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上海民办张江集团学校数学一元二次方程单元试卷(word版含答案)

上海民办张江集团学校数学一元二次方程单元试卷(word 版含答

案)

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)

1.如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ?的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A

在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和

ABC ?在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).

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(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;

(2)设正方形EFGH 与ABC ?重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得91

36

S =?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒25OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点

E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.

【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =

,理由见解析;(3)可能,3455

t ≤≤或45

33t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】

(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;

(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为91

36

S =

,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136

,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;

(3)由已知求得点D (2,1),

AC=

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结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长. 【详解】

(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0), 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b , 将点A 、C 坐标代入,得:

402k b b +=??

=?,解得:122

k b ?

=-

???=?, ∴直线AC 的函数解析式为1

22

y x =-

+, 当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1), 将点H 代入1

22

y x =-

+,得: 1

1(3)22

t =--+,解得:t=1;

(2)存在,143t =

,使得9136

S =. 根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为91

36

S =

,故t ﹥4, 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n , 将点A 、B 坐标代入,得:

402m n n -+=??

=?,解得:122

m n ?

=

???=?, ∴直线AC 的函数解析式为1

22

y x =

+, 当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3), 当点H 落在AB 边上时,将点H 代入1

22

y x =

+,得: 13(3)22t t -=-+,解得:133

t =;

此时重叠的面积为2

21316

(3)(3)39

t -=-=, ∵

16

9﹤9136,∴133

﹤t ﹤5, 如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,

将y=t-3代入122y x =+得:1

322

t x -=+, 解得:x=2t-10, ∴点S(2t-10,t-3),

将x=3-t 代入122y x =

+得:11

(3)2(7)22

y t t =-+=-, ∴点T 1(3,(7))2

t t --, ∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=

1

(7)2

t -, 211

(7)24BET S BE ET t ?==-, 21

(5)2

ASG

S AG SG t ?==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ???--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424

t t -+-, 由2

5

271334

24t t -+-=9136得:1143t =,29215

t =﹥5(舍去), ∴143

t =

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(3)可能,

3

5

≤t≤1或t=4. ∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4, ∴点D (2,1),AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动; 当0﹤t ﹤1

2

时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇; 当

12﹤t ﹤1时, 12+1

2÷(1+4)=35

秒, ∴t =

35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=1

5

秒后,M 点不在正方行内部,则

3455

t ≤≤; 当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处; 当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=

43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=1

3秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),

45

33

t ≤≤ 当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,

当 t=3时,点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时,点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界), 综上,当3455t ≤≤或45

33

t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).

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【点睛】

本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.

2.已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.

(1)如图1,求直线AB 的解析式;

(2)如图2,点P 为直线AB 上一点,连接OP ,点D 在OA 延长线上,分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ,连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22,求S 的值.

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【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253

+

;(3)203S =. 【解析】 【分析】

(1)先求出点B 坐标,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,3分别代入,利用待定系数法进行求解即可;

(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,则有PC=OD=5+m ,∠PCH=30°,过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)3

5m +,再由S=

1

2

AB ?CH 代入相关数据进行整理即可得; (3) 先求得∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,在BA 延长线上

截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE ,证明△ADK 是等边三角形,继而证明△PEC ≌△DKO ,通过推导可得到OP=OK=CE=CD ,再证明△CDE 是等边三角形,可得CE=CD=DE ,连接OE ,证明△OPE ≌△EDA ,继而可得△OAE 是等边三角形,得到OA=AE=5 ,根据四边形ADCE 的周长等于22,可得ED=

172m -,过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=5

2

m +,由勾股定理得222EN DN DE +=, 可得关于m 的方程,解方程求得m 的值后即可求得答案.

【详解】

(1)在Rt △ABO 中OA=5,∠OAB=60°, ∴∠OBA=30°,AB=10 , 由勾股定理可得OB=53, ∴B(0,3,

设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,53)分别代入,得0553k b

b =+???

=??

∴3

53

k b ?=??=??, ∴直线解析式为353y x =+ (2)∵CP//OD ,OP//CD ,

∴四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,

∴PC=OD=5+m,∠PCH=30°,

过点C作CH⊥AB,在Rt△PCH中 PH=5

2

m

+

,由勾股定理得CH=()

3

5m

+,

∴S=1

2

AB?CH=

1353253

10(5)

2

m m

??+=+;

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(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°,

∴∠EAD+∠ECD=180°,∠CEA+∠ADC=180°,

∴∠PEC=∠ADC,

设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,

在BA延长线上截取AK=AD,连接OK,DK,DE,

∵∠DAK=60°,

∴△ADK是等边三角形,

∴AD=DK=PE,∠ODK=∠APC,

∵PC=OD,

∴△PEC≌△DKO,

∴OK=CE,∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α,∠AKD= ∠APC=60°,∴∠OPK= ∠OKB,

∴OP=OK=CE=CD,

又∵∠ECD=60°,

∴△CDE是等边三角形,

∴CE=CD=DE,

连接OE,∵∠ADE=∠APO,DE=CD=OP,

∴△OPE≌△EDA,

∴AE=OE,∠OAE=60°,

∴△OAE是等边三角形,

∴OA=AE=5 ,

∵四边形ADCE的周长等于22,

∴AD+2DE=17,

∴ED=

172

m

-, 过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=

5

2

m +, 由勾股定理得222EN DN DE +=, 即222

53517(

)()()22

m m -++=, 解得13m =,221m =-(舍去), ∴S=

153253

22

+

=203.

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【点睛】

本题考查的四边形综合题,涉及了待定系数法,平行四边形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解一元二次方程等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

3.阅读与应用: 阅读1:

a ,

b 为实数,且a >0,b >0,因为()2≥0,所以a ﹣2

+b ≥0,从而

a +

b ≥2(当a =b 时取等号).

阅读2:

若函数y =x +(m >0,x >0,m 为常数),由阅读1结论可知:x +≥2,所以当x =

,即x =

时,函数y =x +的最小值为2

阅读理解上述内容,解答下列问题: 问题1:

已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x ,则另一边长为,周长为2(x +),求当x =

时,周长的最小值为;

问题2:

汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度,某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油()L.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,

1h的耗油量为yL.

(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);

(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.

【答案】问题1:2,8;问题2:(1)y=;(2)10.

【解析】

【分析】

(1)利用题中的不等式得到x+=4,从而得到x=2时,周长的最小值为8;

(2)根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可,经济时速就是耗油量最小的形式速度.

【详解】

(1)∵x+≥2=4,

∴当x=时,2(x+)有最小值8.

即x=2时,周长的最小值为8;

故答案是:2;8;

问题2:,

当且仅当,

即x=90时,“=”成立,

所以,当x=90时,函数取得最小值9,

此时,百公里耗油量为,

所以,该汽车的经济时速为每小时90公里,经济时速的百公里耗油量为10L.

【点睛】

本题考查了配方法及反比例函数的应用,最值问题,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.

4.为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.

(1)求这两年藏书的年均增长率;

(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?

【答案】(1)这两年藏书的年均增长率是20%;(2)到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%. 【解析】 【分析】

(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率; (2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】

解:(1)设这两年藏书的年均增长率是x ,

()2

517.2x +=,

解得,10.2x =,2 2.2x =-(舍去), 答:这两年藏书的年均增长率是20%;

(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有()7.2520%0.44-?=(万册), 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:

5 5.6%0.44

100%10%7.2

?+?=,

答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%. 【点睛】

本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.

5.已知关于x 的一元二次方程()22

1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根.

(1)求实数m 的取值范围;

(2)若原方程的两个实数根分别为1x ,2x ,且满足1212215x x x x +=-,求m 的值. 【答案】(1)14m <且0m ≠;(2)15

m =- 【解析】 【分析】

(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到:()2

2140m m ∴?=-->且

20m ≠,然后求出两个不等式解集的公共部分即可.

(2)利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=, 12

2

1

x x m =,加上14m <且0m ≠,则可判断10x <,20x <,所以1212215x x x x --=-,22212

15m m m

--=-,然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】

(1)因为方程()22

1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根,

()2

21240m m ∴?=-->,解得14

m <

; 又因为是一元二次方程,所以20m ≠,0m ∴≠.

m ∴的取值范围是1

4

m <

且0m ≠. (2)

1x ,2x 为原方程的两个实数根,12221m x x m -∴+=

,12

2

1

x x m = 14m <

且0m ≠,122210m x x m -∴+=<,122

1

0x x m

=>,10x ∴<,20x <. 1212215x x x x +=-,1212215x x x x --=-,

2221215m m m -∴-

=-,2

15210m m ∴--=,解得113m =,2

15

m =-, 14m <

且0m ≠,113m ∴=不合题意,舍去,15m ∴=-. 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义,正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.

6.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()2

2

3220x n x n -+-+=,是否存在这样的

n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?

【答案】存在,n=0. 【解析】 【分析】

在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n ,要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.

设x1,x2是方程①的两个根,则x 1+x 2=2n ,x 1x 2=32

4

n +-,所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2, 由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0, ①若4n 2+3n+2=-n+1,解得n=-

1

2,但1-n=32

不是整数,舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-1

4

(舍), 综上所述,n=0.

7.近几年,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也在逐年增加.某商场从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,两种净化器的销售相关信息见下表:

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(1)每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少?

(2)该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台,其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍,为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大,请你设计相应的进货方案;

(3)已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时,B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时.某长方体室内活动场地的总面积为200 m2,室内墙高3 m.该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新,如不考虑空气对流等因素,至少要购买A型空气净化器多少台?

【答案】(1)每台A型空气净化器的利润为200元,每台B型空气净化器的利润为100元;(2)为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大,应购进A型空气净化器33台,购进B型空气净化器67台;(3)至少要购买A型空气净化器2台.

【解析】

解:(1)设每台A型空气净化器的利润为x元,每台B型空气净化器的利润为y元,根据

题意得:

5102000,200, {{ 1052500.100. x y x

x y y

+==

+==

解得

答:每台A型空气净化器的利润为200元,每台B型空气净化器的利润为100元. (2)设购买A型空气净化器m台,则购买B型空气净化器(100﹣m)台,

∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍,

∴100-m≥2m,

解得:m≤100

. 3

设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.

根据题意,得W=200m+100(100﹣m)=100m+10000.

∵要使W最大,m需最大,

∴当m=33时,总利润最大,最大利润为W:100×33+10000=13300(元).

此时100﹣m=67.

答:为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大,应购进A型空气净化器33台,购进B型空气净化器67台.

(3)设应购买A型空气净化器a台,则购买B型空气净化器(5﹣a)台,根据题意得:1

2

[300a+200(5-a)]≥200×3.

解得:a≥2.

∴至少要购买A型空气净化器2台.

8.如图直线y=kx+k交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,且AB=2

(1)求k的值;

(2)点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB运动,过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q,连接OP,设△PQO的面积为S,点P运动时间为t,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围;

(3)在(2)的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB=7(BQ﹣OP),求此时直线PQ的解析式.

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【答案】(1)k32)当0<t<1

2

时,S=

1

2

?OQ?P y=

1

2

(1﹣2t)?

3

2

t=﹣

3 2t2+

3

4

t.

当t>1

2

时,S=

1

2

OQ?P y=

1

2

(2t﹣1

3

3

2

3

.(3)直线PQ的解析式为

y 353

【解析】【分析】

(1)求出点B的坐标即可解决问题;(2)分两种情形①当0<t<1

2

时,②当t>

1

2

时,根据S=1

2

OQ?P y,分别求解即可;(3)根据已知条件构建方程求出t,推出点P,Q

的坐标即可解决问题.

【详解】

解:(1)对于直线y=kx+k,令y=0,可得x=﹣1,∴A(﹣1,0),

∴OA=1,∵AB=2,

∴OB223

AB OA

-=

∴k3

(2)如图,

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∵tan ∠BAO =3OB

OA

= ∴∠BAO =60°, ∵PQ ⊥AB ,

∴∠APQ =90°, ∴∠AQP =30°, ∴AQ =2AP =2t ,

当0<t <

12时,S =12?OQ ?P y =12(1﹣2t )?

32t =﹣32t 2+3

4

t . 当t >

12时,S =12OQ ?P y =12(2t ﹣13=323

. (3)∵OQ +AB 7(BQ ﹣OP ), ∴2t ﹣1+22

2

21

373(21)(1)2

4t t t +--+

∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1=7t 2﹣7t +7, ∴3t 2﹣11t +6=0, 解得t =3或2

3

(舍弃), ∴P (

12,332

),Q (5,0), 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ,则有133

2250k b k b ?+=

???+=?

解得3333k b ?=-????=??

∴直线PQ

的解析式为33

y x =-+

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. 【点睛】

本题属于一次函数综合题,考查了一次函数的性质,三角形的面积,无理方程等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

9.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程

2

(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式221

6

k k k -+-的值.

【答案】0. 【解析】 【分析】

由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解. 【详解】

解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2

则12123940x x x x a a +-??

??-≥?

=== , 由条件,知12

1212

11x x x x x x ++

==3, 即

33a -=,且94

a ≤, 故a =-1,

则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,

Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106

k k k -=+-.

Ⅱ.当k -1≠0时,?=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则17

8

k ≤

, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使221

6k k k -+-无意义.

综上,代数式221

6

k k k -+-的值为0

【点睛】

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,

10.如图1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm /s,连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:

(1)当t为何值时,PQ∥BC.

(2)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

(3)如图2,把△APQ沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.

上海民办张江集团学校数学一元二次方程单元试卷(word版含答案)

【答案】(1)当BF PC

⊥s时,PQ∥BC.(2)不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分.(3)存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为

137

-

cm2.

【解析】

(1)证△APQ∽△ABC,推出AP

AB

=

AQ

AC

,代入得出

102

10

t

-

=

2

8

t

,求出方程的解即可;

(2)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,得出方程-

5 6t2+6t=

1

2

×

1

2

×8×6,求出此方程无解,即可得出答案.

(3)首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQ、OD、和PD的长度;然后

在Rt△PQD中,根据勾股定理列出方程(8-18

5

t)2-(6-

6

5

t)2=(2t)2,求得时间t的

值;最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍,进行计算即可.解:(1)BP=2t,则AP=10﹣2t.

∵PQ∥BC,

∴△APQ∽△ABC,

∴AP

AB

=

AQ

AC

即102

10

t

-

=

2

8

t

解得:t=20 9

,

∴当t=

20

9

时,PQ∥BC. (2)如答图1所示,过P 点作PD⊥AC 于点D .

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∴PD∥BC,∴F ,即B ,解得6PD 6-5

t =.

216

625

S PD AQ t t =

?=-, 假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分, 则有S △AQP = C S △ABC ,而S △ABC =1

2

AC?BC=24,∴此时S △AQP =12. 而S △AQP 2

665

t t =-, ∴2

66125

t t -

=,化简得:t 2﹣5t+10=0, ∵△=(﹣5)2

﹣4×1×10=﹣15<0,此方程无解, ∴不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.

(3)假设存在时刻t ,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t . 如答图2所示,过P 点作PD⊥AC 于点D ,则有PD∥BC,

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∴D ,即COD ?, 解得:OC ,h , ∴QD=AD﹣AQ=t .

在Rt△PQD 中,由勾股定理得:QD 2+PD 2=PQ 2, 即h ,

化简得:13t 2﹣90t+125=0, 解得:t 1=5,t 2=t ,

∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=5

2

由(2)可知,S△AQP=5 4

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∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×25

8

cm2.

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所以存在时刻t,使四边形cm2.

“点睛”本题考查了三角形的面积,勾股定理的逆定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形,根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.