各项误差的计算方法
1、称重传感器误差（E L）
（1）称重传感器的最大允许误差（mpe）
每个准确度级别的最大允许误差，是在把最小静载荷E min 时的输出调整为零的条件下，
与称重传感器规定的最大检定分度数（C级500～10000，D级100～1000）及实际检定分度值（v）有关。称重传感器的最大允许误差（mpe）如表1所示。
表1 称重传感器的最大允许误差（mpe） 试验载荷 m 最大允许
误差（mpe）
A 级
B 级
C 级
D 级 P LC ×0.5v
0≤m≤50000v 0≤m≤5000v 0≤m≤500v 0≤m≤50v P LC ×1.0v
50000v＜m≤200000v 5000v＜m≤20000v 500v＜m≤2000v 50v＜m≤200v P LC ×1.5v 200000v＜m 20000v＜m≤100000v 2000v＜m≤10000v 200v＜m≤1000v 表1中P LC 为分配系数，应由制造者选择，其值在0.3～0.8范围内，该P LC 值应在证书上标明，如果不标明则认为P LC 为0.7。m为试验载荷，其值为施加于称重传感器上的实际载荷D与称重传感器测量范围的最小载荷D min 之差。
上述误差限用阶梯形误差包络线表示，该误差包络线是以20℃时首次递增加载荷试验中，通过最小载荷输出和称重传感器测量范围75%的载荷输出的直线作为基准线。称重传感器在测量范围内，无论是递增载荷还是递减载荷，由非线性、滞后和灵敏度温度影响所引起的误差均不应超出上述误差带。
试验应在20℃→40℃→-10℃→20℃全温度范围进行，根据各温度下表D.1中的三次加载试验示值，计算出各载荷点三次试验示值的平均值填写在表D.1的最后一栏中。再将各温度下各载荷点的平均示值填写在表D.2中，以备计算称重传感器误差（E L ）。
（2）称重传感器实际检定分度值v
称重传感器实际检定分度值按下式计算
v max
min max N D D v ?＝ （1） 式中：D max －称重传感器测量范围的最大载荷（kg）；
D min －称重传感器测量范围的最小载荷（kg）；
N max －称重传感器测量范围能被分成的最大分度数。
（3）称重传感器误差（E L ）的计算
1）计算转换系数
根据初次20℃温度下的试验数据，按下式计算出每个v 所含的指示单位数即转换系数f（计算到五位有效数字），并将其记录在表D.2中。
max
min 75.075N K K f ％＝? （2） 式中：K 0.75－在对应于75%N max 的试验载荷下的进程平均示值；
K min －在D min 载荷下的进程平均示值。
如果在所施加的载荷级别中，没有对应于被检测称重传感器75%N max 的试验载荷时，则该载荷下的示值（K 0.75）应在与该载荷相邻的上、下载荷级的示值间利用内插法算出。
2）计算参比示值
按下式计算各级试验载荷的参比示值R i 并将其填写在表D.2中。
f v
D D R i i ??min ＝
（3） 式中：i－载荷级数； R i —第i级载荷下的参考示值；
D i －第i级实际载荷值。
3）计算称重传感器误差（E L ）
按下式分别计算各温度下，以v表示的称重传感器误差E Li 并将其填写在表D.2中。
f
R K K E i i Li ??min ＝ （4） 式中：E li －第i级载荷下的称重传感器误差；
K i －第i级载荷下的示值平均值。
按式（4）计算所得各温度（20℃→40℃→-10℃→20℃）下、各级载荷的误差均不应超过表1中规定的称重传感器最大允许误差。
2、重复性误差（E R ）
C级和D级称重传感器施加3次同一载荷所得测量结果之间的最大差值均应不大于该载荷的最大允许误差的绝对值。
计算出初始20℃、40℃、-10℃和终止20℃温度下，表D.1中的每一载荷试验示值间的最大差值K imax -K imin 。其重复性误差E R 按下式计算：
f
K K E i i Ri min max ?＝ （5） 式中：E Ri －第i级载荷下的重复性误差；
K imax －第i级载荷下三次试验所得示值的最大值；
K imin －第i级载荷下三次试验所得示值的最小值。
将按式（5）计算的各温度下、各载荷点的以v 表示的重复性误差值填入表D.3中，其误差值不应超过该级载荷下称重传感器最大允许误差的绝对值。
3、温度对最小静载荷输出影响（C M ）
在规定的温度范围（C级和D级为-10℃～+40℃）内，当环境温度变化5℃时，称重传感器最小静载荷输出的变化总量，应不大于该称重传感器最小检定分度值（v min ）的0.7倍。每两个温度间，温度对最小静载荷输出影响C M 按下式计算
f
K K C t t M 1min 2min ?＝ （6） 式中：K mint2－第2个温度时，在D min 载荷下的进程平均示值；
K mint1－第1个温度时，在D min 载荷下的进程平均示值。
将初始20℃、40℃、-10℃和终止20℃时三次加载试验中，最小试验载荷下试验示值的平均值填入表D.4中。
按式（6）分别计算出t 2=40℃、t 1=20℃，t 2=20℃、t 1=-10℃和t 2=-10℃、t 1=40℃时以v表示的温度对最小静载荷输出影响C M ，并将其填写在表D.4中。
以v min /5℃为单位的每两个温度间，温度对最小静载荷输出影响为
min
121min 2min 55/v v t t f K K C t t M ×??）（）（℃＝
或 min
12055/v v t t C C C M M ××?= （） （7） 0min 5/C v 利用式（6）的计算结果，按式7分别计算出t 2=40℃、t 1=20℃，t 2=20℃、t 1=-10℃和t 2=-10℃、t 1=40℃时以v min /5℃为单位的温度对最小静载荷输出影响，也将其填写在表D.4中。
以上两个计算结果，均应不大于该称重传感器最小检定分度值（v min ）的0.7倍。
4、蠕变（C C ）
以称重传感器最大称量的90%～100%作为恒定载荷施加于该称重传感器，其初次读数和其后30min 里所得到的任何一个读数之差，应不超过所施载荷下最大允许误差绝对值的0.7倍。在20min 时得到的读数和30min 时得到的读数之间的差值，则应不超过该最大允许误差绝对值的0.15倍。
将恒定最大试验载荷D max 施加于称重传感器后，记录初始载荷时间，之后按一定时间间隔（例如5、10、30秒、1、2、5、10、15、20、30分钟）读取试验示值，并连同读数时间一起填入表D.5中。
30min内以v表示的蠕变误差C C 为
f
K K C C 0max ?＝ （8） 式中：K max －30min内各试验示值中的最大值；
K O －载荷稳定后的初次示值。
C C 不应超过所施载荷下最大允许误差绝对值的0.7倍。
20～30min 以v 表示的蠕变误差为
f
K K C C 20303020?＝）
－（ （9） 式中：K 30－30min时的试验示值；
K 20－20min时的试验示值。 C C（20～30）不应超过该最大允许误差绝对值的0.15倍。
5、最小静载荷输出恢复值（C MDLOR ）
（1）最小静载荷与最小静载荷输出恢复值的定义
最小静载荷（E min ）：可以施加于称重传感器而不会超出最大允许误差的最小质量值。
最小静载荷输出恢复值：载荷施加前后测得的最小静载荷下称重传感器输出之间的差值。
（2）最小静载荷输出恢复值（C MDLOR ）的计算方法
恢复到最小载荷后的初次读数，与施加了时间为30min和载荷为该称重传感器最大称量的90%～100%之前，同一载荷下的读数之差应不超过该称重传感器检定分度值的一半（0.5v）。最小静载荷输出恢复值（C MDLOR ）按下式计算
f
K K C MDLOR 12?＝ （10） 式中：K 1－蠕变试验前最小载荷下的试验示值；
K 2－蠕变试验后最小载荷下的试验示值。
C MDLOR 不应大于0.5v。
6、称重传感器大气压力影响（C P ）
当大气压力在95KPa～105KPa的范围内变化1KPa时，称重传感器输出的变化总量应不大于该称重传感器的最小检定分度值（v min ）。如果有设计的充分理由，说明称重传感器的性能不受大气压力变化的影响，则可不进行大气压力影响试验。
根据记录在表D.6中的试验示值，计算每个压力示值之差，除以转换系数f即为以v为单位的大气压力影响C P ，其计算公式为
f
K K C P P P 12?=
（11） 式中：K p2—压力P 2下示值；
K p1—压力P 1下示值；
f—转换系数。
7、称重传感器湿度影响 （1）湿度对标记有CH 或无湿度标记的称重传感器的影响
根据表D.7中记录的试验数据，计算出湿热试验前、后最小试验载荷下的初始示值，按下式计算以v 为单位表示的变化
f
K K C H 1min 2min min ?＝ （12） 式中：K min1－湿度试验前的最小试验载荷示值；
K min2－湿度试验后的最小试验载荷示值；
f－转换系数，每检定分度值的示值单位数。
C Hmin 必须不超过0.4n。
根据测量数据，计算出湿热试验前、后最小和最大试验载荷下的平均示值，按下式计算以v 为单位表示的变化
()()
f K K K K C H 1min 1max 2min 2max max ???＝ （13）
式中：K max1－湿度试验前最大试验载荷下的示值；
K min1－湿度试验前最小试验载荷下的示值；
K max2－湿度试验后最大试验载荷下的示值；
K min1－湿度试验后最小试验载荷下的示值；
f－转换系数，每检定分度值的示值单位数。
C Hmax 必须不超过1v。
（2）湿度对标记有SH 的称重传感器的影响
用与称重传感器误差试验时相同的格式（表D.1）填写初始20℃、相对湿度50%RH，高温40℃、相对湿度85%RH 和终止20℃、相对湿度50%RH 条件的载荷试验示值，并计算出各级载荷下的平均值填入表D.2中。按与称重传感器误差计算相类似的方法，计算出湿度对标记有SH 的称重传感器的影响，并将计算结果填入表D.8中。
参考文献
1．OIML R60国际建议《称重传感器计量规程》1991年版和1993年英文版附录A《称重传感器型式评定试验报告格式》。
2．OIML R60国际建议《称重传感器计量规程》2000年版。
3．GB/T7551—1997《称重传感器》国家标准,国家质量监督检验检疫总局和国家标准化管理委员会2008年6月30日发布，2009年1月1日实施。
4．JJG669－2003《称重传感器》国家计量检定规程，国家质量监督检验检疫总局2003年5月12日发布，2003年11月12日实施。
（作者通讯地址：北京市丰台区桃源里小区11号楼2单元6号，邮政编码：100076）
数值计算实验课题目
数值实验课试题 本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求 人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编
3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组， 精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称
数值分析实验报告1
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
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《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
高性能计算作业
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1．请简单描述OpenCL线程层次结构和AMD GPU存储器层次结构的对应关系。 答: AMD GPU存储器层次结构和OpenCL线程层次结构的对应关系： LDS对应local memeory，主要用来在一个work group内的work times之间共享数据。steam core访问LDS的速度要比Global memory快一个数量级。 private memory对应每个pe的寄存器。 constant memory主要是利用了L1 cache。 OpenCL中的线程结构是可缩放的，Kernel的每个运行实例称作WorkItem(也就是线程），WorkItem组织在一起称作WorkGroup，OpenCL中，每个Workgroup之间都是相互独立的。 通过一个global id(在索引空间，它是唯一的）或者一个workgroup id和一个work group内的local id，我就能标定一个workitem。 2．天河1A参与TOP500排名的HPL Linpack实测速度是多少，效率是多少？ 答：实测速度2.57PetaFlops，效率是55% 3．请简述OpenMP的优、缺点有哪些？ 答：OpenMP是针对单主机上多核/多CPU并行计算而设计的工具，换句话说，OpenMP更适合单台计算机共享内存结构上的并行计算。由于使用线程间共享内存的方式协调并行计算，它在多核/多CPU结构上的效率很高、内存开销小、编程语句简洁直观，因此编程容易、编译器实现也容易（现在最新版的C、C++、Fortran编译器基本上都内置OpenMP支持）。不过OpenMP最大的缺点是只能在单台主机上工作，不能用于多台主机间的并行计算。 4. 将下列代码改写为OpenMP程序，注意保持相同的计算结果。 int main() { int A[6], i; for(i = 0; i < 6; i++) A[i] = i; #pragma omp parallel #pragma omp for for(i=0;i<5; i++) A[i] = A[i+1]; printf("A= "); for(i=0; i < 6; i++) printf("%d ",A[i]); printf("\n"); return 0; } 答： #include
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曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
太原理工大学数值计算方法实验报告
本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日
y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"
心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。
定位误差的计算方法.
定位误差的计算方法： （1）合成法 为基准不重合误差和基准位移误差之和； （2）极限位置法 工序基准相对于刀具（机床）的两个极限位置间的距离就是定位误差； （3）微分法 先用几何方法找出工序基准到定位元件上某一固定点的距离，然后对其全微分，用微小增量代替微分，将尺寸误差视为微小增量代入，就可以得到某一加工尺寸的定位误差。 注：基准不重合误差和基准位移误差它们在工序尺寸方向上的投影之和即为定位误差。 例如：用V 型块定位铣键槽，键槽尺寸标注是轴的中心到键槽底面的尺寸H 。T D 为工件定位外圆的公差；α为V 型块夹角。 1. 工序基准为圆柱体的中心线。 表示一批工件依次放到V 型块上定位时所处的两个极端位置情形，当工件外圆直径尺寸为极大和极小时，其工件外圆中心线分别出于点 O '和点O ''。 因此工序基准的最大位置变动量O O '''，便是对加工尺寸H 1所产生的定位误差： 故得：O E O E H H O O 11DH 1 ''-'='-''='''=ε O A E Rt 1''?中： max 1 D 2 1A O ='' 2 sin A O O E 1α''= ' O A E Rt 1''''?中：min 1 D 2 1 A O ='''' 2 sin A O O E 1α''''= '' 2 sin 2T 2sin 2T 2sin A O A O O E O E D D 11DH 1 α=α=α''''-''=''-'=ε
2. 工序基准为圆柱体的下母线： 工件加工表面以下母线C 为其工序基准时，工序基准的极限位置变动量C C '''就是加工尺寸H2所产生的定位误差。 C S C S C O O O H H 22DH 2 '-''=''-'''='-''=ε C O C O O O ) C O O S ()C O O S (' '-''''+'''=''+'-'''+'= 而 2 sin 2T O O D α= ''' min D 2 1C O ='''' max D 2 1 C O ='' 所以：C O C O O O 2 DH ''-''''+'''=ε ) 12 sin 1(2T 2T 2sin 2T 2D D 2 sin 2T )D (21 )D (212sin 2T D D D max min D max min D DH 2 -α=-α=-+ α=-+α=ε
AVL-Cruise整车性能计算分析流程与规范要点
AVL-Cruise计算分析整车性能的流程与规范 1 模型的构建要求 1.1 整车动力性、经济性计算分析参数的获取 收集和整理关于该车的整车配置组件参数数据。主要包括发动机动力性、经济性参数；变速箱档位速比参数；后桥主减速比参数；轮胎参数；整车参数等。具体参数项目见附录1。 1.2 各配置组件建模 1.2.1 启动软件 在桌面或程序中双击AVL-Cruise快捷图标，进入到AVL-Cruise用户界面， 点击下图所示工具图标，进入模型创建窗口。 进入模型创建窗口 1
1.2.2 建立整车参数模型 进入模型创建窗口后，将鼠标选中Vehicle Model，鼠标左键点击整车图标，按住左键将图标拖曳到建模区，如下图所示： 双击整车图标后打开整车参数输入界面，根据参数输入要求依次填写数据： Author：此处填写计算者,不能用中文，可以用汉语拼音和英文，该软件所有填写参数处均不能出现中文。
3 Comment ：此处填写分析的车型号。 Notice1、Notice2、Notice3：此处填写分析者认为需要注意的事项，比如特殊发动机型号等，没有可 以不填。 1.2.2.1 整车参数数据填写规则 进入模型创建窗口后，将鼠标选中Engine Model ，鼠标左键点击发动机图标，按住左键将图标拖曳到建模区，如下图所示： 作者名称、注解说明，可以不填 注解说明，可以不填 油箱容积 内外温差：0 试验台架支点高度：100 内外压差：0 牵引点到前轴距离 轴距 空载、半载、满载下整车重心到前轴中心距离、重心高度、鞍点高度、前轮充气压力、后轮充气压力 整备质量 整车总重 迎风面积 风阻系数 前轮举升系数 后轮举升系数
数值计算实验报告
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：
数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)
1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include
土方量计算方法及误差分析讲解
学校代码: 学号:毕业（设计）论文土方量计算方法及误差分析 姓名: 专业:工程测量技术 班级: 指导教师: 二○一四年六月二十日
土方量计算方法及误差分析 姓名: 指导老师: 摘要 土方量计算是工程施工和设计中一个经常而重要的工作，目前在各种工程建设中，土方量算精度是大家在土方量算中最关心的问题,本文是基于对工程土方量计算中常用的几种方法：方格网法、断面法、等高线法及基于数字地面模型（DEM）法的基本原理比较分析，探讨它们的适用范围及精度分析。 关键词：方格网法；断面法；等高线法； DEM
目录 第一章绪论 (1) 第二章土方量计算的基本方法 (3) 2.1 方格网法 (3) 2.2 等高线法 (5) 2.3 断面法 (7) 2.4 DTM法 (7) 第三章误差分析 (9) 3.1 方格法分析 (9) 3.2 断面法分析 (13) 3.3 等高线法分析 (18) 3.4 DTM 分析 (19) 第四章案例分析及总结 (23) 4.1 案例分析 (23) 4.2 案例总结 (25) 结束语 (26) 致谢 (27) 参考文献 (28)
第一章绪论 随着我国经济的飞速发展，国家根据需要加大对工程建设的投入，无论是公路还是铁路，城市规划中，土方工程是主要项目，土方量计算是工程设计与施工中经常遇到的问题，需要精确计算土方量，土方计算是这些工程的一个重要组成部分，也是最关键的一部分，土方量直接关系到工程造价，同时土方量的计算方法的选取对施工机械，人力的配置起直接影响作用，因此对于土方计算符合实际。在国家经济建设快速发展的今天，不断完善国家基础建设和改善人民水平一样的至关重要，基础建设离不开工程施工，土方量的计算是水土建筑工程施工的一个组成部分，工程施工前得设计阶段必须对土方量进行预算，直接关系到工程的费用概算和方案选优，现实中的一些工程项目中，因土方量计算的精确性而产生的纠纷也是常遇到的，如何利用现场测出的地形数据或原有的数字地形数据快速而准确计算出土方成了人们日益关心的问题。在 当今社会发展前提下，越来越多未开垦的地区被国家投入大量的建筑施工计划。对于中国西部一直贫穷落后的状况，国家投入大量的金钱进行改善。西部地区“十大工程”，青藏铁路的开工建设；从西气东输，到西电东送工程的稳步实施；从西部地区大规模的机场建设，到铁路、公路建设的全面启动；从大规模的城市基础设施建设，到大面积的退耕还林还草试点。西部开发—这一跨世纪的伟大工程，正在广大西部地区扎扎实实地推进，土方工程是这些项目中的主体部分，每个工程的实施都牵涉到工程费用的概算，对于国家来说，合理安排好各项工程的施工费用是关键，国家每年投入西部开发的费用不计其数，但对于一个发展中的国家来说，经济是发展中的重中之重，对于一个经济赤字的国家来说，发展无从谈起，为了大型施工项目的正常实工，其工程预算是必不可少，这无论对于国家还是个人都同样重要。 研究现状： 自九十年代以来，随着基础建设需求的加大，土方计算越来越受人们的重视，传统的土方计算方法越来越不能满足人们的要求，而伴随着计算机编程技术的飞速发展，通过计算机中的图像处理技术与土方理论的结合已成为现今提高土方量计算精度和效率的新的一个有效途径，与此同时国内的研究学者在提高精度，改进公式方面进行大量探讨。对于传
数值分析实验报告1
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
数值计算方法实验5
实验报告 学院（系）名称： 主程序部分列选主元部分
实验结果： 一．列主元消去法 输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法 输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果） 一．列主元高斯消去法 #include 高性能计算与云计算练习题 1. 解释以下基本概念 ●HPC, HPCC, Distributed computing, Cloud computing ●MIMD, SIMD, SISD HPC:High Performance Computing 高性能计算，即并行计算。在并行计算机或分布式计算机等高性能计算系统上所做的超级计算。 HPCC：High Performance Computing and Communication 高性能计算与通信。指分布式高性能计算、高速网络和Internet的使用。 Distributed computing：分布式计算。在局域网环境下进行的计算。比起性能来说，它更注重附加功能。一个计算任务由多台计算机共同完成，由传统的人和软件之间的交互变成软件和软件之间的数据交互。 Cloud computing：云计算（Cloud Computing）是一种新兴的商业计算模型。它将计算任务分布在大量计算机构成的资源池上，使各种应用系统能够根据需要获取计算力、存储空间和各种软件服务。 MIMD：多指令多数据流。每台处理机执行自己的指令，操作数也是各取各的。 SIMD：单指令多数据流。所有“活动的”处理器在同一时刻执行同一条指令对多个数据流进行操作。 SISD：单指令单数据流。传统的串行处理机。CPU执行单一的指令流对单一的数据流进行操作。 2. 试比较PVP、SMP、MPP、DSM和Cluster并行机结构的不同点，以典型系统举例说明。 3. 列出常用静态和动态网络的主要参数（节点度、直径、对剖带宽和链路数）以及复杂度、网络性能、扩展性和容错性等。常用的标准互联网络有哪些？ 答：静态网络（Static Networks）是指处理单元间有着固定连接的一类网络，在程序执行期间，这种点到点的链接保持不变；动态网络（Dynamic Networks）是用交换开关构成的，可按应用程序的要求动态地改变连接组态。 典型的静态网络有一维线性阵列、二维网孔、树连接、超立方网络、立方环、洗牌交换 网、蝶形网络等；典型的动态网络包括总线、交叉开关和多级互连网络等。 下面我们比较在可扩展计算机平台或计算机机群系统中为了实现系统动态互连，系统总 线、多级网络和交叉开关的硬件需求和潜在的性能。 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2; 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 整车性能计算软件 该软件提供汽车五大性能：动力性、燃油经济性、制动性、操纵稳定性、平顺性、通过性、安全性、舒适性、环保性，可靠性的设计计算和报表输出功能。适合于各种车型的设计计算。 1.汽车动力性计算 动力性是汽车最基本、最重要的性能之一，汽车首先是一种高效率的运输工具，动力性决定了运输效率的高低。 为全面反映汽车动力性能，本软件中汽车的动力性计算包括以下评价指标： （1）最高车速； （2）最大动力因数； （3）最大爬坡度； （4）0-100km/h加速时间； （5）原地起步加速通过400m时间； （6）直接档30km/h加速到100km/h时间； （7）直接档30km/h加速行驶400m时间。 输出以下图表： （1）驱动力-阻力平衡图； （2）动力因数图； （3）功率平衡图； （4）加速度图； （5）爬坡度图； （6）原地起步换档加速曲线； （7）直接档加速曲线。 并可计算空载和满载两种不同工况。 2. 汽车燃油经济性计算 汽车在一定的行驶条件下，以消耗最少的燃油完成单位运输工作的能力称为其次的燃油经济性。它是评价汽车系统性能的主要参数之一。 结合汽车的实际使用工况，本软件系统选用以下指标来评价燃油经济性： （1）等速百公里油耗； （2）城市客车四工况循环油耗； （3）客车六工况循环油耗。可计算空载和满载两种不同工况。3. 汽车制动性计算 汽车行驶时能在短距离内停车且维持行驶方向稳定性和在下长坡时能维持一定车速的能力称之为汽车的制动性。汽车的制动性能是非常重要的，它是汽车安全行驶的重要保障。 本系统选用以下指标来综合评价汽车的制动性： （1）同步附着系数； （2）制动距离； （3）理想的前后制动力分配曲线； （4）附着效率曲线； 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以 实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = 实验五 解线性方程组的直接方法 实验5.1 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。 实验要求： （1）取矩阵?? ? ?? ?? ?????????=????????????????=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取n=10计算矩阵的 条件数。让程序自动选取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。 思考题一：（Vadermonde 矩阵）设 ?? ??????????????????????=? ? ? ?????????????=∑∑∑∑====n i i n n i i n i i n i i n n n n n n n x x x x b x x x x x x x x x x x x A 0020 10022222121102001111 ，， 其中，n k k x k ,,1,0,1.01 =+=， （1）对n=2,5,8，计算A 的条件数；随n 增大，矩阵性态如何变化？ （2）对n=5，解方程组Ax=b ；设A 的最后一个元素有扰动10-4，再求解Ax=b （3）计算（2）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。 （4）你能由此解释为什么不用插值函数存在定理直接求插值函数而要用拉格朗日或牛顿插值法的原因吗？ 相关MATLAB 函数提示： zeros(m,n) 生成m 行，n 列的零矩阵 ones(m,n) 生成m 行，n 列的元素全为1的矩阵 eye(n) 生成n 阶单位矩阵 rand(m,n) 生成m 行,n 列(0,1)上均匀分布的随机矩阵 diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩阵 tril(A) 提取矩阵A 的下三角部分生成下三角矩阵《高性能计算技术》练习题word精品文档13页
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数值分析实验报告总结
数值分析实验报告1
数值分析实验报告