初三补课 存在性问题

第7课 存在性问题（1） 2012、4、8

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

1、阅读材料：

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△

ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；

(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在

，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

2、已知二次函数22-++=a ax x y 。

（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2

133，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。

图12-2

x C O y

A B D 1 1 铅垂高 水平宽

h a

322k y kx y P =+-如图：已知在同一坐标系中，直线与轴交于点，抛物2

122(1)4(0)(0)y x k x k x A x B x C =-++线与轴交于，，，两点，是抛物线的顶点

（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）

（2）若点A 在点B 的左侧，且x 1·x 2<0

①当k 取何值时，直线通过点B ；

②是否存在实数k ，使S △ABP =S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

4. 已知二次函数y mx m x m =+-->2330()()

（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；

（2）这条抛物线与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积S 。

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （PD ⊥x 轴，垂足为D ）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

检测：2012、4、8 如图：二次函数的图象与轴相交于、两点，点在原

y x bx c x A B A

=++

2

点左边，点在原点右边，点，在抛物线上，，∠

B P m AB PAO

()tan

122 5

==

（1）求m的值；

（2）求二次函数的解析式；

（3）在x轴下方的抛物线上有一动点D，是否存在点D，使△DAO的面积等于△PAO 的面积？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由。